Программы математических расчётов (МatLab )

4 15 14 1

Если мы ввели матрицу, то она автоматически запоминается средой MATLAB. И мы можем к ней  легко обратиться как к А. Сейчас, когда мы имеем А в рабочем пространстве MATLAB, посмотрим, что делает её такой интересной. Почему она называется магической?

Операции суммирования элементов, транспонирования и диагонализации матрицы

Особые свойства магического квадрата связаны с различными способами суммирования его элементов. Если взять сумму элементов вдоль какой-либо строки или столбца, или вдоль какой-либо из двух главных диагоналей, всегда получается одно и тоже число. Проверим это, используя MATLAB. Первое утверждение, которое мы проверим -

sum (А)

MATLAB выдаст ответ

ans =

34 34 34 34

Когда выходная переменная не определена, MATLAB использует переменную ans, коротко от answer - ответ, для хранения результатов вычисления. Мы подсчитали вектор-строку, содержащую сумму элементов  столбцов матрицы А. Действительно, каждый столбец имеет одинаковую сумму, магическую сумму, равную 34.

А как насчет сумм в  строках? Лучший способ получить сумму  в строках - это транспонировать  нашу матрицу, подсчитать сумму в  столбцах, а потом транспонировать результат. Операция транспонирования обозначается апострофом или одинарной кавычкой. Она зеркально отображает матрицу относительно главной диагонали и меняет строки на столбцы. Таким образом

sum(A') '

вызывает результат  вектор-столбец, содержащий суммы в  строках

ans = 34

34

34

34

Сумму элементов на главной  диагонали можно легко получить с помощью функции diag, которая  выбирает эту диагональ.

diag (A)

ans = 16

10

7

1

А функция

sum (diag (А) ) вызывает

ans = 34

Другая диагональ, называемая антидиагональю, не так важна математически, поэтому MATLAB не имеет специальной функции для неё. Но функция, которая вначале предполагалась для использования в графике, fliplr, зеркально отображает матрицу слева направо.

sum(diag(fliplr(A)))

ans = 34

Индексы

Элемент в строке i и столбце j матрицы А обозначается A(i,j). Например, А(4,2) - это число в четвертой строке и втором столбце. Для магического квадрата А(4,2) = 15. Таким образом, можно вычислить сумму элементов в четвертом столбце матрицы А, набрав

A(1,4) + А(2,4) + А(3,4) + А(4,4)

получим

ans = 34

Однако это не самый  лучший способ суммирования отдельной  строки.

Также возможно обращаться к элементам матрицы через  один индекс, A(k). Это обычный способ ссылаться на строки и столбцы  матрицы. Но его можно использовать только с двумерными матрицами. В этом случае массив рассматривается как длинный вектор, сформированный из столбцов исходной матрицы.

Так, для нашего магического  квадрата, А(8) - это другой способ ссылаться  на значение 15, хранящееся в А(4,2).

Если вы пытаетесь  использовать значение элемента вне  матрицы, MATLAB выдаст ошибку:

t=A(4,5)

??? Index exceeds matrix dimensions.

С другой стороны, если вы сохраняете значение вне матрицы, то размер матрицы увеличивается.

X=A;

X(4,5) = 17

X =

16 3 2 13 0

5 10 11 8 0

9 6 7 12 0

4 15 14 1 17

Оператор двоеточия

Двоеточие : - это один из наиболее важных операторов MATLAB. Он проявляется в различных формах. Выражение

1:10

- это вектор-строка, содержащая  целые числа от 1 до 10

123456789 10

Для получения обратного интервала, опишем приращение. Например

100:-7:50

что дает

100 93 86 79 72 65 58 51

ИЛИ

0:pi/4:pi

что даст

О 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

Индексное выражение, включая  двоеточие, относится к части  матрицы.

A(1:k, j)

это первые k элементов j -го столбца матрицы А.

Так

sum(A(l:4,4))

вычисляет сумму четвертой  строки. Но есть и лучший способ. Двоеточие, само по себе, обращается ко всем элементам  в строке и столбце матрицы, а  слово end — к последней строке или столбцу. Так

sum (А (:, end) )

вычисляет сумму элементов в последнем столбце матрицы А

ans = 34

2.3.2. Выражения

Как и большинство  других языков программирования, MATLAB предоставляет  возможность использования математических выражений, но в отличие от многих из них, эти выражения в MATLAB включают матрицы. Основные составляющие выражения:

переменные

числа

операторы

функции

Переменные

В MATLAB нет необходимости  в определении типа переменных или  размерности. Когда MATLAB встречает новое  имя переменной, он автоматически  создает переменную и выделяет соответствующий объем памяти. Если переменная уже существует, MATLAB изменяет ее состав и если это необходимо выделяет дополнительную память. Например,

num_students = 25

создает матрицу 1x1 с именем num_students и сохраняет значение 25 в  ее единственном элементе.

Имена переменных состоят  из букв, цифр или символов подчеркивания. MATLAB использует только первые 31 символ имени переменной. MATLAB чувствителен к регистрам, он различает заглавные  и строчные буквы. Поэтому А и  а - не одна и та же переменная. Чтобы  увидеть матрицу связанную с переменной, просто введите название переменной.

Числа

MATLAB использует принятую  десятичную систему счисления,  с необязательной десятичной  точкой и знаками плюс-минус  для чисел. Научная система  счисления использует букву е  для определения множителя степени десяти. Мнимые числа используют i или j как суффикс. Некоторые примеры правильных чисел приведены ниже

3 -99 0.0001

9.6397238 1.60210e-20 6.02252e23

1i -3.14159j 3e5i

Числа с плавающей  точкой обладают ограниченной точностью - приблизительно 16 значащих цифр и ограниченным диапазоном – приблизительно от 10-308 до 10308

Операторы

Выражения используют обычные  арифметические операции и правила  старшинства.

+ сложение 

– вычитание 

* умножение 

/ деление 

Λ степень 

' комплексно сопряженное транспонирование

() определение порядка  вычисления

Специальные символы

[ ] – квадратные скобки  используют для создания матриц  и векторов;

– пробел служит для разделения элементов матриц;

, – запятая применяется  для разделения элементов матриц  и операторов в строке ввода;

; – точка с запятой  отделяет строки матриц, а точка  с запятой в конце оператора  (команды) отменяет вывод результата  на экран;

: – двоеточие используется  для указания диапазона (интервала  изменения величины) и в качестве  знака групповой операции над элементами матриц;

% – знак процента  обозначает начало комментария;

! – отмечает начало  команды DOS

’ – апостроф указывает  на символьные строки.

Функции

MATLAB предоставляет большое  количество элементарных математических  функций, таких как abs, sqrt, exp, sin. Вычисление квадратного корня или логарифма отрицательного числа не является ошибкой: в этом случае результатом является соответствующее комплексное число. MATLAB также предоставляет и более сложные функции, включая Гамма функцию и функции Бесселя. Большинство из этих функций имеют комплексные аргументы. Чтобы вывести список всех элементарных математических функций, наберите

help elfun Для вывода более  сложных математических и матричных  функций, наберите

help specfun

help elmat

соответственно.

Некоторые функции, такие  как sqrt и sin, - встроенные. Они являются частью MATLAB, поэтому они очень  эффективны, но их вычислительные детали трудно доступны. В то время как  другие функции, такие как gamma и sink, реализованы  в М-файлах. Поэтому вы можете легко увидеть их код и, в случае необходимости, даже модифицировать его.

Несколько специальных  функций предоставляют значения часто используемых констант.

pi 3.14159265...

i мнимая единица, √-1

j то же самое, что  и i

realmin наименьшее число  с плавающей точкой, 2-1022

realmax наибольшее число  с плавающей точкой, (2-ε)21023

Inf бесконечность

NaN не число

Бесконечность появляется при делении на нуль или при  выполнении математического выражения, приводящего к переполнению, т.е. к превышению realmax. Не число (NaN) генерируется при вычислении выражений типа О/О или Inf- Inf, которые не имеют определенного математического значения.

Имена функций не являются зарезервированными, поэтому возможно изменять их значения на новые, например

eps = 1.e-6

и далее использовать это значение в последующих вычислениях. Начальное значение может быть восстановлено следующим образом

clear eps

2.3.3. Графика

MATLAB имеет широкие  возможности для графического  изображения векторов и матриц, а также для создания комментариев  и печати графики. Эта глава описывает несколько наиболее важных графических функций и дает примеры их применения.

Создание графика

Функция plot имеет различные  формы, связанные с входными параметрами, например plot(y) создает кусочно-линейный график зависимости элементов у от их индексов. Если вы задаете два вектора в качестве аргументов, plot(x,y) создаст график зависимости у от х.

Например, для построения графика значений функции sin от нуля до 2π (см. рис.3.), сделаем следующее

t = 0:pi/100:2*pi;

у = sin(t);

plot(t,у) 

Рис.3. График функции у=sin(t)

Вызов функции plot с многочисленными  парами х-у создает многочисленные графики (см. рис.4.). MATLAB автоматически присваивает каждому графику свой цвет (исключая случаи, когда это делает пользователь), что позволяет различать заданные наборы данных. Например, следующие три строки отображают график близких функций, и каждой кривой соответствует свой цвет:

у2 = sin(t-.25);

уЗ = sin(t-.5);

plot( t, у, t, y2, t, уЗ)

Рис.4. Многочисленный график

 Возможно изменение цвета, стиля линий и маркеров, таких как знаки плюс или кружки, следующим образом

plot(x, у, 'цвет_стиль_маркер')

цвет_стиль_маркер это 1-, 2-, 3-х символьная строка (заключенная  в одинарные кавычки), составленная из типов цвета, стиля линий и  маркеров:

Символы, относящие к  цвету: 'с', 'т', 'у', 'r', 'g', b', 'w' и 'k'. Они  обозначают голубой, малиновый, желтый, красный, зеленый, синий, белый и  черный

цвета соответственно.

Символы, относящиеся  к типу линий: ' - ' для сплошной, ' — ' для разрывной, ': ' для пунктирной, ' -. ' для штрихпунктирной линий и ' попе ' для её отсутствия.

Наиболее часто встречающиеся  маркеры '+','о','*'и'х'.

Например, выражение

plot(x,y,'y:+')

строит желтый пунктирный график и помещает маркеры ' + ' в каждую точку данных. Если вы определяете только тип маркера, но не определяете тип стиля линий, то MATLAB выведет только маркеры.

Функция plot автоматически  открывает новое окно изображения (далее окно), если до этого его  не было на экране. Если же оно существует, то plot использует его по умолчанию. Для открытия нового окна и выбора его по умолчанию, набираем

figure

Для того, чтобы сделать  существующее окно текущим -

figure(n)

где n - это номер в  заголовке окна. В этом случае результаты всех последующих команд будут выводиться в это окно.

Добавление  кривых на существующий график

Команда hold позволяет  добавлять кривые на существующий график. Когда вы набираете

hold on

MATLAB не стирает существующий  график, а добавляет в него  новые данные, изменяя оси, если  это необходимо. Например, следующий элемент кода вначале создает контурные линии функции peaks, а затем накладывает псевдоцветной график той же функции:

[x,y,z] = peaks;

contour(χ,у,z,20,'k')

hold on

pcolor(x,y,z) shading interp

Команда hold on является причиной того, что график pcolor комбинируется с графиком contour в одном окне

Подграфики

Функция subplot позволяет  выводить множество графиков в одном  окне или распечатывать их на одном  листе бумаги.

subplot(m,n,p)

разбивает окно изображений  на матрицу m на n подграфиков и выбирает n-ый подграфик текущим. Графики нумеруются вдоль первого в верхней строке, потом во второй и т.д. Например, для того, чтобы представить графические данные в четырех разных подобластях окна необходимо выполнить следующее: