История развития систем счисления на протяжении веков у разных народов

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

1. Единичная

• Алфавит – один знак 1
• Значение числа равно сумме всех единиц
• 111111111

2. Римская

Эта система счисления появилась в Древнем Риме. Первые двенадцать натуральных чисел в римской системе записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

        Примеры записи чисел XXVIII – 28, MCMXXXV – 1935. С этими числами очень  трудно производить арифметические  действия. По этой причине в  настоящее время римская система  счисления используется там, где  это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении  документов (серия паспорта, ценных  бумаг и др.), в декоративных  целях – на циферблате часов, в ряде других случаев.

• Алфавит – семь знаков I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)
• Значение числа равно сумме больших чисел и разности малых чисел, предшествующих большим числам  
• MCMXCVIII

Впервые идея позиционной системы счисления возникла в древнем Вавилоне, Индии и Китае.

В позиционных системах счислениявес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения:an-1qn-1 + an-2qn-2+ ... + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + ... + a-mq-m,

где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Под позиционной системой счисления обычно понимается b-ричная система счисления, которая определяется целым числом b> 1, называемым основанием системы счисления. Целое число x в b-ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

,

где ak — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень bk в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k (номером разряда). Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра an − 1 в b-ричном представлении x была также ненулевой.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его b-ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

• 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
• 3 — троичная;
• 4 — четверичная;
• 10 — десятичная (используется повсеместно);
• 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
• 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике, а также в шрифтах;
• 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

1.4.  Какие системы счисления  используют специалисты для работы  с компьютером?

         Перед математиками и конструкторами  в 50-х встала проблема отыскания  таких систем счисления, которые  отвечали бы требованиям, как  разработчиков ЭВМ, так и создателей  программного обеспечения. Одним  из итогов этих исследований  стало значительное изменение  представлений о системах счисления  и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым  человечество пользуется с древнейших  времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и  на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую “машинную” группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы.

          К “машинным” системам счисления  относятся:

• Двоичная (используются цифры 0, 1);
• Восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
• Шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

          Официальное рождение двоичной  арифметики связано с именем  Г.В. Лейбница, опубликовавшего в  1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

1.5 Почему люди используют  десятичную систему счисления, а  компьютеры - двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае,например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления. А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чиселв двоичную системуочень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой(четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.Например,

1.6. Системы счисления  разных народов

Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека.

В основе древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии.

Вавилонская система счисления.

Особый интерес представляет так называемая “вавилонская”, или шестидесятеричная система счисления, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнение историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое – десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минутам. В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.

            В Древнем Вавилоне примерно  за сорок веков до нашего  времени создалась поместная (позиционная) нумерация, т.е. такой способ изображения  чисел, при которой одна и та  же цифра может обозначать  разные числа в зависимости  от места занимаемого этой  цифрой. Наша современная нумерация  тоже поместная: в числе 52 цифра 5 обозначает пятьдесят, т.е. 5*10, а в  числе 576 эта же цифра обозначает  пятьсот, т.е. 5*10*10. В вавилонской  поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играло число 60. Числа, меньшие 60 обозначались  с помощью: для единицы и для  десятка.

Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

Во многих календарях считалось, что год состоит из 360 - то есть шести шестидесятков - дней. Встречается это число и в древних сказаниях. Но самое удивительное то, что следы счета шестидесятками сохранились до наших дней. Ведь до сих пор мы делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Окружность делят на 360, то есть 6*60 градусов, градус - на 60 минут, а минуту - на шестьдесят секунд. Так что самые точные часы и угломерные приборы хранят в себе память о глубочайшей древности.

Алфавитные системы счисления

Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак – “титло”. Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.

 Алфавитная  нумерация преобладала до XVIII в., хотя арабская нумерация употреблялась  в отдельных случаях гораздо  раньше (в грузинской литературе  такие случаи восходят к X- XI вв.; в памятниках армянской математической  литературы они установлены пока  только для XV в.). В Армении алфавитная  нумерация употребляется и сейчас  для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и т. п. В Грузии алфавитная нумерация  вышла из употребления.

Алфавитная система счисления бала распространена у древних армян, грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев, и других народов Ближнего востока.

Еврейская система счисления.

Еврейская система счисления в качестве цифр используются 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400. «Ноль» отсутствует. Наиболее часто можно встретить цифры, записанные таким образом в нумерации лет по иудейскому календарю.