Использование теории игр в практике принятия стратегических решений

Шаг первый: находим максимумы столбцов платёжной матрицы (рисунок 12).

Рисунок 12 – Нахождение максимумов столбцов платёжной матрицы

Шаг второй: построим матрицу возможных потерь. Для этого нужно из максимума столбца вычесть каждое значение этого столбца (рисунок 13).

Рисунок 13 – Матрица возможных потерь

Шаг третий: находим максимум каждой строки в матрице возможных потерь (рисунок 14).

Рисунок 14 – Максимумы строк в матрице возможных потерь

 

 

 

 

 

Шаг четвёртый: среди полученных значений находим минимум и определяем оптимальную стратегию (рисунок 15).

Рисунок 15 – Оптимальная стратегия по Сэвиджу

А2 является оптимальной стратегией по Сэвиджу.

 

6.Матрица оптимальных стратегий

Составим матрицу оптимальных стратегий тех критериев, что уже были найдены (рисунок 16).

Рисунок 16 – Матрица оптимальных стратегий

 

6.1. Расчёт синтетического критерия

Для этого строится матрица синтетического метода. Она похожа на матрицу оптимальных решений, однако, если стратегия оптимальна по какому-либо критерию, ставится 1, если же нет, ставится 0. Далее подсчитывается сумма единиц по каждой из стратегий. Стратегия с максимальной суммой будет являться оптимальной по синтетическому критерию. Матрица представлена на рисунке 17.

 

 

Рисунок 17 – Матрица синтетического критерия

А2 является оптимальной по синтетическому критерию.

 

7.Критерий минимальных средних потерь

Шаг первый: находим среднее значение для строк в матрице возможных потерь (рисунок 18).

Рисунок 18 – Расчёт вектора минимальных средних потерь

Шаг второй: среди полученных значений находим минимум и определяем оптимальную стратегию (рисунок 19).

Рисунок 19 – Оптимальная стратегия по критерию минимальных средних потерь

А2 является оптимальной стратегией по критерию минимальных средних потерь.

8. Проверка  эквивалентности критерия Байеса и вектора минимальных средних потерь

На рисунке 20 показана проверка эквивалентности критериев Байеса и минимальных средних потерь. Берутся значения вектора минимальных средних потерь и значения по критерию Байеса. Справа и слева от этих столбцов записываются стратегии. Затем из значений по критерию Байеса выделяется максимальное, а из значений вектора минимальных средних потерь – минимальное. Стратегии, соответствующие этим значениям должны совпасть, если это так, то всё верно, если они не совпадают, значит задача решена неверно и требуется пересчёт.

Рисунок 20 – Проверка эквивалентности

 

10.Идеальный эксперимент

Для нахождения ГСВ производится матричное умножение максимумов столбцов платежной матрицы на матрицу вероятностей. На рисунках 21 и 22 показан дальнейший расчет цены достоверной информации и сравнение ее с ценой эксперимента. Условие целесообразности проведения эксперимента: если ЦДИ>ЦИЭ, то проводить эксперимент целесообразно.

Шаг первый:  умножаем максимумы столбцов платёжной матрицы на матрицу вероятностей (рисунок 21).

Рисунок 21 – Нахождение ГСВ

Шаг второй: находим цену достоверной информации. ЦДИ находится как ГСВ вычесть оптимальное значение по Байеса (рисунок 22).

Рисунок 22 – Нахождение ЦДИ

Шаг третий: Сравниваем ЦДИ и ЦИЭ (рисунок 23) и определяем целесообразность эксперимента.

Рисунок 23 – ЦДИ и ЦИЭ

В данном случае ЦДИ больше чем ЦИЭ на 0,1, а значит эксперимент проводить целесообразно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Неидеальный эксперимент

Шаг первый: умножаем матрицу условных вероятностей неидеального эксперимента при фиксированных состояниях внешней среды на матрицу вероятностей состояний внешней среды (рисунок 24).

Рисунок 24 – Вероятность исходов эксперимента

Шаг второй: расчёт апостериорной вероятности Для этого делим матрицу условных вероятностей неидеального эксперимента при фиксированных состояниях внешней среды на вероятность исходов эксперимента, дальше умножаем на значения вероятностей состояний внешней среды и результат транспонируем (рисунок 25).

Рисунок 25 – матрица апостериорной вероятности

Шаг  третий: расчёт гипотетических условных средних выигрышей. Для этого с помощью функции матричного умножения умножаем нашу платёжную матрицу на матрицу апостериорной вероятности (рисунок 26).

Рисунок 26 – Матрица гипотетических условных выигрышей

Шаг четвёртый: нахождение среднего значения среднего выигрыша. Для этого находим максимумы столбцов матрицы гипотетических условных выигрышей (рисунок 27).

Рисунок 27 – Максимумы столбцов

Среднее значение среднего выигрыша вычисляется с помощью функции матричного умножения максимумов столбцов матрицы гипотетических условных выигрышей на матрицу вероятности исходов эксперимента. Среднее значение среднего выигрыша будет равно 30,1212.

Шаг пятый: определение целесообразности эксперимента. Сравниваем ЦДИ (в данном случае ЦДИ находится как среднее значение среднего выигрыша вычесть оптимальное по Байеса)  и ЦИЭ (рисунок 28).

Рисунок 28 – Сравнение ЦДИ и ЦИЭ.

Эксперимент проводить нецелесообразно так как ЦДИ меньше чем ЦИЭ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке 29 представлены выводы, содержащие в себе оптимальные стратегии по всем критериям.

Рисунок 29– Оптимальные стратегии

13.Матрица  оптимальных стратегий идеального эксперимента

На рисунке 30 представлена матрица оптимальных решений идеального эксперимента. Такую матрицу получит руководитель предприятия, если он воспользуется возможностью проведения идеального эксперимента.

Рисунок 30 – Матрица оптимальных стратегий идеального эксперимента

 

 

 

 

 

 

14. Зависимость выходных параметров от входного параметра kx (коэффициент перед переменной х)

Для того чтобы узнать на сколько входной параметр kx влияет на выходные параметры, я воспользовался функцией среды Microsoft Excel - Анализ “что если”, и внес значения данного входного параметра в таблицу, представленную на рисунке 31. Она так же показывает, как влияет его изменение на значения по всем критериям

Рисунок 31 - Таблица значений входного параметра kx и их влияние на оптимальные значения по критериям

 

 

 

 

 

На рисунке 32 представлен график влияния входного параметра kx на изменение значений критерия МаксиМакса, графики воздействия на остальные критерии вы можете увидеть в приложении.

Рисунок 32 – Влияние входного параметра kx на критерий Максимакса

На рисунке 33 показана таблица со значениями входного параметра kx и его воздействием на изменение значений ЦДИ идеального эксперимента и ЦДИ неидеального эксперимента.

Рисунок 33 - Влияние входного параметра kx на ЦДИ (ИЭ) и ЦДИ (НЭ)

 

На рисунке 34 представлен график, иллюстрирующий воздействие входного параметра kx на изменение значений ЦДИ идеального эксперимента, график воздействия параметра kx на ЦДИ неидеального эксперимента вы можете увидеть в приложении.

Рисунок 34 - Влияние входного параметра kx на ЦДИ (ИЭ)

На рисунке 35 показана взаимосвязь входного параметра kx с выбором той или иной оптимальной стратегии.

Рисунок 35 – Влияние kx на выбор оптимальной стратегии

На рисунке 36 показан график, иллюстрирующий влияние значения входного параметра kx на выбор оптимальной стратегии по критерию МаксиМакса, графики с остальными стратегиями вы можете увидеть в приложении.

Рисунок 36 – Влияние kx на выбор оптимальной стратегии по критерию Максимакса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Условие задачи

Разработка управленческого решения при планировании объемов продажи продукции пищевой промышленности

Компания «Буренка» –  небольшой производитель различных продуктов из сыра. Один из продуктов – сырковая масса –  продается в розницу. Петр Коровкин, менеджер компании, должен решить, сколько ящиков сырковой массы следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырковую массу в течение месяца будет 16, 17, 18 или 19 ящиков, равны

соответственно 0,1, 0,3, 0,4, 0,2. Затраты на производство одного ящика сырковой массы составляют 40 тыс. руб. Коровкин продает каждый ящик по цене 100 тыс. руб. Если сырковая масса не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода. Поскольку компания «Буренка» работает по договорам с розничными продавцами ее продукции, то за

каждый недопоставленный ящик сырковой массы она вынуждена выплачивать штраф в 5 тыс. руб.

 

Задание 1.1. Сколько ящиков сырковой массы следует производить компании в течение месяца? Предварительно постройте формулу платежной функции и рассчитайте значения таблицы решений (платежную матрицу).

На рисунке 37 представлен блок входных данных.

Рисунок 37 – Блок входных данных

 

 

 

Формула платёжной функции представлена ниже.

 

По этой формуле рассчитаем платёжную матрицу (рисунок 38). С помощью функции ЕСЛИ и с помощью формул массива. Возможны и другие способы.

Рисунок 38 – Платёжная матрица

Согласно матрице компании следует производить:

а) Для состояния среды П1 следует производить 16 ящиков.

б) Для состояния среды П2 следует производить 17 ящиков.

в) Для состояния среды П3 следует производить 18 ящиков.

г) Для состояния среды П4 следует производить 19 ящиков.

 

Задание 1.2. Какова наилучшая ожидаемая стоимостная оценка этого решения?

а) Для состояния среды П1 наилучшая стоимостная оценка будет равна 960000

б) Для состояния среды П2 наилучшая стоимостная оценка будет равна 1020000

в) Для состояния среды П3 наилучшая стоимостная оценка будет равна 1080000

г) Для состояния среды П4 наилучшая стоимостная оценка будет равна 1140000

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.3. Сколько ящиков сырковой массы следовало бы производить компании, если бы Петр Коровкин смог использовать пищевую добавку к сырковой пасте, которая стоит 25 тысяч рублей в расчете на один ящик, но зато значительно продлевает срок годности сырковой массы? Как изменится решение, если добавка практически ничего не стоит? Какова прибыль компании в том и другом случаях использования добавки? Какова прибыль компании в случае, когда добавка не используется в производстве сырковой массы?

На рисунке 39 представлен блок входных данных для данного задания

Рисунок 39 – Блок входных данных

Формула платёжной функции представлена ниже.

 

По этой формуле рассчитаем платёжную матрицу (рисунок 40). Для начала возьмём стоимость добавки равной 25000.

Рисунок 40 – Платёжная матрица

При стоимости пищевой добавки в 25000 компании следует производить 19 ящиков при любых состояниях внешней среды.

 

Платёжная матрица, если пищевая добавка практически ничего не стоит представлена на рисунке 41. В данном случае используется стоимость пищевой добавки равная 0.

Рисунок 41 – Платёжная матрица

В данном случае решение не изменится. Компании также надо будет производить 19 ящиков. Прибыль, при стоимости добавки 0 будет равна 1140000. Прибыль, при стоимости пищевой добавки 25000 будет равно 665000. Если добавка в производстве не используется, то прибыль будет равна:

а) Для состояния среды П1 прибыль будет равна 960000

б) Для состояния среды П2 прибыль будет равна 1020000

в) Для состояния среды П3 прибыль будет равна 1080000

г) Для состояния среды П4 прибыль будет равна 1140000

Взято из предыдущего задания.

 

Задание 1.4. Определите наилучшее решение, используя критерий максимизации ожидаемой прибыли в том случае, если бы вероятности продать 16, 17, 18 или 19 ящиков в течение месяца были равны соответственно 0,4, 0,1, 0,2, 0,3. Рассчитайте также и величину оптимального выигрыша. Проведите сравнение результатов для данного и предыдущего вариантов оценки вероятностей. Чему равно значение оптимального среднего выигрыша в случае проведения идеального эксперимента для каждого из этих вариантов? Определите цену достоверной информации при проведении идеального эксперимента. Объясните, какие наилучшие стратегии следует выбирать лицу, принимающему решение, при известных результатах идеального эксперимента. Постройте таблицу, из которой было бы видно, какую стратегию надо выбирать при том или ином состоянии внешней среды при проведении идеального эксперимента. Изменятся ли эти стратегии и величина цены достоверной информации при изменении вероятностей состояний внешней среды