Геометрия и искусство

    Идеально  сложенное человеческое тело полностью  отвечает этому принципу. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить  в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет  этому закону мужская фигура. Любая  античная скульптура отвечает закону "золотой" пропорции. Каждую отдельно взятую часть тела (голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону "золотого" сечения.[приложение 4]

    Рука  согласно принципу "золотого" сечения  распадается на "свои анатомические  части" – плечо, предплечье, кисть.

    Разделение  кисти руки, лица отвечает тоже этому принципу.

    Знаменитая  статуя Аполлона Бельведерского состоит  из частей, делящихся по "золотым" отношениям.

    Золотая пропорция занимает ведущее место  в художественных канонах Леонардо да Винчи и Дюрера. В соответствии с этими канонами золотая пропорция  отвечает не только делению тела на 2 неравные части линией талии, но и  высота лица относится к вертикальному  расстоянию между дугами бровей и  нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка; в строении костей пальцев  человека, в соотношении чисел  различных органов[4,стр.204].

    Великий древнегреческий скульптор Фидий  часто использовал "золотое" сечение  в своих произведениях. Самыми знаменитыми  из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считается одним из чудес  света) и Афины Парфенос.

    Для измерений необходимо применять  специальную измерительную шкалу  и специальную измерительную  единицу, которую называют словом "зеница", что созвучно слову "единица", но имеет особый математический смысл. А именно зеница не имеет конкретной величины, но является 1/180 частью вертикальной величины лица (высоты головы) от подбородка до вершины головы.

    Контур человеческого лица в профиль, состоит из трёх физиогномических сфер: верхняя сфера (лоб и брови), средняя сфера (нос) и нижняя сфера (губы и подбородок). Каждая физиогномическая сфера имеет величину 60 зениц и всего величина человеческого лица от подбородка до вершины головы 60х3=180 зениц.

    Верхняя физиогномическая сфера включает три  уровня, итого каждый уровень в  рамках верхней сферы имеет величину 60/3=20 зениц. Средняя физиогномическая сфера включает четыре уровня, итого  каждый уровень в рамках средней  сферы имеет величину 60/4=15 зениц. Нижняя физиогномическая сфера включает пять уровней, итого каждый уровень в рамках нижней сферы имеет величину 60/5=12 зениц[7,стр.54].

    Пропорции в архитектуре означают отношение подобных отрезков или фигур. Пропорциональный строй сооружения должен отвечать основному требованию гармонии — сочетать единство и многообразие. Цельность — условие существования композиции, многообразие необходимо для ее содержательности.

    Теория архитектурных  пропорций развивалась не только как профессионально-эстетическое отражение практики, но и как процесс адаптации к архитектурным задачам представлений о геометрии и законах пространства, полученных в других областях знания (физика, философия, биология, психология и т.д.).

    В рамках профессиональной практики, эмпирическое познание законов гармонии осуществлялось через диалектическое отражение единства и противоположности модульных и геометрических систем пропорций.

    Древнегреческие скульпторы ваяли свои произведения в соотношении частей тела 0,618 (статуи Дорифора, Аполлона, Венеры и др.).

    Человек умеет интуитивно чувствовать гармонию. Его притягивает то, что несет  в себе гармонию, и отталкивает  дисгармония. Гармоничные структуры  мы называем словом "красота". Красивое тело построено по закону "золотого" сечения.

    Красивое  здание несет в своих формах "золотую" пропорцию. В красивом (гармоничном) сочетании звуков заложена "золотая" пропорция. По закону "золотого" сечения  построена Солнечная система. Пятеричную симметрию имеет планета Земля, кора которой выложена из пятиугольных плит. Есть основания думать, что  весь мир построен по принципу "золотой" пропорции. В этом смысле Вселенная  в целом является грандиозным  живым организмом, подобие с которым  дает на право самим называться живыми организмами.

    При возведении памятников наиболее распространено отношение на основе золотого сечения. Общая высота памятника обычно относится к высоте фигуры, как высота фигуры к постаменту.

    Ориентация  на необходимость гармонизации формы  всегда опиралась на объективность  избирательного подхода человека при  восприятии пространства (т.е. на предположение  о существовании в природе  и механизмах восприятия особенных  отношений, соответствующих живой  материи, а в отдельных древних  гипотезах — и природе всего  космоса).

    Это утверждало гармонию как законную норму, как порядок отношений в геометрии  объекта искусственной природы, соответствующий законам естественной природы. С древности, мерой архитектурных  объектов выступал человек. Позже, под  давлением социальных требований унификации и стандартизации, антропометрические системы измерения сменились  абстрактными численными и линейными  мерами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    III. Применение замечательных кривых в искусстве 

    Понятие линии возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертания цветов и листьев растений, извилистая линия  берега реки и другие явления природы с давних пор привлекали внимания людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых линий.

    Первые  рисунки на стенах пещер, примитивные  орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать  отдельные кривые. Памятники глубокой древности свидетельствуют о том, что у всех народов на некоторой степени их развития имелись понятия прямой и их окружности. Для построения этих линий использовались простейшие инструменты.

    Однако  лишь с возникновением математических теорий стало развиваться учение о линиях. Греческие ученые создали  теорию линий второго порядка. Эти  линии рассматривались как сечение  конуса плоскостью, вследствие чего в  древности их называли коническими  сечениями. Конические сечения впервые  рассматривал Менехм, который жил  в IV веке до н.э..

    "Золотым  веком" греческой геометрии  называют эпоху, когда жили  и творили математики Архимед  (287-195 гг. до н.э.), Эрастофен (275-195гг. до н.э.), Аполлоний Пергский (250-190гг. до н.э.). Измерение криволинейных  образов связано с именем Архимеда. Он указал методы измерения  длины окружности, площади круга,  сегмента параболы и спирали,  объемов и поверхностей шара, других тел вращения и др.

    Первое  систематическое изложение теории этих линий дал Аполлоний Пергский (III–II вв до н.э.) у своем сочинении «Конические сечения», которое почти целиком дошло до нас. В поисках решения различных задач греческие ученые рассматривали и некоторые трансцендентные линии[6,стр.41].

    В средневековую эпоху важное достижение греческих ученых были забыты. Математическая наука снова обратилась к изучению кривых только в VII веке. Для исследования линий первостепенное значение имело открытее Декартом и Ферма метода координат способствовавшего возникновению исчисления бесконечно малых. Метод координат в соединении с анализом бесконечно малых позволил перейти к исследованию линий общим способом.

    Разнообразные проблемы механики, астрономии, геодэзии, оптики, возникши в VII–VIII века, привели к открытию многих новых линий и изучению их геометрических механических свойств. Этими вопросами с большим энтузиазмом занимались крупнейшие математики эпохи – Декарт, Гюйгенс, Лейбниц, братья Бернулли.

    Следующий важный шаг в изучении линий был сделан Ньютоном, который начал разработку теории кривых третьего порядка. Впоследствии были поставлены задачи: исследовать кривые четвертого и высших порядков, создать общую теорию алгебраических кривых на плоскости, приступить к систематическому изучению алгебраических поверхностей, начиная с поверхности второго порядка.

    В решении последней задачи большой  вклад внес знаменитый математик  VIII Леонард Эйлер, академик Петербургской академии наук. Он описал первое пособие по аналитической геометрии, в котором излагалось теория линий и поверхностей второго порядка.

    К началу XVII века математики знали такие  кривые линии, как эллипс, гиперболу, параболу и т.д. однако в то время  еще не было общего метода изучения линий, и потому исследование каждой кривой превращалось в сложную научную  работу.

    Открытия  Декарта и Ферма доли в руки математиков метод для получения  и изучения новых кривых – надо было написать уравнение кривой и сделать выводы, исследуя это уравнение. Сам Декарт в 1638 году придумал новую кривую, уравнение которой имеет вид x³+y³-3axy=0, a>0[14,стр.27].

    Ее  сейчас называют декартовым листом. Любопытно, что хотя Декарт применял уже в  своей алгебре не только отрицательные, но даже мнимые числа, он не рассматривал отрицательных значений координат. Первоначально декартов лист считали  симметричным относительно осей координат.

    Окончательно  форма кривой была установлена лишь через полстолетия Х.Гюйгенсом (1629-1695) и Иоганном Бернулли (1667-1748).

    Декартов  лист, эллипс, гипербола, парабола являются алгебраическими кривыми. Так называют кривые, уравнение которых имеет  вид Р (х,у)=0, где Р(х,у) – многочлен  от х и у. но уже Галилей и  Декарт изучали циклоиду – кривую, описываемую точкой обода колеса, катящегося без скольжения по прямой дороге. Можно доказать, что уравнение  одной арки циклоиды имеет вид x=r arcos * (r-y)/r - √2ry-у[14,стр29 ]. Так как в это уравнение входит обратная тригонометрическая функция, циклоида не является алгебраической кривой.[приложение 5]

    К неалгебраическим кривым нельзя было применять алгебраические методы, разработанные  Декартом, поэтому их назвали трансцендентными кривыми (от латинского «трансценденс» - выходящий за пределы). Некоторые  трансцендентные кривые были известны еще древнегреческим математикам.

    Например, в связи с задачей о спрямлении окружности (построении отрезка, длина  которого равна длине этой окружности) Архимед построил особую спираль, определив  ее на языке механики как траекторию точки, совершающей равномерное  и поступательное движение по лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего начала.

    После того, как были открыты логарифмы, стали изучать свойства графиков логарифмической и показательной  зависимостей. Задачи механики требования отыскивания формы провисшего каната (так называемой цепной линии). Поиски кривой, длина дуги которой пропорциональна разности длин векторов, проведенных в ее концы, привели к открытию логарифмической спирали.

    В течение XVII столетия было открыто больше кривых, чем за всю предшествующую историю математики, и понадобились общие понятия, которые позволили  бы единым образом трактовать и изучать  как алгебраические, так и трансцендентные  кривые, как тригонометрические, так  и логарифмические зависимости.

    Творцом ортогональных проекций и основоположником начертательной геометрии является французский геометр Гаспар Монж (1746-1818гг.). Знания, накопленные по теории и практике изображения пространственных предметов на плоскости, он систематизировал и обобщил, поднял начертательную геометрию  на уровень научной дисциплины. "…Нужно научить пользоваться начертательной геометрией" - говорил Г. Монж.

    В работе Г. Монжа "Начертательная геометрия" ("Geometric Descriptive"), изданной в 1798г., решались задачи:

    1. Применение теории геометрических  преобразований.

    2. Рассмотрение некоторых вопросов  теории проекций с числовыми  отметками. 

    3. Подробное исследование кривых  линий и поверхностей, в частности  применение вспомогательных плоскостей  и сфер при построении линии  пересечения поверхностей[19,стр208].

    Появление начертательной геометрии было вызвано  возраставшими потребностями в  теории изображений. Дальнейшее развитие начертательная геометрия получила в трудах многих не только ученых, но и художников.