Геометрия и искусство

    Наиболее  существенный вклад Архимед внёс в математику. Ему  принадлежат  теоремы о площадях плоских фигур, объёмах тел. В работе «Измерение круга» он приводит вычисления приближённого  значения длины окружности. В книге «О шаре и цилиндре» им даны вычисления объёма шара и площади его поверхности.

    Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением  правильных многогранников. Убедившись в том, что правильных многогранников только пять, Архимед стал строить  многогранники, у которых гранями  являются правильные, но не одноименные  многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и тоже число рёбер. В результате были получены так называемые равноугольно полуправильные многогранники. До нас дошла работа ученого, которая называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название «тела Архимеда».

    Учёный, по выражению современников, был  околдован геометрией, и, хотя у него было много прекрасных открытий, он просил на своей могиле изобразить цилиндр с вписанным в него шаром и указать соотношение объёмов этих тел. Позже именно по этому изображению была найдена могила Архимеда.

    В последние столетия возникли  и  развивались новые направления  геометрии, среди которых геометрия  Лобачевского, топология, теория графов и др. Появились новые методы, в том числе координатный и  векторный, позволяющий переводить геометрические задачи на язык алгебры  и наоборот. Достижения геометрии  широко используют в других науках: физике, химии, географии и т. д. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    II. Теория пропорций в архитектуре и живописи 

    2.1 Возникновение и развитие теории пропорций 

    Еще в глубокой древности человеком  было обнаружено, что все явления  в природе связаны друг с другом, что все пребывает в непрерывном  движении, изменении, и, будучи выражено числом, обнаруживает удивительные закономерности.

    В Древней Греции эпохи классики возник ряд учений о гармонии. Из них  наиболее глубокий след в мировой  культуре оставило Пифагорейское учение. Последователи Пифагора представляли мир, вселенную, космос, природу и  человека как единое целое, где все  взаимосвязано и находится в  гармонических отношениях. Гармония здесь выступает как начало порядка  — упорядочивания хаоса.

    Гармония  присуща природе и искусству: «Одни и те же законы существуют для музыкальных ладов и планет»[18,стр.32]. Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено, что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание).

    Пифагорейцы пытались математически обосновать идею единства мира, утверждали, что  в основе мироздания лежат симметричные геометрические формы.

    Пифагорейцы искали математическое обоснование  красоте. Они исследовали пропорции  человеческого тела и утвердили  математический канон красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую «Канон».

    Все классическое искусство Греции носит  печать пифагорейского учения о пропорциях. Его влияние испытали на себе ученые средневековья, наука и искусство  эпохи Возрождения, Нового времени  вплоть до наших дней.

    Вслед за пифагорейцами средневековый  ученый Августин назвал красоту «числовым  равенством». Философ схоласт Бонавентура  писал: «Красоты и наслаждения нет  без пропорциональности, пропорциональность же, прежде всего, существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению»[11,стр.28].

    Об  использовании пропорции в искусстве  Леонардо да Винчи писал в своем  трактате о живописи: «Живописец воплощает  в форме пропорции те же таящиеся в природе закономерности, которые  в форме числового закона познает  ученый»[11,стр.34].

    Таким образом, пропорциональность, соразмерность  частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций.

    Слово «пропорция» ввел  в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., переводя  на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал  «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение».  С тех пор вот уже 2000 лет  пропорций в математике называют равенство между отношениями  четырёх величин a,6,c,d.

    Пропорция означает равенство двух или нескольких отношений. Существует несколько видов пропорциональности: математическая, гармоническая, геометрическая и др.

    В математической равенство двух отношений выражается формулой a : b = с : d, и каждый член ее может быть определен через остальные три.

    В гармонической пропорции 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например: а : с = (а — в) : (в — с)

    В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий: а : в = в : с

    Разновидностью  геометрической пропорции является пропорция так называемого «золотого сечения», имеющая всего два члена «а» и «в» — излюбленная пропорция художников, которую в эпоху Возрождения называли «божественной пропорцией».

    Особенностью  пропорции золотого сечения является то, что в ней последний член представляет собой разность между  двумя предыдущими членами, т. е.: а : в = в : (а — в) [приложение 1]

    Отношение золотого сечения выражается числом 0,618[21,стр.198].

    Пропорциональность  в природе, искусстве, архитектуре  означает соблюдение определенных соотношений  между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного  и красивого изображения предмета.

    Золотым сечением и даже "божественной пропорцией" называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается в природе.

    Окружающие  нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение  ширины и длины, близкое к числу 0,618.

    Одним из первых проявление золотого сечения  в природе подметил немецкий математик  и астроном Иоганн Кеплер (1570 – 1630). С XVII века наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться. В 1850 году немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138^о.

    Если  внимательно рассмотреть веточку  с листьями, то можно заметить, что  основания черешков располагаются  по винтовой линии, каждый следующий  лист прикреплен выше и в сторону  от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьется вокруг стебля по правильной винтовой линии.

    Проследив за расположением листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены один над  другим. Часть спирали, заключенная  между двумя такими листьями, называется в ботанике "циклом".[приложение 2]

    Для краткости и удобства обозначают листорасположение в виде дроби, в числителе которой число  оборотов одного цикла спирали, а  в знаменателе – число листьев  в этом цикле, так, дробь 3/8 показывает, что один цикл спирали трижды огибает  стебель, и что в одном цикле  восемь листьев. Эта же самая дробь  выражает и угол расхождения двух соседних листьев.

    Каждый  вид растений имеет свое листорасположение, вернее, угол расхождения листьев, который  характерен не только для листьев, но и для расположения веток, почек, цветов, чашек внутри почек. Но этот угол не произвольный, а подчиняется  определенному закону.

    Во  всем растительном мире наблюдается  небольшое число типов листорасположения, выражающихся немногими дробями: 1/2:1/3; 2/5:3/8; 5/13:8/21[13,стр.108].

    Ученые  заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и неожиданной  особенностью, а именно, что каждая из дробей начиная с третьей, получается из двух предыдущих путем сложения их числителей и знаменателей: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13; … и 2, 3, 5, 8, 13, 21.

    Семечки в корзинке подсолнуха выстраиваются  вдоль спиралей, которые закручиваются  как слева направо, так и справа налево. В одну сторону закручено 13 спиралей, в другую – 21.

    В более крупных соцветиях подсолнечника  число соответствующих спиралей – 21 и 34, или 34 и 55. Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек, или ячеек ананаса. В верхушках очень многих побегов  можно различить такие же системы  спиральных рядов.

    Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры  – храм Парфенон – построено  в V веке до нашей эры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618.[приложение 3] 
 

    2.2 Использование «золотого сечения» в живописи и архитектуре 

    "Золотое"  сечение – один из основополагающих  принципов природы.

    Золотая пропорция – отношение большей  части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный  рост побега до зрелости и замедленный  рост до момента цветения, когда  достигшее полной силы растение готовится  дать жизнь новому побегу[9,стр.73].

    "Золотая"  пропорция – понятие математическое. Но она является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства.

    Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношение частей человеческого  тела связывались с формулой "золотого" сечения. Пропорции "золотого" сечения  создают впечатления гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

    То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в  определенной пропорции, знает каждый: Недаром мы говорим о пропорционально  сложенной фигуре. Но далеко не всем известно, что здесь имеет место  золотое деление. Лучшим примером того, что древние ваятели использовали этот принцип при изображении  человеческого тела, являются античные статуи.

    Соотношение величин, составляющих основу художественного произведения, а также отдельных составляющих и всего произведения в целом. Существуют, к примеру, архитектурные пропорции, а также пропорции, применяющиеся для изображения лица и тела человека. Представления о пропорциях появились в ходе практики художников и архитекторов древности, которые применяли при создании произведений определенные геометрические построения и модули.

    Пропорциям  тела и лица свойственно меняться от человека к человеку. Тем не менее, высота классической фигуры Греции и  Ренессанса была равна восьми размерам головы человека. Художники-маньеристы рисовали вытянутую фигуру (высотой в 9 и более размеров головы).

    В действительности, средняя высота человеческой фигуры в природе составляет величину, равную семи с половиной размерам головы. Однако фигура высотой 8 голов  пока считается наилучшей: она полна  достоинства и удобна для проведения измерений.

    Классическая  мужская фигура имеет следующие  размеры: две высоты головы в плечах и полторы головы — на уровне бедер. Размеры женской фигуры противоположны мужским пропорциям. На поверхность  тела выступают очертания некоторых  костей — они становятся весьма полезным ориентиром при определении  пропорций. Эти кости расположены сразу под кожным покровом. Они хорошо видны, выступая на поверхности худой фигуры; на плотном теле похожи на впадины.

    Пропорции человеческого  лица не могут быть математически  и геометрически измерены, поскольку  многие параметры являются подвижными, но все, же основные неподвижные размеры  могут быть измерены.