Движение плоскостей и некоторых их свойств

Рис.14                                             Рис.15                                             Рис.16 

Решение.

      Заметим, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки P на прямой a, а                            

      →   –→

вектор  v = PQ определяется лишь прямыми a и b. Поэтому надо найти такое положение точки P, при котором сумма AP +QB будет наименьшей. Пока отрезки AP и QB удалены друг от друга.                                                                                                                          →

Переведём отрезок AP  в положение A’Q параллельным переносом на вектор v.

Получим ломаную A’QB. И теперь становится ясно, что длина ломаной A’QB, а значит и длина l, будет наименьшей в том случае, когда точки A’, Q, B лежат на одной прямой. Итак, Q – точка пересечения отрезка A’B  с прямой b, а P  – проекция Q на a (рис.15, рис.16). 
 
 
 

  Метод поворота. 

      Рассмотрим, в качестве примера использования  метода поворота, следующую задачу.

Задача.

      В данном треугольнике ABC найти такую точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника наименьшая.

Решение.

      Возьмём в треугольнике  ABC  любую точку X (рис.17)  и рассмотрим  сумму  

l = XA + XB + XC.

          Рис.17                                            Рис.18                                               Рис.19 

      Чтобы искать наименьшее значение суммы, надо построить ломаную из отрезков XA, XB, XC. Для этого повернём треугольник ABX  вокруг точки А в сторону от треугольника ABC на 60^о. Получим:  ∆AB’X ’ = ∆ABX’ (рис.18).

      Рассмотрим  ломаную B’X ’XC.  В ней B’X’=BX  и X’X=XA

      (т.к. ∆AXX ’ – равносторонний).

      Следовательно, B’X’ + X’X + XC = l. 

      И становится ясно, что l достигает наименьшего значения тогда, когда точки X’ и  X лежат на отрезке B’C. (Заметим, что положение точки B’ определено – она вершина равностороннего треугольника ABB’).

      В этом случае углы AX’B’ и AXC – внешние углы равностороннего треугольника AXX’. Поэтому ∟AXC = ∟AX’B’=120^o. А тогда и ∟BXC = 120^o.

      Итак. l достигает наименьшего значения для такой точки X, из которой все стороны треугольника видны под равными углами. Эту точку Х легко построить на отрезке B’C, применив, например, параллельный перенос (рис.19).

Замечание. Это решение пригодно лишь для треугольника, в котором все углы меньше 120^о.

      Добавим, что такую точку в треугольнике называют точкой Ферма, или чаще - точкой Торричелли (в честь итальянского математика начала XYII в. Эванджелиста Торричелли).