Движение плоскостей и некоторых их свойств

                       
 

Реферат

                  По геометрии на тему:

«Движение плоскостей и некоторых

их свойств» 
 
 

Ученика 9 «б» класса

Ошинского Владимира 
 
 
 

Содержание:

1.Определение  движений………………………………………………….…2

2.Свойства движений…………………………………………………………3

3.Виды движения……………………………………………………………..7

4. Применение движений в решении задач………………………………….11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Определение движений.

 

     При смещении каждой точки данной фигуры каким-либо образом получается новая  фигура. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками, т.е. переводит любые  две  точки  X и Y  одной  фигуры  в точки X’ и  Y’ другой фигуры так, что XY = X’Y’.

Определение.  Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние

между точками, называется движением этой фигуры.

   Замечание:  понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. Но если, говоря о перемещении, мы представляем себе непрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значение только начальное и конечное (образ) положения фигуры. Этим геометрический подход отличается от физического.

     При движении разным точкам соответствуют  разные образы, причём каждой точке  Х одной фигуры ставится в соответствие единственная точка Х’ другой фигуры.  Такое преобразование фигур называют взаимно однозначным или биективным.

     Применительно к движениям вместо термина «равенство»  фигур (прямых, отрезков, плоскостей и  т.д.) употребляется термин «конгруэнтность» и используется символ @. Для обозначения принадлежности используется символ є. С учётом сказанного можно дать более корректное определение движению: 

  Движение  – это биективное преобразование φ  плоскости π, при  котором для любых различных точек X, Y є π выполнено соотношение XY @ φ(X )φ(Y). 

     Результат последовательного выполнения двух движений называется композицией. Если сначала выполняется движение φ, а следом за ним движение ψ, то композиция этих движений обозначается через ψ ◦ φ.

      Самым  простым  примером  движения  является  тождественное  отображение (принято  обозначать - ε), при котором каждой точке Х, принадлежащей плоскости, сопоставляется сама эта точка,  т.е. ε(X) = X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Свойства  движений.

Cвойство 1.

Лемма Композиция  φ ◦ ψ  двух движений ψ, φ является движением.

   Доказательство.

   Пусть фигура F переводится движением ψ в фигуру F’, а фигура F’ переводится движением φ в фигуру F’’.  Пусть при первом движении точка X фигуры F переходит в точку X’ фигуры F’ , а при втором движении точка X’ фигуры F’ переходит в точку X’’ фигуры F’’.  Тогда преобразование фигуры F в фигуру F’’,  при котором произвольная точка X фигуры F переходит в точку X’’ фигуры F’’, сохраняет расстояние между точками, а значит, также является движением.

   Заметим, что запись композиции всегда начинается с последнего движения, т.к. результатом  композиции является конечный образ  – он и ставится в соответствие исходному:

X’’= ψ(X’) = ψ(φ (X)) = ψ ◦ φ (X) 

Cвойство 2.

Лемма Если φ–движение,то преобразование φ^-1 также является движением.

   Доказательство. 

   Пусть преобразование фигуры F в фигуру F’ переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F’. Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку X’ фигуры F’.

   Преобразование  фигуры F’  в фигуру F, при котором точка X’ переходит в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Для каждого движения φ можно определить обратное ему движение, которое обозначается φ^-1.

   Рассуждая аналогично доказательству свойства 1, можно убедиться, что  преобразование, обратное движению, также является движением.

   Очевидно, что преобразование φ^-1 удовлетворяет  равенствам:

   f ◦ f^-1  = f^-1 ◦ f  = ε,  где ε – тождественное отображение. 
 

Свойство 3 (ассоциативность композиций). 

Лемма.  Пусть φ₁, φ₂, φ₃ – произвольные движения. Тогда φ₁◦(φ₂◦ φ₃) = (φ₁◦φ₂)◦φ₃.

   Тот факт, что композиция движений обладает свойством ассоциативности, позволяет  определить степень φ с натуральным показателем n.

   Положим  φ¹  = φ  и φⁿ⁺¹ = φⁿ ◦ φ, если  n ≥ 1. Таким образом, движение φⁿ  получается путём  n-кратного последовательного применения движения φ.

  

Cвойство 4 (сохранение прямолинейности). 

Теорема. Точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в точки, лежащие на  одной прямой,  и сохраняется порядок их  взаимного расположения.

   Это значит, что если точки A, B, C, лежащие на одной прямой (такие точки называют коллинеарными), переходят в точки A₁, B₁, C₁, то эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B₁ лежит между точками A₁ и C₁.

   Доказательство.

   Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A₁, B₁, C₁  лежат на одной прямой.

   Если  точки A₁, B₁, C₁  не лежат на одной прямой, то они являются вершинами некоторого треугольника A₁B₁C₁. Поэтому A₁C₁  < A₁B₁  + B₁C₁.

   По  определению движения следует, что  AC < AB  + BC.

   Однако  по свойству измерения отрезков AC = AB  + BC.

   Мы  пришли к противоречию. Значит, точка  B₁ лежит между точками A₁ и C₁.

   Допустим, что точка  A₁ лежит между точками B₁, и C₁. Тогда A₁B₁ + A₁C₁ = B₁C₁, и, следовательно, AB + AC = BC. Но это противоречит равенству AB  + BC = AC.

   Таким образом, точка  A₁ не лежит между точками B₁, и C₁.

   Аналогично  доказывается, что точка C₁  не может лежать между точками A₁  и B₁.

   Т.к. из трёх точек A₁, B₁, C₁  одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B₁. Теорема доказана полностью.

Следствие.  При движении прямая отображается на прямую, луч – на луч, отрезок – на отрезок, а треугольник – на равный ему треугольник. 

   Если  через  Х обозначить множество точек плоскости, а через φ(Х) - образ множества Х при движении φ, т.е. множество всех точек вида φ(х),  где х є Х, то можно дать более корректную формулировку данного свойства:

Пусть φ – движение, А, В, С – три  различные коллинеарные точки.

       Тогда точки   φ(А),  φ(В),  φ(С)  также коллинеарны.

       Если l – прямая, то φ(l) также прямая.

       Если множество  Х является лучом  (отрезком, полуплоскостью), то

       множество φ(Х)  также является  лучом (отрезком, полуплоскостью).

Свойство 5. 

Теорема.  При движении сохраняются углы между лучами.

   Доказательство.

   Пусть AB и AC – два луча, исходящие, из точки A, не лежащие на одной прямой. При движении эти лучи переходят в некоторые полупрямые (лучи) A₁B₁  и A₁C₁.

   Т.к. движение сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A₁B₁C₁  равны по третьему признаку равенства треугольников (если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны).Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B₁ A₁C₁, что и требовалось доказать.

   Можно дать более корректную формулировку данного свойства:

   Образом произвольного угла при движении является угол, конгруэнтный данному. 

Свойство 6.

Предложение Всякое движение сохраняет сонаправленность лучей

         и одинаковую ориентированность  флагов.

   Прежде, чем приступить к доказательству, напомним, что лучи l_А и l_В называются сонаправленными (одинаково ориентированными, обозначение: l_А ↑↑ l_В), если один из них содержится в другом, или если они совмещаются параллельным переносом.Теперь необходимо определить понятие флага. 

Определение. Флаг F = (π_l, l_o)  – это объединение полуплоскости π_l  и луча l_o.  

       Точка О – начало флага, луч l_o с началом в точке О – древко флага, π_l  – полуплоскость с границей l (рис.5). 

Рис.5