Движение плоскостей и некоторых их свойств

   Доказательство.

   Пусть φ – произвольное движение, l_А ↑↑ l_В  –  сонаправленные лучи с началами в точках А и В соответственно. Введём обозначения: l_А1 = φ(l_А), А₁ = φ(А), l_В1 = φ(l_В), В₁ = φ(А).

   Если  лучи l_А и l_В лежат на одной прямой, то в силу сонаправленности один из них содержится в другом. Считая, что l_А Í l_В , получаем φ(l_А) Í φ(l_В), т.е. l_А1 ↑↑ l_В1 (символом Í  обозначается включение или равенство подмножества элементов множеству элементов).

   Если  же l_А , l_В лежат на разных прямых, то пусть n = (AB).Тогда существует такая полуплоскость π_n,  что l_А, l_В Ì π_n.  Отсюда φ(l_А),φ(l_В) Ì φ(π_n). Поскольку φ(π_n) – полуплоскость, причем ее граница содержит точки А₁ и В₁ , мы опять получаем, что l_А , l_В сонаправлены.

   Применим   теперь   движение  φ   к   одинаково   ориентированным   флагам   F = (π_l,l_А), G = (π_m,m_B).

   Рассмотрим  сначала случай , когда точки  A и B совпадают. Если прямые l и m различны, то одинаковая ориентированность флагов означает, что либо (1) l_АÌ π_m,, m_АÌ π’_l, либо (2) l_АÌ π’_m, m_АÌ π_l. Без ограничения общности можно считать, что выполняется условие (1). Тогда φ(l_А) Ì φ(π_m), φ(m_А) Ì φ(π’_l). Отсюда вытекает одинаковая ориентированность флагов φ(F) и φ(G).Если же прямые l, m совпадают, то либо F = G, либо F = G’. Отсюда следует, что флаги φ(F) и φ(G) одинаково ориентированные.

     Пусть теперь точки A и B различны. Обозначим через n прямую (AB). Понятно, что найдутся сонаправленные лучи n_A и n_B и полуплоскость π_n такие, что флаг F₁ = (π_n, n_A) сонаправлен с F, а флаг G₁= (π_n, n_B,) сонаправлен с G. Значит φ(F) и φ(G) одинаково ориентированные.Теорема доказана. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Виды  движения.

   Если  на плоскости фигура F’ конгруэнтна фигуре F, то существует некоторое движение, переводящее F в F’. Оказывается, что на плоскости существует всего лишь четыре вида движений:

• Параллельный перенос;
• Поворот вокруг точки;
• Симметрия относительно точки или центральная симметрия
• Симметрия относительно прямой  (осевая или зеркальная симметрия);

 
 

Параллельный  перенос. 

      Реальным  примером фигур, полученных друг из друга  параллельным переносом, являются одинаковые окна на фасаде дома. Начертив на плане  одно из окон, можно затем получить любое другое окно, сместив все  точки первого в одном и  том же направлении на одно и то же расстояние. Это свойство и определяет параллельный перенос.

Определение. Параллельным переносом называется такое преобразование фигуры, при   котором   все   точки   фигуры  перемещаются  в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

           

Подробнее: если  при параллельном  переносе точкам  X и Y cопоставлены точки X’ и Y’,  то

направленные  отрезки XX’ и YY’ равны и одинаково направлены, так, что XX’=YY’. Равные направленные отрезки представляют один и тот же вектор. Поэтому можно сказать так: 

параллельный  перенос  –  это  преобразование τ,  при котором все точки фигуры перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса. 

Обозначение:   τ_–→,  где АВ –  вектор переноса.

             АВ  

Теорема  Параллельный перенос является движением.

      Доказательство.

      Пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X’ и Y’. Тогда, как

следует из определения переноса, выполняется  равенство XX’=YY’.

      Согласно  признаку равенства векторов из равенства XX’=YY’  следует равенство

XY=X’Y’. Поэтому X’Y’=XY, откуда следует, что параллельный перенос – движение, что и требовалось доказать.

      Частным случаем параллельного переноса можно считать тождественное отображение (ε). Ясно, что при тождественном отображении происходит параллельный перенос на нулевой вектор. 
 

Поворот. 

      Пусть дана точка O. На окружности с центром O можно указать одно из двух направлений обхода - по часовой стрелке или против неё. Этим задаются также два направления отсчёта углов от идущих из точки O лучей - по часовой стрелке или против неё.

      Поворот фигуры F вокруг центра O на данный угол φ в данном направлении определяется так: каждой точке X фигуры F сопоставляется такая точка X’, что, во-первых, OX’=OX, во-вторых, ∟X’OX = φ, и, в-третьих, луч OX’ откладывается от луча OX в заданном направлении.

Определение. Поворотом плоскости ρ вокруг данной точки O  называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол  α  в одном и том же направлении.

Обозначение:  ρ^α_О 

Теорема  Поворот является движением.

      Доказательство.

      Пусть O - центр поворота, α - угол поворота по часовой стрелке (случай поворота против часовой стрелки рассматривается аналогично). Допустим, что точки M и N перешли при этом повороте в точки M’ и N’. Треугольники  OMN и OM’N’ равны по двум сторонам и углу между ними:    OM=OM’, ON=ON’  и  ∟MON=∟M’ON’.

      Из  равенства этих треугольников следует, что MN=M’N’’, как соответственные стороны, т.е. расстояние между точками M и N равно расстоянию между точками M’ и N’.

      Если  точки M, O и N лежат на одной прямой, то отрезки MN  и  M’N’’ буду либо суммой, либо разностью равных отрезков OM, ON  и OM’, ON’. Поэтому и в этом случае MN=M’N’’, а значит – поворот является движением, что и требовалось доказать. 

      Особый  случай представляет поворот на 180^о.

      Если O - центр такого поворота, то, чтобы построить точку, cсоответствующую точке X, достаточно продолжить отрезок XO за точку O на отрезок OX’=OX. Точки X и X’ в этом случае называют симметричными относительно точки O,  а само преобразование  – центральная симметрия с центром в точке O ( σ_О ) .

      Т.к. симметричность точек  X и X’ относительно некоторой точки O взаимна, то и симметричность фигур относительно точки взаимна. А именно, если фигура F перешла при симметрии с центром O в фигуру F’, то и F’ при этой симметрии перешла в F. В частности, фигура F может быть  симметрична сама себе относительно точки O. Тогда говорят, что фигура F симметрична относительно точки O, и что точка O  является центром симметрии фигуры F. Например, центр круга – это его центр симметрии, точка пересечения диагоналей параллелограмма – его центр симметрии.

      Другой  частный случай поворота – тождественное отображение (ε). Ясно, что тождественное отображение можно рассматривать как поворот вокруг произвольной точки на угол 0^о или на угол 360^о. 

Симметрия относительно точки  или центральная  симметрия

  Симметрия относительно точки или центральная симметрия (рис.1, 2, 3, 4) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Рис.1

Рис.2

рис.3

рис.4 

Центр симметрии  многогранников указывает на наличие  двух равных и взаимно параллельных граней. Например, у параллелепипеда (рис.5.6) грань АА1'В1'В равна и  параллельна грани В1В1А1А1. Рассмотрим симметричность вершин. Точке А симметричны  две точки А1. Одна - относительно центра симметрии многогранника, другая - относительно центра симметрии грани. В свою очередь, точкам А1 симетрична точка А1' и т.д. Как видно из чертежа, грани параллелепипеда  и прямо, и обратно параллельны. В случае октаэдра (рис.5.7) имеется  только обратная параллельность граней, например, АВС и А1В1С1.

    Таким  образом, симметричность относительно  точки характеризуется тем, что  любая проходящая через центр  симметрии прямая отмечает на  фигуре пару точек, т.е. точек,  расположенных от нее на равных  расстояниях. На чертежах технических  деталей такие точки наносятся  сравнительно редко, но при  графических построениях, связанных  с анализом кристаллических и  молекулярных структур, им уделяется  большое внимание.                                                    

Симметрия относительно прямой

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) - это  такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной  по одну сторону прямой, всегда будет  соответствовать точка, расположенная  по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут  перпендикулярны оси симметрии  и делятся ею пополам (рис. 3,4)

рис.3 рис.4

  

               

4.Применение  движений в решении  задач.

 

  Метод параллельного  переноса. 

      Применение  каждого преобразования имеет свои особенности. Метод параллельного  переноса позволяет сблизить удалённые  друг от друга части фигуры и тем  упростить задачу.

Рассмотрим, в качестве примера, следующую задачу.

Задача.

      Где  следует  построить  мост  через  реку,  разделяющую пункты А и В,  чтобы путь  l = AP + PQ + QB  был кратчайшим? Берега реки считаются параллельными прямыми a и b, а мост, естественно, строится перпендикулярно берегам реки (рис.14).