Кристаллы и Кристаллография

 

  Разрастание кристалла происходит путем параллельного самим себе перемещения граней в пространстве в направлении, перпендикулярном к плоскости грани.. Количество возможных граней в кристалле бесконечно и соответствует бесконечно большому количеству различных плоских сеток в его пространственной решетке.

Различные грани кристалла и плоские  сетки структуры отличаются плотностью расположения материальных частиц или  так называемой ретикулярной плотностью (рис.5). Под ретикулярной плотностью грани понимается количество материальных частиц, приходящихся на единицу ее поверхности. Грани, имеющие разную ретикулярную плотность, растут с различной скоростью.

  В общем случае под скоростью роста грани понимается скорость передвижения ее в пространстве параллельно самой себе. Малая скорость роста характерна для граней с большой ретикулярной плотностью. В этом случае силы, действующие между частицами в плоскости грани - или тангенциальные силы, преобладают над силами, действующими перпендикулярно к грани и вызывающими присоединение частиц из вмещающей среды.

 

 

Рис 5. Схема, иллюстрирующая различную плотность расположения узлов на различных плоских сетках пространственной решетки и соответствующих  им

гранях А, О и R.

 

  Для граней же с малой ретикулярной плотностью преобладают силы нормальные к плоскости грани, что и вызывает активное присоединение частиц и ускоренный рост граней. Быстрый рост граней с малой ретикулярной плотностью, т.е. быстрое их продвижение в пространстве параллельно самим себе, приводит в конечном итоге к исчезновению таких граней на поверхности растущего кристалла (рис. 6).

 

 

Рис 6. Схема, иллюстрирующая исчезновение в огранке кристалла быстро растущих граней. Стрелки-векторы отражают соотношение скоростей роста граней

 

   В итоге реальные кристаллы оказываются ограненными лишь медленно растущими гранями, имеющими большую ретикулярную плотность.

   Если  бы можно было создать идеальные  и бесконечно долго сохраняющиеся условия роста кристалла, то он мог бы вырасти бесконечно большим. В действительности таких условий, конечно, не существует, однако в природе известны находки кристаллов больших размеров. На        Украине был найден кристалл кварца весом около 70 тонн. В Бразилии встречен топаз весом 270 кг. В большинстве же случаев приходится иметь дело с мелкими и микроскопически мелкими кристаллами с многочисленными дефектами во внешней огранке или с кристаллическими зернами, не имеющими собственной внешней огранки.

   Поэтому  существует необходимость различать  идиоморфные кристаллы, имеющие хотя бы частичную внешнюю собственную огранку, и ксеноморфные кристаллические зерна, имеющие вынужденную, обусловленную средой, ложную, часто неправильную внешнюю форму. Общим для идиоморфных кристаллов и ксеноморфных кристаллических зерен остается правильное регулярное их строение по типу пространственной решетки.

   Способность  самоограняться является свойством  только кристаллических твердых тел. Аморфные твердые тела таким свойством не обладают. Другими важными свойствами кристаллов являются однородность, анизотропность и симметричность. Симметрия кристаллов будет рассмотрена ниже в специальных разделах.

   В однородности идеального бездефектного кристалла можно убедиться, если попробовать разделить его на мелкие части. Каждая мелкая частица кристалла будет повторять основные свойства кристалла в целом (например, оптические, электрические и др.) и будет иметь одинаковый с ним химический состав. В свойстве однородности находит свое внешнее выражение и периодичность (повторяемость) кристаллической структуры. Любая часть большого кристалла построена из одинаковых элементарных ячеек с одинаковым внутренним расположением структурных единиц и с одинаковым их качественным и количественным составом.

   Анизотропность может быть расшифрована как различие свойств кристалла по разным направлениям при равенстве свойств по одинаковым направлениям. Классическим примером анизотропности является кристалл кианита - Al₂ [SiO4]O. Он имеет форму слабо уплощенной пластинки, вытянутой в одном направлении (рис.7).

 

 

Рис 7. Кристалл кианита. Штриховыми линиями на грани показаны направления, вдоль которых кианит имеет разную твердость

 

   Оказывается, что в направлении вытянутости - направлении "с" - кристалл имеет меньшую твердость (чертится стальным ножом), чем в направлении, перпендикулярном удлинению - направлении "b" (не чертится ножом). С этим свойством связано старое название кианита - дистен.

   Анизотропность кристаллов  проявляется в их оптических, механических, электрических и других свойствах. На рисунке 8, показан кристалл оливина - (Fe,Mg)₂[SiO4]   В нем показаны три направления а, b и с, вдоль которых кристалл имеет различные показатели преломления.

 

 

Рис. 8. Кристалл оливина (1) и фрагмент его структуры (2), описывающий распределение атомов магния в плоскости be (а, b, и с - направления, различающиеся по показателям преломления).

 

   Неравенство свойств кристаллов по разным направлениям легко объясняется их строением по типу пространственной решетки. На рис.1.8₂ приведен фрагмент пространственной решетки, описывающий распределение атомов магния в структуре оливина в плоскости bc.    

   Хорошо видно, что направления b и с в структуре имеют разную периодичность, то есть различный характер распределения атомов. Точно также можно было показать и отличие направления а от b и с. Следствием этого и являются различные показатели преломления в указанных направлениях.

 

 

СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ И ПЛОСКИХ СЕТОК

 

   Закон целых чисел позволяет описывать пространственную ориентировку граней кристаллов, характеризовать тип этих граней и соответствующих им плоских сеток в виде очень наглядной системы простых целых чисел - индексов, объединяемых в кристаллографический символ. Понятие о кристаллографических символах сначала рассмотрим на примере плоских сеток пространственной решетки.

   Для этого обратимся к рис. 9. На нем изображена серия параллельных (одинаковых) плоских сеток, расположенных на разных расстояниях от начала координат - точки О (точки пересечения ребер - рядов, принятых за координатные оси), но на равном расстоянии друг от друга, называемом межплоскостным расстоянием. Наиболее близкая к началу координат плоская сетка имеет параметры по оси OI - а, по оси ОII - 2в, по оси О - 2с. Наиболее удаленная сетка имеет параметры, соответственно: 3a, 6b и 6с.

 

 

Рисунок 9. Система параллельных плоских сеток, соответствующая  грани с символом (211).

 

   Возьмем двойные отношения единиц измерения по соответствующим осям (периодов повторяемости или промежутков рядов) к параметрам выбранных плоских сеток. Получим

 

 

 

Рис 10. К закону рациональных отношений параметров (закону целых чисел). Плоские сетки пространственной решетки с различной плотностью расположения

узлов (ретикулярной плотностью).

 

  Такой же результат мы получим и для любой другой плоской сетки из рассматриваемой системы параллельных плоских сеток. Записав полученное отношение трех простых чисел в круглых скобках без знаков деления, получим символ рассматриваемой системы плоских сеток и символ, соответствующей им грани кристалла (211), который читается "два - один - один". Рассуждая таким же образом, для плоских сеток, изображенных на рисунке 4.3, получим: для сетки AB₁C - символ (111), для сетки АВ₂С — (313), для сетки АВ₃С — (515).      Если принять, что плоская сетка, параллельная некоторой оси, отсекает по ней параметр бесконечной величины, то символ сетки v, изображенной на рисунке 10 будет:

 

 

   Символ плоской сетки и грани в общем виде записывается (hkl) читается «аш-ка-эль» Грани, параллельные плоскостям координатных осей I-O-II; I-0-III и II-0-III, будут иметь символы, соответственно, (001), (010) и (100).

Для определения символов граней кристаллического многогранника в нем необходимо выбрать некоторую систему координатных (или кристаллографических) осей, а также выбрать осевые единицы. Кристаллографические оси необходимо выбрать таким образом, чтобы они были параллельны ребрам кристалла или рядам пространственной решетки, описывающей структуру этого кристалла.

   Доказано, что оси симметрии и нормали к плоскостям симметрии кристаллических многогранников совпадают или параллельны рядам пространственной решетки. Кроме этого, они представляют собой наиболее характерные (особые) направления в кристаллах, с помощью которых можно построить пространственную решетку, наиболее удачно описывающую структуру кристалла. Поэтому кристаллографические оси прежде всего выбираются параллельно осям симметрии или нормалям к плоскостям симметрии и лишь при их отсутствии проводятся параллельно ребрам кристалла (осям поясов).

  Как известно, каждой сингонии соответствует свой особый координатный репер, отличающийся от других либо соотношением осевых единиц, либо соотношением осевых единиц и углами между координатными осями (таблица 4.1). Выбор в кристалле координатных (кристаллографических) осей и выбор осевых единиц называется установкой кристалла. Установка кристалла дает возможность определить символы любых его граней, подобно тому, как определялись символы плоских сеток. Выбор координатных осей может быть сделан однозначно, в соответствии с правилами, изложенными в таблице 4.1. Выбор же осевых единиц, без которых нельзя определить символ грани, даже если мы знаем ее параметры, затруднен и требует некоторого особого приема.

  Для решения задачи выбора осевых единиц при установке кристалла введем понятие о единичной грани. Назовем единичной такую грань, параметры которой по соответствующим осям координат X, Y и Z относятся между собой так же, как промежутки (периоды идентичности) рядов пространственной решетки, параллельно которым выбраны координатные оси. Практически в кристалле одна из граней, пересекающая три координатные оси, принимается за единичную. Ее параметры a₀, b₀ и c₀ будут масштабными.

 

Сингония .1	Координатный репер	Выбор осей координат  в кристалле	Единичная грань (111)
Кубическая	a = b = c         α = β = γ = = 90°	X, Y, Z - три оси L4; при их отсутствии - три оси L2	Грань октаэдра или тетраэдра
Гексагональная и тригональная	a = b ≠ c         α = β = 90° γ = 120°	Z- L3, L6 или Lie оси X, Y и u - три эквивалентных оси L2; при их отсутствии - 3 нормали к плоскостям симметрии; при отсутствии плоскостей - три направления, параллельные рёбрам	Грани тригональных и гексагональных пирамид, дипирамид, ромбоэдра с символами (1011)(1121)
Тетрагональная	a = b ≠ c         α = β = γ = = 90°	Z - L4 или Li4; оси X и Y - две эквивалентных оси L2 или, при их отсутствии - две нормали к плоскостям симметрии; при отсутствии плоскостей - два направления параллельные рёбрам.	Грани тетрагональных пирамиды, дипирамиды, тетраэдра
Ромбическая	a ≠ b ≠ c         α = β = γ = = 90°	Z - L2 (обычно по удлинению кристалла); X и Y - две другие оси второго порядка или нормали к плоскостям симметрии	Грани ромбических . пирамиды, дипира-миды или тетраэдра.
Моноклинная	a ≠ b ≠ c         α = λ = 90° ≠ ≠ β	V - L2 или нормаль к плоскости, X и Z в плоскости перпендикулярной оси Y, параллельно рёбрам.	Грани ромбической призмы или диэдра.
Триклин-ная	a ≠ b ≠ c         α ≠ β ≠ γ ≠ ≠ 90°	Все координатные оси параллельны рёбрам кристалла (осям соответствующих поясов)	Грани пинакоида или моноэдра.

 

   В соответствии с законом целых чисел двойные отношения параметров единичной грани к параметрам а, в и с любой другой грани кристалла будут представлять собой отношения целых чисел h:k:l, принимаемое в качестве символа (hkl) этой грани.

   В кристаллах кубической  сингонии, в соответствии с их  симметрией и принятым координатным  репером, все параметры единичной  грани будут равны: а₀ = в₀ = с₀; в кристаллах средней категории а₀ = в₀ = с₀ кристаллах низшей категории а₀ = в₀ = с₀. Символ самой единичной грани в кристаллах с трехосной системой координат всегда будет (111), независимо от соотношения параметров и углов между осями координат. Таким образом, если мы измерим параметры единичной грани разными осевыми единицами, отвечающими той или иной оси координат, то они окажутся одинаковыми. Выбор единичной грани удобно разрешает проблему выбора осевых единиц при определении символов граней кристалла.

   Вместе с тем возникает вопрос: какова вероятность того, что выбираемая в качестве единичной грань действительно является единичной и имеет параметры, отношение которых отвечает истинному отношению осевых единиц, определяемому структурой кристалла? Иными словами, какова вероятность того, что выбранная в качестве единичной грань, пересекающая все координатные оси, действительно соответствует плоским (атомным) сеткам структуры кристалла с символом (111), а не (221), (112), (321) или другим? Большая вероятность проявления в огранке кристаллов граней (111) по сравнению с любыми другими гранями серии (hkl), т.е. пересекающими все координатные оси, определяется высокой ретикулярной плотностью граней (111). Грани (111) относятся к числу наиболее медленно растущих граней и обычно (но не всегда) участвуют в огранке реальных кристаллов:

   Определенный выбор единичной грани необходим при измерении реальных кристаллов.      При изучении моделей кристаллов и определении символов граней в общем виде достаточно просто знать соотношение осевых единиц (или параметров единичной грани).

   Важно, что определяемые единичной гранью соотношения осевых единиц, как бы аппроксимируют аналогичные соотношения параметров пространственной решетки, описывающей структуру исследуемого кристалла.

 

 

 

ПРОСТЫЕ ФОРМЫ И КОМБИНАЦИИ В КРИСТАЛАХ

 

  Известно более пяти тысяч  видов кристаллов. Они имеют разную  форму и разное число граней. Формой кристалла называют совокупность  всех его граней. Простой формой  в кристаллографии называют совокупность  одинаковых граней, связанных между  собой элементами симметрии. Среди простых форм различают закрытые формы, которые замыкают часть пространства полностью, например куб, октаэдр; открытые простые формы, например, различные призмы, пространство не замыкают и самостоятельно существовать не могут, а только в сочетаниях (комбинациях) с другими простыми формами. Комбинациями в кристаллографии называют закономерное сочетание нескольких простых форм в одном кристалле. Комбинироваться между собой могут только простые формы, относящиеся к одному виду симметрии, например куб или октаэдр, гексагональная призма и двойная гексагональная пирамида и т.д. Название комбинации составляется из названий входящих в нее простых форм.