Простые и сложные проценты

идет  зачет долга, остаток долга равен: 11225,732087–6000=5225,732087 (тыс.руб.)

          5) 08.08.2002г. – долг с процентами:

Ответ: 08.08.2002г. следует заплатить 5445,979952 тыс.руб.

            Построим контур операции:

Метод 365/360:

t₁ = 21+31•4+30•3+7 = 242 дня;

t₂ = 24+30•2+31•4+28+14 = 250 дней;

t₃ = 16+30•2+31•5+9 = 240 дней;

t₄ = 19+31+14 = 64 дня;

t₅ = 16+31•2+30+7= 115 дней.

          1) Исходный долг 18,6 млн.руб.

08.02.2000г.  – долг 18 600 тыс.руб.

08.10.2000г.  – долг с процентами:

Начисленные проценты: 20312,606242– 18600 = 1712,606242 (тыс.руб.)

1712,606242 тыс. < 4000тыс.

идет  зачет долга, остаток долга равен: 20312,606242–4000=16312,606242 (тыс. руб.)

          2) 15.06.2001г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 17866,546379–16312,606242 = 1553,940137(тыс.руб.)

1553,940137тыс. < 5000тыс.

идет  зачет долга, остаток долга равен: 17866,546379–5000 = 12866,546379 (тыс.руб.)

          3) 10.02.2002г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 14041,016748–12866,546379 = 1174,470369(тыс. руб.)

1174,470369тыс. < 3000 тыс.

идет  зачет долга, остаток долга равен: 14041,016748–3000=11041,016748 (тыс. руб.)

          4) 15.04.2002г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 11301,224093 – 11041,016748 = 260,207345(тыс.руб.)

260,207345 тыс. < 6000тыс.

идет  зачет долга, остаток долга равен:11301,224093–6000=5301,224093 (тыс. руб.)

          5) 08.08.2002г. – долг с процентами:

Ответ: 08.08.2002г. следует заплатить 5527,822658 тыс.руб.

            
 
 
 

 Построим  контур операции:

Задание 3 СТАРОЕ РЕШЕНИЕ.

     Ссуда в размере 16 млн. руб.  выдана на 3 года с 06.06.1998г. по 06.06.2001г. под ставку 10% сложных годовых. Распределить начисленные проценты по календарным годам. Использовать три известных способа.

                    РЕШЕНИЕ:

1) п₁ =  208 дней с 06.06.1998г. до 31.12.1998г.

I₁ = P((1+i)ⁿ¹- 1) = 16000((1+0,1)^208/365 – 1) = 893,053 (тыс. руб)

2) п₂ = 1 год с 01.01.1999г. до 31.12.1999г.

I₂ = Р(1+i)^п1 ((1+i)^п2 – 1) = Р((1+i)^n1+п2 - (1+i)^п1) = 16000(1,1)^208/365((1,1)² – 1) = 16000*1,055815808*0,1 = 1689,305293 = 1689,305 (тыс. руб.)

3) п₃ = 1 год с 01.01.2000г. до 31.12.2000г.

I₃ = Р(1+i)^п1+п2 ((1+i)^п3 – 1) = 16000(1,1)^573/365((1,1)^365/365 – 1) = 16000*1,161397389*0,1 = 1858,198224 (тыс.руб.)

4) п₄ = 157 дней с 01.01.2001г. до 06.06.2001г.

I₄ = Р(1+i)^п1+п2+п3 ((1+i)^п4 – 1) = 16000(1,1)^938/365((1,1)^157/365 – 1) = 16000*1,277537128*1,04184839 = 21295,99999 (тыс.руб.)

Итого за весь срок: 893,053 + 1689,305 + 1858,198224 + 21295,99999 = 25736,57 (тыс.руб.)

Такой же результат получим для всего  срока в целом:

I = 16000((1,1)³ – 1) = 5296 (тыс.руб.)

Задание 3: ПРАВИЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ  

      Ссуда в размере (15+0,1N) млн. руб. выдана на 3 года с 1.05.1998 г. по 1.05.2001 г. под ставку 11% сложных годовых. Распределить начисленные проценты по календарным годам. Использовать три известных способа.

Решение:

Первый  способ:

1. дня с 1.05.1998 г. до 31.12.1998 г.

 2)  год с 1.01.1999 г. до 31.12.1999 г.

     3) год с 1.01.2000 г. до 31.12.2000 г.

      4) день с 1.01.2001 г. до 1.05.2001 г.

Итого за весь срок: 1105,502+1804,605+2003,112+711,535=5624,754 тыс. руб.

Такой же результат получим для всего  срока в целом:

Второй  способ:

1. дня с 1.05.1998 г. до 31.12.1998 г.

 2)  год с 1.01.1999 г. до 31.12.1999 г.

     3) год с 1.01.2000 г. до 31.12.2000 г.

      4) день с 1.01.2001 г. до 1.05.2001 г.

Итого за весь срок: 1121,406+1832,794+2037,352+724,388=5715,94 тыс. руб.

Такой же результат получим для всего  срока в целом:

Третий  способ:

1. дней с 1.05.1998 г. до 31.12.1998 г.

 2)  дней с 1.01.1999 г. до 31.12.1999 г.

     3) дней с 1.01.2000 г. до 31.12.2000 г.

      4) день с 1.01.2001 г. до 1.05.2001 г.

Итого за весь срок: 1102,376+1804,261+2002,73+721,454=5630,821 тыс. руб.

Такой же результат получим для всего срока в целом:

 

Задание 4.

     Найдите размер эффективной ставки  f, если номинальная сложная ставка годовых процентов: i = 22,2% при поквартальном начислении процентов?

                    РЕШЕНИЕ:

Размер  эффективной ставки f найдем по формуле:

f = (1+i/m)^m-1 = f=(1+0,222/4)⁴-1= 0,2411746.

Ответ: При поквартальном начислении сложных  процентов, размер эффективной ставки составит 24,1%.  

Задание 5.

     За какой срок в годах сумма,  равная 57 млн. руб., достигнет 113 млн.  руб. при начислении процентов по сложной ставке 14% раз в году, два раза в году и поквартально?

                    РЕШЕНИЕ:

Используем  формулу: п = (ln(S/P) / m ln(1+(j/m)));

1) п = (ln(113/57) / 1*ln(1+0,14/1)) = (0,68433655 / 0,131028262) = 5,22282 = 5лет и 3мес.

2) п = (ln(113/57) / 2*ln(1+0,14/2)) = (0,68433655 / (2*0,067658648)) = (0,68433655 / 0,135317296) = 5,05749 = 5лет и 2мес.

3) п = (ln(113/57) / 4*ln(1+0,14/4)) = (0,68433655 / 4*0,034401426) = (0,68433655 / 0,137605706) = 4,97317 = 4года и 12мес. 

Задание 6.

     Срок до погашения векселя  равен два года. Дисконт при  его учете составил 15,4%. Какой  сложной годовой учетной ставке  соответствует этот дисконт?

                    РЕШЕНИЕ:

D = 1 -   P/S , где Р = (1 – 0,154)*S,  P/S = 1 – 0,154 = 0,846

п = 2,

d = 1 -    0,846 =    

Ответ: Дисконт соответствует сложной годовой учетной ставке  

Задание 7.

     Банк выдает кредит и учитывает  вексель из расчета 8% простых  годовых. Определить:

          а) какую ссуду получит должник,  обязавшийся выплатить 10060 ден.ед. через полгода (180 дней), и чему равна сума дисконта;

          б)  какую сумму получает владелец  векселя при его учете, если  номинальная цена векселя составляет 10060 ден.ед. и срок погашения наступает  через 196 дней, и чему равна сумма дисконта.

                    РЕШЕНИЕ:

а) применим метод математического дисконтирования:

S= 10060, i= 0,08, n= 180/360

Р = S/(1+n*i) = 10060/(1+(180/360)*0,08) = 9673,076923

D = S-P = 10060-9673,076923 = 386,923077

Ответ: Должник получит ссуду 9673,08 ден.ед., сумма дисконта при этом составит 386,92 ден.ед.

б) Р = 10060, d = 0,08, n = 196/360

S = P/(1-n*d) = 10060/(1-(196/360)*0,08) = 10518,1226765

D = S-P = 10518,1226765-10060 = 458,1226765

Ответ: Владелец векселя в момент погашения  получит 10518,12 ден.ед., сумма дисконта при этом составит 458,12 ден.ед.

Тема: «Ренты»

Задание 8.

     Найти современную и наращенную  величины годовой ренты с годовым  платежом R=1200; n=7; i=8%.

                    РЕШЕНИЕ:

а(7;8) = (1-(1+0,07)^-7 / 0,08) = 7,784

А = R*а(п;i) = 1200*а(7;8)

Значит, современная  величина ренты А = 1200*7,784 = 9340,8

Наращенная: S = R*s(n;i) = 1200*s(7;8)

S(7;8) = ((1,07)⁷ – 1 / 0,08) = 7,572

S = 1200*7,572 = 9086,4. 

Задание 9.

     Найти длительность ренты n c годовым платежом R=2010, ставкой сложных процентов равна i=13% и наращенной величиной S= 11310.

                    РЕШЕНИЕ:

п = ((ln(1+(Si/R)) / (ln(1+i)) = (ln(1+((11310*0,13)/2010) / ln(1+0,13)) = (ln1,731492537 / ln1,13) = 14,2

п = 14,2

Ответ: 14 лет и 2 месяца.

Тема: «Инвестиционные процессы»

Задание 10.

     На строительство торгового комплекса  надо затратить в течение месяца 25000 ден.ед., а затем в течение  12 лет он будет давать доход  5000 ден.ед. в год. Найти характеристики  проекта при ставке сложных  годовых процентов 13%.

                    РЕШЕНИЕ:

Найдем  приведенный чистый доход: NPV = - INV + R*a(n,i).

a(n,i) = (1-(1+ i)^-п / i)

a(12,13) = (1-(1+0,13)^-12 / 0,13) = 5,917647023

Современная величина потока доходов:

А = R* a(n,i) = 5000*5,917647023 = 29588,23512

Приведенный чистый доход: NPV = -25000+29588,23512 = 4588,23512

                                                   NFV = NPV(1+ i)^п

NFV = 4588,23512*(1+0,13)¹² = 19887,81112

Доходность  проекта: d = (NPV / INV) = (4588,23512 / 25000) = 0,183529404 = 18,4%.

Для нахождения внутренней доходности, ищем такое q, что:

a(12,q) = (INV /R) = (25000 / 5000) = 5

a(12,q) = 5 = > q =

(по  таб. Коэффициентов приведения  ренты a(12,   ) =            = )