Контрольная работа по "Финансовой математике"

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ  ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По  дисциплине

Финансовая  математика

Вариант 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

 

В таблице приведены  поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов)

 

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	30	38	45	30	32	42	51	31	36	46	55	34	41	50	60	37

 

Требуется:

Построить адаптивную мультипликативную  модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного  фактора, применив параметры сглаживания α₁ = 0,3; α₂ = 0,6; α₃ = 0,3.

Оценить точность построенной  модели с использованием средней  ошибки аппроксимации;

Оценить адекватность построенной  модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r₁ = 0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Построить точечный прогноз  на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

Решение

 

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α₁ = 0,3; α₂ = 0,6; α₃ = 0,3.

Для оценки начальных  значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t).

 

Таблица 1

t	Y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(Y-Yср)х(t-tср)
1	30	-3,5	12,25	-7,4	25,8
2	38	-2,5	6,25	0,6	-1,6
3	45	-1,5	2,25	7,6	-11,4
4	30	-0,5	0,25	-7,4	3,7
5	32	0,5	0,25	-5,4	-2,7
6	42	1,5	2,25	4,6	6,9
7	51	2,5	6,25	13,6	34,1
8	31	3,5	12,25	-6,4	-22,3
36	299	0	42,0	0,0	32,50

 

 

Получим линейное уравнение  вида

Для сопоставления фактических  данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.

Таблица 2

Сопоставление фактических  и расчетных значений по линейной модели

t	Y(t)	Yp(t)
1	30	34,67
2	38	35,44
3	45	36,21
4	30	36,99
5	32	37,76
6	42	38,54
7	51	39,31
8	31	40,08

Оценки коэффициентов  сезонности для I – IV кварталов:

Таблица 3

Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абс. погр., E(t)	Отн. погр., в %
0		33,89	0,77	0,8564	-		-
1	30	34,78	0,81	0,8602	29,69	0,31	1,04
2	38	35,45	0,77	1,0755	38,47	-0,47	1,23
3	45	35,98	0,70	1,2583	46,00	-1,00	2,22
4	30	37,04	0,80	0,8029	29,06	0,94	3,13
5	32	37,65	0,75	0,8540	32,55	-0,55	1,72
6	42	38,59	0,81	1,0832	41,30	0,70	1,68
7	51	39,74	0,91	1,2734	49,57	1,43	2,80
8	31	40,03	0,72	0,7858	32,63	-1,63	5,27
9	36	41,18	0,85	0,8662	34,81	1,19	3,31
10	46	42,16	0,89	1,0880	45,52	0,48	1,04
11	55	43,09	0,90	1,2752	54,82	0,18	0,33
12	34	43,78	0,84	0,7803	34,57	-0,57	1,67
13	41	45,43	1,08	0,8880	38,64	2,36	5,75
14	50	46,35	1,03	1,0825	50,60	-0,60	1,20
15	60	47,28	1,00	1,2715	60,42	-0,42	0,69
16	37	48,02	0,92	0,7744	37,68	-0,68	1,83
							34,90

 

Проверка точности модели.

Таблица 4

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t	E(t)	Точка поворота	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)xE(t-1)
1	0,31	ххх	0,097	-	-
2	-0,47	0	0,22	0,61	-0,15
3	-1,00	1	1,00	0,28	0,47
4	0,94	1	0,88	3,76	-0,94
5	-0,55	1	0,30	2,22	-0,52
6	0,70	0	0,50	1,57	-0,39
7	1,43	1	2,03	0,52	1,00
8	-1,63	1	2,67	9,35	-2,33
9	1,19	1	1,42	7,97	-1,94
10	0,48	0	0,23	0,51	0,57
11	0,18	0	0,03	0,09	0,09
12	-0,57	1	0,32	0,56	-0,10
13	2,36	1	5,55	8,55	-1,34
14	-0,60	1	0,36	8,76	-1,42
15	-0,42	1	0,17	0,04	0,25
16	-0,68	ххх	0,46	0,07	0,28
Сумма	1,68	10,00	16,24	44,87	-6,47

Суммарное значение относительных  погрешностей составляет 34,9 Средняя  величина: 34,9 / 16=2,18%, значит, условие  точности выполнено, т.к. средняя величина относительных погрешностей не превышает 5%.

Проверка условия адекватности на основе исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Условие случайности  уровней ряда остатков выполнено, т.к. количество поворотных точек р = 10 > q = 6.

б) независимости уровней  ряда остатков:

• по d- критерию Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

_{Так как 1,10<1,24<1,37, следовательно, уровни ряда Е(t) автокоррелированы, т. е. являются зависимыми.}

• _{по первому коэффициенту автокорреляции r(1):}

Уровни зависимы, т.к. критический уровень r_табл. = 0,32, а > r_табл. = 0,32.

в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:

E_max – E_min = 2,36 – (-1,63) = 3,99

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению  т.к. полученное значение RS (3,83) попадает в заданный интервал (3,00<3,83<4,21).

Произведем точечный прогноз на 4 шага вперед: Определим  прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные (рис. 1).

Рис. 1. Сопоставление расчетных и фактических данных

 

Задание 2

 

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	765	685	750
2	792	703	733
3	740	706	733
4	718	641	666
5	680	600	640
6	693	638	676
7	655	500	654
8	695	630	655
9	700	640	693
10	755	686	750