Контрольная работа по "Финансовая математика"

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому  кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 
 

Решение:

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Коэффициенты  модели рассчитываются по формулам:

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) построим линейную модель тренда временного ряда по первым восьми уровням Y(t).

Линейная  модель имеет вид: y(t)=a+bt.

Коэффициенты  a и b определяем методом наименьших квадратов по формулам:

; ; ;

Далее вычисляем по формулам:

Для проверки точности модели вычисляем  остатки:

Е_отн=1,33<15%, следовательно условие точности выполнено.

Для того, чтобы модель была адекватна  исследуемому процессу, ряд остатков e_t должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверку  случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда e_t сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0.

Общее число поворотных точек p=10. Рассчитаем значение q:

При N=16 – q=6. Так как p>q, условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка  независимости уровней ряда остатков проводим двумя методами:

1. по d-критерию Дарбина-Уотсона;
2. по первому коэффициенту автокорреляции r₁.

 

1)

4-d=1,53

Т.к. 1,1<1,37<1,53<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

2) , |r₁|=0,255.

Так как |r₁|<r_таб=0,32, то уровни ряда остатков независимы.

Нормальность  распределения ряда остатков определяем по RS-критерию:

,

3<RS<4,21, значит уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на четыре квартала вперед.