Контрольная работа по «Финансовая математика»

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение

высшего профессионального  образования

«Финансовый университет при Правительстве  Российской Федерации»

(Финуниверситет)

Тульский  филиал Финуниверситета

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  дисциплине  «Финансовая математика»

Вариант № 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тула 2013 г.

Задание № 1

 

Имеются поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов):

Таблица 1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Сумма	38	48	57	37	40	52	63	38	44	56	67	41	49	60	72	44

 

Требуется:

 

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3, α₂=0,6, α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

3.1. Случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

3.2. Независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

3.3.Нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точеный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

1. Построение адаптивной мультипликативной модели

Хольта-Уинтерса

Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным трендом имеет следующий вид:

, где

k – период упреждения;

- расчетное значение экономического  показателя для t-го периода.

a(t), b(t), F(t) – коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L – период сезонности (для квартальный данных L=4, для месячных – L=12).

Уточнение (адаптация  к новому значению параметра времени t) коэффициентов производится с помощью формул:

,

,

.

В качестве начальных  значений a(0) и b(0) можно взять коэффициенты уравнения парной линейной регрессии Y_рег(t)=a(0)+b(0)·t. Для построения линейной модели достаточно взять только первые восемь значений из таблицы 1.

Метод наименьших квадратов  дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и b(0) по формулам:

;       

;    

Произведем необходимые  вычисления:

Находим значения a(0) и b(0):

  ; ;

С  учетом полученных коэффициентов  линейное уравнение будет иметь вид :  

Из этого уравнения находим расчетные значения и сопоставляем их с фактическими значениями:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
	38	48	57	37	40	52	63	38
	44	44,75	45,5	46,25	47	47,75	48,5	49,25

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Для того чтобы определить коэффициенты сезонности F(0), F(-1),         F(-2),F(-3) воспользуемся следующими формулами:

F(-3)= [Y(1)/Yрег(1)+Y(5)/Yрег(5)]/2  (1);

F(-2)= [Y(2)/Yрег(2)+Y(6)/Yрег(6)]/2  (2);

F(-1) =[Y(3)/Yрег(3)+Y(7)/Yрег(7)]/2  (3);

F(0)  =[Y(4)/Yрег(4)+Y(8)/Yрег(8)]/2  (4).

 F(-3)=

F(-2) =

F(-1) =

F(0) =

Путем перебора возможных  значений параметров сглаживания было установлено, что лучшим являются α₁=0,3, α₂=0,6, α₃=0,3.

Подставляя значения параметров в  уравнения

,

,

,

, построим модель Хольта-Уинтерса:

2. Оценка точности  построенной модели с использованием  средней относительной ошибки аппроксимации

Для оценки точности построенной  модели рассчитаем относительные ошибки погрешности каждого уровня.

,

где E(t)=Y(t)-Y_p(t) - абсолютная погрешность. Результаты расчетов представим в таблице :

Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Относительная погрешность построенной модели - 1,77%. Значит, модель достаточна точна.

3. Оценка адекватности  построенной модели.

Для того, чтобы модель была адекватна ряд остатков E(t) должен обладать  свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения. Для проверки выполнения этих условий составим промежуточную таблицу:

3.1. Оценка адекватности  модели по критерию пиков

Проверка случайности  уровней остаточной компоненты проводим на основе критериев поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравнивая с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в строке ставится 1, в противном случае – 0.

Общее число поворотных точек p = 10 (ячейка N10).

Критерий случайности отклонений можно представить так:

                           p> , где

р- количество поворотных точек в случайном ряду; 1,96- квантиль нормального распределения.

Рассчитаем критическое  значение:

Так как 10 > 6, то условие случайности ряда остатков выполнено

 

3.2. Оценка адекватности модели по d-критерию Дарбина-Уотсона

Так как d > 2, то имеет место отрицательная зависимость. Поэтому найдем d`= 4 – 2,71=1,29.

По таблице критических значений Дарбина-Уотсона для n=16 на уровне значимости 0,05 определяем критические значения d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37.

1,1 < d = 1,29 < 1,37, значит уровни ряда E (t) остатков являются независимыми.

 

Оценка адекватности модели по первому коэффициенту автокорреляции

 

Модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции больше критического (табличного) значения: r₁= 0,36 > r_t = 0,32. Следовательно, нельзя считать уровни ряда остатков независимыми.

 

3.3. Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию

 

R/S = (E_max – E_min) / S, где

E_max – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E_min – минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S – среднее квадратическое отклонение.

E_max = 2,36 (ячейка К18); E_min = - 1,59 (ячейка К13).

,

R/S = (2,36 – ( - 1,59)) / 1,041 = 3,794.

Полученное значение R/S: 3,0 < 3,816 < 4,21; попадает в заданный интервал, значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве построенной модели и возможности построения прогноза показателя Y_p(t) на 4 квартала вперед.

 

 

4. Точечный прогноз на 4 шага вперед

Для того, чтобы составить прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20) воспользуемся формулой: .

Произведем необходимые  расчеты в таблице:

Для t=17 имеем:

Аналогично находим Y_p(18), Y_p(19), Y_p(20).

 

5. Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные:

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	663	605	610
2	614	577	614
3	639	580	625
4	625	572	574
5	600	553	563
6	595	563	590
7	608	590	598
8	610	573	580
9	595	575	595
10	600	580	580

Интервал сглаживания  принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения  цен;

- индекс относительной  силы;

- %R, %K, и %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение

Рассчитаем  экспоненциальную скользящую среднюю (EMA).

EMA _t = C _t ∙ k  + EMA _t-1 ∙ (1-k)  ,

где k = 2 / (n+1)

1. Интервал сглаживания по условию равен 5 (n=5).
2. k=2/(n+1)=2/(5+1)=0,33
3. Вычислим MA для первых пяти дней и запишем результат в графы 3 и 4 таблицы.    МA₅=(610+614+625+574+563)/5=2986/5=597,2.
4. Перейдем на одну строку вниз по графе 4 и умножим на k(0,33) данные по цене закрытия текущей строки: 590∙0,33=194,7.
5. Данные по ЕМА за предыдущий день берем из предыдущей строки графы 4 и умножаем  на (1-k): 597,2∙(1-0,33)=400,124.
6. Сложим результаты, полученные на предыдущих двух шагах.

194,7+400,124=594,824.

7. Дальнейшие расчеты проводятся аналогично:

Рассчитаем  момент

MOM_t= C_t-C_t-n

Рассчитаем скорость изменения цен

ROC_t=C_t/C_t-n*100%

 

Рассчитаем индекс относительной силы

RSI=100-100/(1+AU/AD), где

 AU-сумма приростов конечных цен за последние n дней,

       AD-сумма падений цен за последние n дней

Так как по условию n=5, то RSI₆=100-100/(1+AU₆/AD₆)

Рассчитаем  индексы текущего дня

%K= 100%*(C_t-L₅)/(H₅-L₅);

%R=(H₅-C₅)/(H₅-L₅)*100%;

%D=∑(C_t-L₅)/∑(H₅-L₅)*100%, где

Ct- цена закрытия; L₅ и Н₅ – соответственно минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий. При построении величины (C_t-L₅) и (H₅-L₅) индекс %D сглаживают, оперируя их трехдневной суммой.

Расчет  представим в  таблице:

Пояснения к таблице:

1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены.

2. Начиная с 5-го  дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней включая текущий.