Дисконтирование по сложной ставке

Введение

Большинство хозяйственных  операций (приобретение основных средств, покупка/продажа ценных бумаг, лизинг, получение/погашение банковских кредитов, анализ инвестиционных проектов и др.) порождают денежные потоки. Осуществление  этих операций сопровождается множеством выплат и поступлений денежных средств, образуя денежный поток, распределенный во времени.

В связи с этим в процессе управления финансами предприятия  возникает необходимость в проведении специальных расчетов, связанных  с движением денежных потоков  в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени. Концепция такой оценки базируется на том, что стоимость денег с  течением времени изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на финансовом рынке, в качестве которой выступает  ставка ссудного процента или норма  доходности по государственным ценным бумагам.

Из принципа временной  стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:

• необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;
• некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

 

 

 

 

1. Дисконтирование,  сложная процентная ставка, понятие,  использование.

1.1. Понятие принципа дисконтирования.

В основе решения фирмы  об инвестициях лежит расчет текущей  стоимости будущих доходов. Фирма  должна определить, превысят ли будущие  прибыли ее затраты или нет. Альтернативной стоимостью инвестирования будет сумма  банковского процента с капитала, равного объему предполагаемых инвестиций. В этом заключается суть инвестиционного  решения фирмы. При этом выбор  фирмы осложняется наличием ситуации неопределенности, возникающей вследствие того, что инвестиции, как правило, долгосрочны. В финансовых и инвестиционных расчетах процесс приведения будущих  доходов к текущей стоимости  принято называть дисконтированием. Попытаемся вывести общее  правило дисконтирования. Для этого  нам нужно знать ставку дисконта, которую обозначим как r. Дисконтная ставка выражает меру предпочтения того или иного экономического агента нынешних благ будущим. Понятно, что эта мера неодинакова для отдельных экономических агентов. Допустим, что дисконтная ставка равна ставке банковского процента i. Дальнейший ход рассуждений  инвестора сведется к следующему: инвестировав сегодня какую-то сумму, допустим 1 рубль, фирма через один год получит (1 + r) рублей. Поэтому текущая дисконтируемая стоимость (PDV), полученная по прошествии одного года составит 1 Руб. (1+r) 1руб\lang1024(1+r)2 через два года, 1руб\lang1024(1+r)n через п лет. Отсюда общая формула  дисконтирования будет иметь  вид: где П1,П2,….Пn - доход соответствующего года, n - число лет. Формула 1. имеет весьма широкую  сферу применения. С ее помощью  можно определить величину будущих  доходов, размер дисконтируемых убытков, стоимость акций, реальный доход  по облигациям и т. д. Рассмотрим причастность этой формулы к определению критерия принятия решений по инвестициям. Любая  фирма на любом рынке вынуждена  осуществлять инвестиции из-за снашивания основного капитала в процессе производства в расчете на увеличение своих  прибылей. В связи с этим возникает  вопрос о целесообразности осуществления  инвестиций, принесут ли они фирме  дополнительную прибыль или приведут к убытку? Для ответа на этот вопрос необходимо сопоставить объем планируемых  капиталовложений с текущей дисконтируемой стоимостью будущих доходов от этих вложений. Когда ожидаемые доходы больше величины инвестиций, фирма  может осуществлять капиталовложения. При обратном соотношении этих величин  лучше воздержаться от инвестирования во избежании убытков. Поэтому условие осуществления  инвестиций будет иметь вид: Ie < PDV, где Р - планируемый объем инвестиций. Разница между величинами, представленными в формуле 1., принято  называть чистой текущей стоимостью (NPV). Очевидно, что фирма принимает  инвестиционное решение, ориентируясь на положительное значение чистой текущей стоимости, т. е. когда (NPV > 0). Если при подсчете текущей  дисконтированной стоимости взята  рыночная процентная ставка, то в этом случае формула 1. дает капитальную  цену производственного ресурса. Отметим, что капитал имеет две цены: капитальную и прокатную (арендную). Однако фирма в качестве ставки дисконта может использовать не только процентную ставку, но и другие ставки. Все зависит от спектра  альтернативных вариантов вложения денег, которым располагает данная фирма. Она может имеющиеся в  ее распоряжении деньги потратить не на обновление станочного парка, а вложить  в какой-то другой объект, купить акции  или облигации. Альтернативные вложения обеспечат иную норму прибыли, чем  инвестирование в оборудование. Поэтому  норма дисконта в широком смысле представляет собой альтернативные затраты в основной капитал и  выражает ту норму прибыли, которую  фирма могла бы получить от альтернативных капиталовложений. Обычно при удержании  процентов в момент выдачи ссуды, при учёте векселей, при покупке  депозитных сертификатов возникает  задача определения по заданной сумме ST, которую следует уплатить через время T, сумму получаемой ссуды S0 при заданной годовой процентной ставке d. В этой ситуации начальную сумму S0 принято называть современной величиной (приведенной стоимостью), ставку d - дисконтной или учётной процентной ставкой , величину D = ST - S0 - дисконтом, а процедуру определения современной величины - дисконтированием.  Существует два способа дисконтирования при простой процентной ставке: При дисконтировании обычно задают Tгод = 360.

Для определения учетной ставки, дающей эквивалентный результат к математическому дисконтированию, достаточно приравнять современные величины при обоих способах дисконтирования и при одинаковой конечной сумме капитала и найти учетную ставку из возникшего уравнения.

Для дисконтирования при  сложной процентной ставке используется формула

при начислении процентов  один раз в году и формула

при начислении процентов m раз в году.

В теоретических финансовых расчетах часто используется непрерывное  начисление процентов. При этом годовая  процентная ставка r называется силой роста и может задаваться как постоянной, так и зависящей от времени. Выплаты при переменной силе роста расчитываются по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Наращение и дисконтирование с использованием    схемы  сложных процентов

Если  инвестиция  сделана  на  условиях сложного процента, то  очередной  годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестируемого капитала, а с общей суммы, которая включает также ранее начисленные, но не востребованные инвестором  проценты. В этом случае имеет место капитализация процентов по мере их начисления, так как база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

Таким образом, на протяжении срока  финансовой операции размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года: ;

к концу второго года: ;

и так далее …

к концу  n-го года:                                     

Это равенство называется формулой наращения по сложным процентам; множитель - множителем наращения сложных процентов; - коэффициентом наращения.

Согласно формулы сложных процентов приращение капитала составит: 

.

 

Формула наращения по сложным процентам  является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования составлены специальные таблицы для определения в зависимости от изменения значений r и n. В этом случае формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов трансформируется следующим образом:

где

– мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя  состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица через n периодов при заданной процентной ставке r.

Рассмотренная формула предполагает, что  измеряется в годах, а является  годовой процентной ставкой. Однако эту формулу можно применять и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и  процентной ставки. Так, если базовым периодом начисления процентов является квартал (месяц), то и в расчетах должна использоваться квартальная (месячная) ставка.

Как и в случае начисления простых  процентов, финансовое соглашение может предусматривать плавающие процентные ставки и при наращении по сложным процентам.

Пусть - следующие друг за другом временные периоды и на период установлена процентная ставка Тогда, учитывая капитализацию начисленных процентов при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за время определяется по формуле:

 Обозначим  тогда формула для определения наращенной стоимости примет вид:    

Таким образом, в течение всего  периода финансовой операции можно  установить  сложную ставку , приводящую к такому же результату, как и с использованием переменных ставок.

 

 

 

1.3. Дисконтирование с помощью сложной процентной ставки.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или  иной вид бизнеса, обычно исходят  из того, является ли это вложение более  прибыльным при допустимом уровне риска, чем вложения в государственные ценные бумаги. С этой целью анализируются будущие доходы предпринимателя при минимальном (безопасном) уровне доходности. Основная идея, при этом, заключается в оценке будущих поступлений FV с позиций текущего момента.

При определении объекта  финансового вложения инвестор, обычно, руководствуется тем, что:

1) происходит перманентное обесценение  денег (действие инфляции);

2) темп изменения цен на сырье,  материалы и основные средства, используемые предприятием, может  существенно отличаться от темпа  инфляции;

3) желательно периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере, не ниже определенного минимума.

Исходя из сказанного, следует, что инвестор должен оценить, каким  будут его доходы в будущем, какую  максимально возможную сумму  допустимо вложить в данное дело исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Для такого анализа используется следующая формула:

,

где FV – доход, планируемый к получению в n – ом году;

PV – текущая (приведенная) стоимость, или оценка величины FV с позиций текущего момента;

r – годовая процентная ставка.

Из приведенной формулы  следует, что для инвестора сумма PV в данный момент времени и сумма FV через n лет будут одинаковы по своей ценности. Используя эту формулу, можно приводить к сопоставимому виду оценку доходов от инвестиций, которые ожидаются к поступлению в течение ряда лет.

Поскольку дисконтирование  является одним из базовых процессов  в финансовых взаимоотношениях, поэтому  для определения приведенной  стоимости планируемых в будущем  доходов используются специальные  таблицы, в которых PV определяется в зависимости от заданных значений r и n. В этом случае используется формула:

где: - дисконтный множитель.

Дисконтный множитель FM2 (r, n) показывает сегодняшнюю цену одной денежной единицы будущего, то есть чему с позиций текущего момента равна одна денежная единица, циркулирующая в сфере бизнеса, n периодов спустя от момента отсчета при заданной доходности и чистоте начисления процентов.

Значение дисконтного  множителя убывает c сростом величины процентной ставки и длительности финансовой операции. Следовательно, при такого рода изменениях n и r,  величина приведенной стоимости уменьшается.

Если  условиями финансовой операции предусмотрено m–кратное начисление процентов, то приведенная стоимость определяется по формуле:

1.4. Использование сложной учетной ставки в процессах наращения и дисконтирования по схеме сложных процентов.

Рассмотрим  ситуацию предварительного начисления сложных процентов, т.е. когда сложный процент начисляется в момент заключения финансового соглашения. Такая ситуация может иметь место при покупке дорогостоящих товаров в кредит, или при продаже некоторого финансового инструмента до срока его погашения. В этом случае осуществляется операция дисконтирования и применяется сложная учетная ставка.

Предположим, что некоторое долговое обязательство  на сумму FV и сроком погашения через n продается (учитывается) раньше срока с дисконтом по сложной учетной годовой ставке d.

  Если долговое обязательство  продается за n лет до срока, то продавец получит сумму

где множитель  называется дисконтным множителем.

Таким образом, PV представляет собой текущую (современную) стоимость будущего платежа FV. Дисконт равен величине

Пример.

Долговое  обязательство на выплату 20 тыс. грн. со сроком погашения 4 года учтено за 2 года до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 8% годовых. Найти величину дисконта.

 тыс. грн.  тыс. грн.

Если  срок, за который осуществляется дисконтирование, не является целым числом лет, то возможны следующие методы определения стоимости учтенного капитала:

Ø использование сложной учетной ставки:

                                      

Ø использование смешанной схемы:

где w – целое число лет;

       f -  дробная часть года.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Практическая часть.

1. При приобретении товаров покупатель может заплатить или 500 руб. сразу, или 520 руб. через 4 недели. Если он заплатит деньги, чтобы заплатить наличными, какая норма простого процента может быть допустима для возмещения займа?

Решение:

Рассчитаем простой процент для данной операции исходя их формулы наращения по простым процентам

FV = PV * (1 + in)

FV – наращенная сумма (сумма к уплате через 4 недели)

PV – первоначальная сумма (сумма к уплате в момент покупки)

i – ставка простого процента

n – срок в годах

i = (FV / PV – 1) / n = (520 / 500 – 1) / (28 / 365) = 0,5214 = 52,14%

Норма простого процента составляет 52,14% годовых.

2. Установить дату погашения 90-дневной расписки датированной 19 февраля 2005 года.

Решение:

2005 год – невисокосный

Рассчитаем дату спустя 90 дней после 19 февраля 2005 г.

(28 – 18) (февраль) + 31 март + 30 апрель + 20 (май) – 1 = 90 дней

Дата погашения расписки – 20 мая 2005 г.

3. Инвестор ссудил 40 млн. руб. и получил вексель с обязательством заплатить эту сумму плюс 6 % простых процентов через 90 дней. Вексель был немедленно продан банку, который начисляет 5 % банковского дисконта. Какова прибыль инвестора? Какую норму процента реализует банк при окончании векселя?

Решение:

Рассчитаем сумму к  возврату по векселю

FV = PV * (1 + in) = 40 * (1 + 0,06*90/360) = 40,6 млн.руб.

Рассчитаем величину дисконта, взимаемого банком, принимая, что сумма  к возврату по векселю составляет для банка номинальную стоимость  векселя.

D = Н * d * n = 40,6 * 0,05 * 90 / 360 = 0,5075 млн.руб.

Сумма, полученная инвестором от банка В

40,6 – 0,5075 = 40,0925 млн.руб.

Прибыль, полученная инвестором

П = 40,0925 – 40 = 0,0925 млн.руб. = 92,5 тыс.руб.

Рассчитаем норму простого процента, которую реализует банк при данной операции из формулы

FV = В * (1 + in)

i = (FV / В – 1) / n = (40,6 / 40,0925 – 1) / (90 / 360) = 0,05063 = 5,063%

Норма процента, реализуемого банком составляет 5,063%

4. Используя точный метод найти текущую стоимость 30000 руб. за пять лет и шесть месяцев до ее накопления, с нормой процентов j_i = 5%.

Решение:

Текущую стоимость можно  определить методом дисконтирования

PV = FV / (1 + in) = 30 000 / (1 + 0,05 * 5,5) = 23 529,41 руб.

Текущая стоимость составляет 23 529,41 руб.

5. Найти годовую эффективную норму, соответствующую 2,5%, конвертируемым ежеквартально.

Решение:

Годовую эффективную норму  рассчитаем из эквивалентности процентных ставок