Закон кубов Дебая

Энергия фононного газа в интервале  частот ( , +d ) равна произведению энергии одного фонона на их число в данном интервале частот: dU=hv dn, где dn определяется формулами (4.42) и (4.43). Остается проинтегрировать полученное выражение по всем возможным частотам:

                (4.44)

где — верхняя граница возможных частот фононов. Для определения этой частоты приходится вводить довольно искусственное (как и в рассуждениях Дебая) условие. А именно, полное число квантовых состояний фононного газа, т.е. фазовых ячеек с учетом трех возможных поляризаций фононов, должно равняться числу степеней свободы 3 ( — концентрация атомов):

                  (4.45)

где использовано выражение (4.43) для  dZ, Таким образом,

                   (4.46)

Отметим, что для упругой волны соответствующая  этой частоте длина волны оказывается  равной

                 (4.47)

 

 

 

 

поскольку n₀ = 1 / d ³, d — период решетки. Этот результат согласуется с тем, что волны с не имеют физического смысла (рис. 4.14). Это служит разумным оправданием условия (4.45).

Учитывая (4.46), перепишем выражение (4.44) для энергии U единицы объема фононного газа в виде

              (4.48)

                           

                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Теплоемкость кристалла.

Зная U(T), находим, что теплоемкость единицы объема кристалла

             (4.49)

Введем так называемую характеристическую температуру Дебая , определяемую условием

         (4.50)

а также новую переменную х = hv/kT. Тогда выражение для теплоемкости (4.49) примет вид

         (4.51)

где . Выражение (4.51) называют формулой Дебая.

Отметим еще, что дебаевская температура указывает для каждого твердого тела область температур (Т <  ), где становится существенным квантование энергии колебаний.

 

                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Поведение теплоемкости С(Т) в предельных случаях

1. При Т «  можно приближенно считать, что верхний предел интеграла (4.51) . Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число, и мы видим, что в этом случае

 

            (4.52)

Этот результат называют законом кубов Дебая. Именно такую зависимость С от Т и наблюдают во многих случаях, при Т «  .

2. При Т »  , т.е. при , выражение (4.48) для U можно упростить, считая . Тогда

           (4.53)

Для моля кристалла заменяем на N_A, и получим, что для молярной теплоемкости кристалла

С = 3R

как и должно быть в соответствии с законом Дюлонга и Пти.

Зависимость С(Т), рассчитанная по формуле (4.51), т.е. по формуле Дебая, очень хорошо описывает экспериментальные результаты, например, для алюминия и меди. Но полученные соотношения не являются универсальными. Во-первых, они хорошо передают зависимость С(Т) только для химически простых тел с простой кристаллической решеткой. К телам с более сложной структурой формула Дебая не применима. Это связано с тем, что у таких тел спектр колебаний (распределение фононов по квантовым состояниям) оказывается очень сложным.

Мы не собираемся вникать в эти  детали. Для нас важен главный  вывод: квантовый подход — это  единственный путь к решению подобных проблем.

 

 

 

 

7. Роль электронного газа в теплоемкости кристалла.

Расчет показывает, что при Т   0 средняя энергия свободного электрона в металле имеет вид

         (4.54)

где — энергия Ферми при Т = 0. Тогда молярная теплоемкость электронного газа

          (4.55)

По  закону Дюлонга и Пти молярная теплоемкость решетки при нормальных условиях . Тогда отношение электронной теплоемкости к решеточной при нормальных условиях будет равно

                (4.56)

Поскольку при рассматриваемых условиях kT « _f, то это означает, что теплоемкость металлов за счет свободных электронов, пренебрежимо мала. Напомним, это обусловлено тем, что при обычных температурах в тепловом движении принимает участие лишь небольшая часть общего числа свободных электронов — только те электроны, энергия которых лежит вблизи уровня Ферми. Таким образом, поведение вырожденного электронного газа резко отличается от поведения обычного газа, его степени свободы оказываются в основном «замороженными». Заметим, что при достаточно низких температурах ситуация становится обратной: теплоемкость электронного газа превосходит решеточную, поскольку последняя уменьшается .

 

Список литературы

1. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1990.

2. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. - М.: Наука, 1989.

3. А. В. Митин и О. С. Зуева Введение в квантовую механику. Часть1. М. МЭИ. 1996

4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: Учеб. пособие для ВУЗов  М.: Высш. школа ,1989.

5. Тарасов Л.В. Основы квантовой механики.- М.: Высш. школа, 1978.