Закон кубов Дебая

 

Министерство  образования и науки РТ

Альметьевский государственный нефтяной институт

Кафедра физики

 

 

 

 

 

 

Реферат

На  тему «Закон кубов Дебая»

 

 

 

 

 

                                                                              Выполнил студент:

                                                       группы 29-01

                                                       Волкова Л.Г.

                                                                                  Проверил: Мухетдинова З.З.

 

 

 

 

 

Альметьевск 2010 г. 

Содержание

Введение

 

1. Понятия о твердых телах и кристаллических решетках…………………….5

2.Теории теплоемкости…………………………………………………………..8

2.1 Классическая  модель…………………………………………………......8

2.2 Модель Эйнштейна……………………………………………………….8

2.3 Модель Дебая…………………………………………………………….10

3.Фононы…………………………………………………………………………11

4. Колебательная энергия  решетки……………………………………………..12

5. Теплоемкость кристалла……………………………………………………...14

6. Поведение теплоемкости С(Т) в предельных случаях……………………...15

7. Роль электронного газа  в теплоемкости кристалла…………………………16

Заключение 

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Петер Йозеф Вильгельм  Дебай (24.03.1884-02.11.1966) - физик и химик, один из основоположников теории твердого тела. Родился в Маастрихте. Окончил высшую техническую школу в Ахене (1905) и Мюнхенский университет (1908). В 1911 году - профессор Цюрихского университета, в 1912 - Утрехтского, в 1913-1920 годах - Геттингенского, в 1920-1927 - Цюрихского политехникума, в 1927-1933 - Лейпцигского университета. В 1934-1939 - директор Института физики кайзера Вильгельма и профессор Берлинского университета, 1940-1950 - профессор Корнелльского университета.

Работы Дебая посвящены квантовой  теории твердых тел, теории теплопроводности кристаллов, теории строения молекул, квантовой теории атома. В 1912 году ученый ввел представление о твердом  теле как изотропной упругой среде, способной совершать колебания  в конечном диапазоне частот (модель твердого тела Дебая), и рассчитал  спектр собственных частот для правильного  кристалла. Исходя из вида спектра в  области низких частот, показал, что  теплоемкость решетки при низких температурах должна быть пропорциональна  третьей степени абсолютной теипературы (закон теплоемкости Дебая). В рамках своей модели ввел понятие характеристической температуры (температура Дебая), которая определяет для каждого вещества область, где становятся существенными квантовые эффекты. Развил теорию теплопроводности диэлектрических кристаллов и дипольную теорию диэлектриков, основанную на представлении о молекулах как жестких диполях. Независимо от Л. Бриллюэна предсказал (1913) диффузионное рассеяние рентгеновских лучей колебаниями решетки.

В 1916 году совместно с А. Зоммерфельдом  применил условия квантования для  объяснения эффекта Зеемана, ввел магнитное  квантовое число, совместно с  П. Шеррером разработал метод исследования структуры мелкокристаллических материалов с помощью дифракции рентгеновских лучей (метод Дебая-Шеррера). В 1923 году объяснил эффект Комптона. В 1926 году независимо от У. Джиока предложил для получения температур ниже 1 К метод адиабатического размагничивания парамагнетиков (метод магнитного охлаждения). В 1932 году обнаружил дифракцию света на ультразвуке. Совместно с Э. Хюккелем развил теорию сильных электролитов, объясняющую вид зависимости коэффициента активности от концентрации (формула Дебая-Хюккеля). Один из первых начал исследования полимеров.

Член многих академий наук и научных  обществ, иностранный член АН СССР (1924). Нобелевская премия по химии (1936). Медали Х. Лоренца, М. Фарадея, Б. Румфорда, Б. Франклина, Дж. Гиббса, М. Планка, Э. Никольса, Дж. Пристли

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятия о твердых телах и кристаллических решетках

 

        Твёрдое тело — это агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы и объема. По своему внутреннему строению твердые тела разделяются на кристаллические и аморфные.

        Кристаллы - это твёрдые тела, частицы которых располагаются в строгом порядке, образуя пространственные периодически повторяющиеся структуры.

Точнее, частицы колеблются около  определенных положений равновесия. Если их мысленно соединить прямыми  линиями, то получается своего рода «скелет» кристалла. Такое изображение кристалла  называется кристаллической решеткой.

Чаще всего кристаллическая  решетка строится из ионов (положительно и отрицательно заряженных атомов), которые входят в состав молекулы данного вещества. Например, решетка  поваренной соли содержит ионы Na+ и Cl– (рис. 1). Такие кристаллы называются ионными.

Рис. 1

Теоретически доказано, что всего  может существовать 230 различных  пространственных кристаллических  структур. Большинство из них (но не все) обнаружены в природе или  созданы искусственно.

       На рис. 2 приведены примеры простых кристаллических решеток: 1 – простая кубическая решетка; 2 – гранецентрированная кубическая решетка; 3 – объемно-центрированная кубическая решетка; 4 – гексагональная решетка.

Если периодически повторяющаяся  структура (кристаллическая решетка) распространяется по всему объему тела, то образуется «одиночный кристалл»  — монокристалл. Монокристаллы имеют форму правильных симметричных многоугольников. Но они редко достигают размеров в несколько сантиметров. Примерами монокристаллов могут служить драгоценные камни, исландский шпат (рис. 3), топаз (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

В природе чаще встречаются беспорядочно сросшиеся между собой монокристаллы. Такие твердые тела называются поликристаллы. Примерами поликристаллов являются: каменная соль (рис. 5), кварц (рис. 6), сахар, лед, железо, медь.

Рис. 5

Рис. 6

У аморфных тел нет строгого порядка в расположении атомов. Только ближайшие атомы - соседи располагаются в некотором порядке. Но строгой направляемости по всем направлениям одного и того же элемента структуры, которая характерна для кристаллов в аморфных телах, нет. На рисунке 7 изображена плоская схема расположения молекул кварца – кристаллического тела (а), и кварцевого стекла — аморфного тела (б).

Рис.7

 

 

2.Теории  теплоемкости

 2.1 Классическая модель

В основе классической теории теплоемкости твердых тел (кристаллов) лежит закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Твердое тело рассматривают как систему N независимых друг от друга атомов, имеющих по три колебательных степени свободы. На каждую из них приходится в среднем энергия kT (kT/2 в виде кинетической и kT/2 в виде потенциальной). Имея в виду, что число колебательных степеней свободы равно 3N, получим, что внутренняя энергия одного моля атомов U = 3N_AkT = 3RT. Отсюда молярная теплоемкость

С = дU/дТ = 3R.           (4.35)

В этом суть закона Дюлонга и Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех химически простых твердых тел одинакова и равна 3R. Этот закон выполняется достаточно хорошо только при сравнительно высоких температурах. Опыт показывает, что при низких температурах теплоемкость тел убывает (рис. 4.13), стремясь к нулю при по закону .

 

 

 

 

2.2 Модель Эйнштейна.

Трудности, на которые натолкнулась классическая теория в вопросе о  теплоемкости твердых тел, устранила  квантовая теория. В первоначальной модели, разработанной Эйнштейном, кристалл рассматривался как система N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором. Предполагалось, что колебания атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой v. Энергия квантового гармонического осциллятора дискретна:

           (4.38)

Можно показать, что средняя энергия такого осциллятора

 (4.37)

Первое  слагаемое здесь — это так  называемая нулевая энергия данного осциллятора. Она не зависит от Т и не имеет отношения к тепловому движению. Поэтому в теории теплоемкости тел ее можно опустить и выражение для внутренней энергии одного моля будет иметь вид:

                 (4.38)

Теперь  можно найти молярную теплоемкость кристаллической решетки:

 (4.39)

Это выражение называют формулой Эйнштейна.

При высоких температурах она переходит в формулу (4.35). При низких же температурах можно пренебречь единицей в знаменателе, и

 (4.40)

При и , и ход кривой С(Т) в общем почти совпадает с результатами опыта (см. рис. 4.13). Это был серьезный успех квантовой теории.

Вместе с тем, предсказываемое  теорией поведение теплоемкости при не очень согласуется с наблюдаемым. По Эйнштейну зависимость С(Т) должна иметь экспоненциальный характер, а опыт дает, что . При других температурах формула Эйнштейна также согласуется с экспериментальными данными только в качественном отношении.

Эти расхождения связаны не с  существом квантовой теории, а  с чрезмерным упрощением самой модели твердого тела, т.е. с предположением, что все атомы колеблются независимо друг от друга и с одинаковой частотой. Это понимал и сам Эйнштейн, он же указал, в каком направлении следует развивать квантовую модель.

 

 2.3 Модель Дебая.

В этой модели кристаллическая решетка  рассматривается как связанная система взаимодействующих атомов. Колебания такой системы — результат наложения многих гармонических колебаний с различными частотами. Под гармоническим осциллятором той или иной частоты теперь надо понимать колебания не отдельного атома, а всей системы в целом. Задача сводится к нахождению спектра частот этих осцилляторов. Это весьма сложно. Дебай сильно упростил задачу. Он обратил внимание на то, что при низких температурах основной вклад в теплоемкость вносят колебания (осцилляторы) низких частот, которым соответствуют малые кванты энергии hv. Практически только такие колебания и возбуждены ври низких температурах. Низкочастотный же спектр колебаний решетки может быть рассчитан достаточно точно, и вычисления оказываются довольно простыми. Таким путем Дебай построил теорию теплоемкости твердых тел, особенно хорошо согласующуюся с опытом при низких температурах. Из теории следовало, что при действительно .

Мы  не будем воспроизводить подробно рассуждения  Дебая. Чтобы получить результаты, к  которым пришел Дебай, мы поступим иначе.

 

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Фононы

Ситуация, с которой мы встретились (кристалл, объем которого заполнен стоячими упругими волнами – квантовыми осцилляторами), аналогична той, которую мы имели в случае полости, заполненной электромагнитными квантовыми осцилляторами. Там, по идее Эйнштейна, оказалось возможным представить электромагнитное излучение в полости в виде фотонного газа. Это наводит на мысль поступить подобным же образом и в случае упругих волн.

Упругие колебания (осцилляторы) в  кристалле имеют квантовые свойства, проявляющиеся в том, что существует наименьшая порция — квант энергии с частотой v. Это позволяет сопоставить упругой волне с частотой v квазичастицы — фононы, распространению которых со скоростью и соответствует упругая волна.

Введение понятия фонона, как  выяснилось, является плодотворным приемом, значительно облегчающим рассуждения. Оно также весьма эффективно в математическом отношении, так как математические приемы вычисления различных величин, связанных с фононами, аналогичны соответствующим вычислениям, относящимся к фотонам.

Фонон характеризуют энергией и импульсом р:

               (4.41)

где — скорость фонона (скорость волны), — его частота. Импульс имеет направление, совпадающее с направлением распространения упругой волны.

Таким образом, подобно тому, как  квантование электромагнитных волн приводит к фотонам, квантование упругих волн — к фононам.

Выяснилось, что фонону следует  приписать спин, равный нулю. Значит фононы — это бозоны и подчиняются  статистике Бозе-Эйнштейна. Фононы могут рождаться и исчезать, при этом число их не сохраняется (оно зависит от температуры Т), поэтому для фононного газа химический потенциал  = 0, и функция f заполнения фазовых ячеек определяется формулой (4.5).

 

4. Колебательная энергия решетки.

Колебательную энергию U кристаллической решетки можно рассматривать как энергию фононного газа. Повторив рассуждения, которые приводят к формуле (4.8), определяющей число частиц в интервале энергий ( , +d ), и учитывая, что мы имеем дело с бозонами, запишем:

              (4.42)

где согласно (4.5), (4.7) и (4.41)

           (4.43)

В твердых телах могут распространяться три волны: продольная и поперечные с двумя взаимно ортогональными поляризациями. Их скорости несколько отличаются друг от друга, поэтому под v имеется в виду их средняя скорость. В соответствии с наличием трех волн, в (4.2) коэффициент  = 3. Другими словами, он учитывает три возможные поляризации фононов.