Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Финансовый университет)

 

Кафедра «Прикладная математика»

 

 

Домашняя творческая работа

по дисциплине «Уравнения математической физики» на тему:

«Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона»

 

 

 

Выполнил:

студент группы ПМ 3-3

Постнов А.Э.

 

Проверил:  
доцент,

 к. ф.-м. н.

Свирщевский С.Р.

 

 

 

 

Москва 2014

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В данной работе будут рассмотрены задача Коши для уравнения теплопроводности и формула Пуассона. Также будет рассмотрен конкретный пример на эту тему.

Уравнение теплопроводности — важное уравнение в частных производных, которое описывает распространение тепла в заданной области пространства во времени.

Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается так называемым дифференциальным уравнением теплопроводности, на основе которого строится математическая теория теплопроводности. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье.

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

Первые исследования принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835).

 

 

 

 

 

 

Задача Коши

 

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности:

(3)   

Считаем, что u(x,t) и φ(x) функции для которых существует интеграл Фурье.

Обозначим   U(λ ,t) = R [u];   Ф(λ) = R [φ]

Шаг 1:   Применяем преобразование Фурье к нашей задаче.В силу свойства линейности можем применить к левой и правой части уравнения и начальные условия:

 

llll

(4) 

Шаг 2:   Решаем новую задачу в образах: λ входит как параметр, в уравнении производных по λ нет (только по t);

его решение: ll  . Используя начальное условие, определяем С: U(λ ,0) = С =Ф(λ).

Окончательно:

U(λ ,0) =Ф(λ)l.

Обозначим G(λ)=l

т.е. U(λ ,t) = Ф(λ)   G(λ) = R[φ(x)]   R [g(x,t)] = R(φ g).

Функция   φ(x) - известна. Надо найти g(x,t) - оригинал функции G(λ).

 

 

Воспользуемся табличными значениями:

 

 

 

 Шаг 3:

u(x,t)=   

В последнем равенстве выяснено, что из себя представляет "табличный" коэффициент λ в нашей задаче:

g(x,t)=ll=l

;  .

   Мы нашли функцию g(x,t). Осталось по определению записать свертку функций φ и g(x,t).

d

- формула Пуассона.

 

Функция    - является фундаментальным решением уравнения теплопроводности.

G*  называется функцией влияния мгновенного точечного источника.

G* (x ,ξ ,t) - представляет температуру стержня в точке х в момент времени t, вызванная действием мгновенного точечного источника мощности Q = cp, помещенного в момент t = 0 в точку x = ξ. Тогда u(x,t) - можем рассматривать как результат суперпозиции температур, возникающих в точке х в момент времени t вследствие непрерывно распределенных по стержню тепловых источников "интенсивности" φ(х)cp  в точке λ, приложенных в момент времени t = 0.

 

Задача

 

Найти решение Коши

, t>0,

, .

Пользуясь формулой Пуассона, получаем

lldl

().

Преобразуем интеграл в правой части. Имеем:

 

lldl=llldl=ldl

Сделаем замену переменного

l.

Тогда интеграл в правой части последнего равенства примет вид

.

Воспользовавшись тем, что

,

Получаем:

lldl=

Таким образом, решение

 

 

Легко видеть, что эта функция при t>0 удовлетворяет уравнению

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В данной работе мы рассмотрели задачу Коши для уравнения теплопроводности, привели пример решения этой задачи с помощью формулы Пуассона.

Это уравнение часто встречается в задачах в различных областях физики и математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/ Уравнение теплопроводности
2. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. Изд 6-ое
3. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Уравнения математической физики, 1977, МГУ 2004г изд.