Реферат по "Квантовой механике"

где

     (4)

Общее решение дифференциального  уравнения (3):

Так как по y(0)=0, то В=0. Тогда

     (5)

Условие y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

     (6)

Из выражений (4) и (6) следует, что

    (7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в  «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_п, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е_n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_n, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

Подставив в (5) значение k из (6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим А = , а собственные функции будут иметь вид

     (8)

Графики собственных функций (8), соответствующие уровням энергии (7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 2,а. На рис. 2,6 изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |y_n(х)|² = y_n(х)y*_n(х) для n=1,2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

    (9)

Из формул (9) и (7) следует, что при  больших квантовых числах (n>>1) DE_n/E_n»2/n<<1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность — сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

 

Туннельный  эффект.

туннельный эффект, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта  используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Можно показать, что

 

Для того чтобы найти отношение  |А₃/А₁|², необходимо воспользоваться условиями непрерывности y и y' на границах барьера х=0 и х=l (рис. 1):

     (1)

Эти четыре условия дают возможность  выразить коэффициенты A₂, A₃, В₁ и В₂ через А₁. Совместное решение уравнений (1) для прямоугольного потенциального барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей)

    (2)

где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барьера, D₀ — постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из выражения (2) следует, что D сильно зависит от массы т частицы, ширины l барьера и от (U—E); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 2), удовлетворяющей условиям так называемого квазиклассического приближения (достаточно гладкая форма кривой), имеем

где U=U(x).

 

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Е<U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса Dр на отрезке Dх=l составляет Dp>h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (Dр)²/(2m) может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

Атом водорода в квантовой  механике.

Решение задачи об энергетических уровнях  электрона для атома водорода сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1),

     (1)

где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 1. U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме  водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера , учитывающему значение (1):

     (2)

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (2) обычно используют сферическую систему координат: r, q, j. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции y, только при собственных значениях энергии

    (3)

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Возможные значения Е₁, E₂, Е₃,... показаны на рис. 1 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е₁, отвечающий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (Е_n >Е₁, n = 2, 3, ...) — возбужденные . При Е<0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n=¥ E_¥ = 0. При Е>0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е>0 (заштрихована на рис. 1) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

.

 

Квантовые числа  электронов.

 

Главное квантовое число n определяет общую энергию электрона на данной орбитали. Оно может принимать  любые целые значения, начиная  с единицы (n = 1,2,3, ...). Под главным  квантовым числом, равным ∞, подразумевают, что электрону сообщена энергия, достаточная для его полного отделения от ядра (ионизация атома).

 

Кроме того, оказывается, что в пределах определенных уровней энергии электроны  могут отличаться своими энергетическими  подуровнями. Существование различий в энергетическом состоянии электронов, принадлежащих к различным подуровням данного энергетического уровня, отражается побочным (иногда его называют орбитальным) квантовым числом l. Это квантовое число может принимать целочисленные значения от 0 до n - 1 (l = 0,1, ..., n - 1). Обычно численные значения l принято обозначать следующими буквенными символами:

 

Значение l                                 0 1 2 3 4       

Буквенное обозначение               s p d f g

 

В этом случае говорят о s-, р-, d-, f-, g-состояниях электронов, или о s-, р-, d-, f-, g-орбиталях.

 

Орбиталь — совокупность положений  электрона в атоме, т.е. область  пространства, в которой наиболее вероятно нахождение электрона.

 

Побочное (орбитальное) квантовое  число l характеризует различное энергетическое состояние электронов на данном уровне, определяет форму электронного облака, а также орбитальный момент р — момент импульса электрона при его вращении вокруг ядра (отсюда и второе название этого квантового числа — орбитальное)

 

                                              

 

Таким образом, электрон, обладая свойствами частицы и волны, с наибольшей вероятностью движется вокруг ядра, образуя  электронное облако, форма которого в s-, р-, d-, f-, g-состояниях различна.

 

Подчеркнем, что форма электронного облака зависит от значения побочного квантового числа l. Так, если l = 0 (s-орбиталь), то электронное облако имеет шаровидную форму (сферическую симметрию) и не обладает направленностью в пространстве

 

При l = 1 (р-орбиталь) электронное облако имеет форму гантели, т.е. форму тела вращения, полученного из «восьмерки» . Формы электронных облаков d-, f- и g-электронов намного сложнее.

Движение электрона по замкнутой  орбите вызывает появление магнитного поля. Состояние электрона, обусловленное орбитальным магнитным моментом электрона (в результате его движения по орбите), характеризуется третьим квантовым числом — магнитным m1. Это квантовое число характеризует ориентацию орбитали в пространстве, выражая проекцию орбитального момента импульса на направление магнитного поля.

Соответственно ориентации орбитали относительно направления вектора  напряженности внешнего магнитного поля, магнитное квантовое число m1 может принимать значения любых  целых чисел, как положительных, так и отрицательных, от –l до +l, включая 0, т.е. всего (2l + 1) значений.

Таким образом, m1 характеризует величину проекции вектора орбитального момента  количества движения на выделенное направление. Например, р-орбиталь («гантель») в магнитном  поле может ориентироваться в  пространстве в трех различных положениях, так как в случае l = 1 магнитное квантовое число может иметь три значения: -1, 0, +1. Поэтому электронные облака вытянуты по осям х, y и z, причем ось каждого из них перпендикулярна двум другим .

Для объяснения всех свойств атома в 1925 г. была выдвинута гипотеза о наличии у электрона так называемого спина (сначала — для наглядности — считалось, что это явление аналогично вращению Земли вокруг своей оси при движении ее по орбите вокруг Солнца). На самом деле, спин — это чисто квантовое свойство электрона, не имеющее классических аналогов. Строго говоря, спин — это собственный момент импульса электрона, не связанный с движением в пространстве. Для всех электронов абсолютное значение спина всегда равно s = 1/2. Проекция спина на ось = (магнитное спиновое число ms) может иметь лишь два значения: ms = 1/2 или ms = -1/2 .

 

Правила отбора.

В квантовой механике вводятся правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света. Теоретически доказано и экспериментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие переходы, для которых:

1) изменение орбитального квантового  числа Dl удовлетворяет условию

      (6)

2) изменение магнитного квантового  числа Dm_l удовлетворяет условию

В оптических спектрах указанные правила  отбора в основном выполняются. Однако в принципе могут наблюдаться и слабые «запрещенные» линии, например возникающие при переходах с Dl = 2. Появление этих линий объясняется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает переходы, соответствующие излучению более сложных систем зарядов, например квадруполей. Вероятность же квадрупольных переходов (переходы с Dl=2) во много раз меньше вероятности дипольных переходов, поэтому «запрещенные» линии и являются слабыми.

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора (6), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 2): серии Лаймана соответствуют переходы

серии Бальмера —

и т. д.

 

Переход электрона из основного  состояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам 1s®np (n = 2, 3, ...), что находится в полном согласии с опытом.

 

 

Спин электрона.

Помимо энергии, связанной с движением вокруг ядра атома, электрон обладает еще и дополнительной энергией, связанной с вращением вокруг своей оси наподобие волчка, откуда и происходит слово спин. Поскольку же электрон имеет электрический заряд, то при его вращении возникает круговой электрический ток, а следовательно, и магнитное поле, превращающее электрон в маленький электромагнитик, имеющий два магнитных полюса. Так как электрон может вращаться в разных направлениях — по часовой стрелке и против нее, то он может пребывать в двух различных энергетических, или, как говорят, спиновых, состояниях. Спин электрона вызывает ряд дополнительных взаимодействий, играющих исключительно важную роль в физических свойствах атома.

Спиновое квантовое  число.