Некоторые задачи устойчивости плавания тел

  МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

  БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

  МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

  Кафедра теоретической и прикладной механики 
 
 
 
 
 
 
 
 

  КУРСОВАЯ  РАБОТА 

  НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАВАНИЯ ТЕЛ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Научный руководитель:

  канд. физ. мат. наук, доцент

  П.Н. Конон 
 
 

  Выполнил:

  студент II курса 7 группы

  И.Г. Грицук 
 

  Минск , 2011 
Содержание

Введение……………………………………………………………....2

1.Устойчивость плавания неоднородной свечи…………………….3

2.Плавание судов……………………………………………………...7

Выводы……………………………………………………………….12

Приложения 
Введение

  Одной из важнейших проблем гидростатики является исследование устойчивости равновесия плавающих тел.

  Теория  устойчивости также носит название «теория остойчивости» и имеет  важное практическое применение для кораблей или других судов.

  Таким образом, задача о плавании тел, находящихся  в равновесии в покоящейся жидкости сводится к изучению:

1. Плавучести тела, т.е.  свойства тела плавать при данной нагрузке, имея заранее установленное погружение.
2. Остойчивости, т.е. способности тела восстанавливать после прекращения действия сил, вызвавших крен, свое исходное положение в жидкости.

  Эти вопросы, изучение которых основывается на применении закона Архимеда, являются основными  в теории корабля, блестяще разработанной в трудах Эйлера, акад. А.Н.Крылова и др.

  Закон Архимеда определяет силу давления жидкости на поверхность погруженного в нее  тела: на тело, погруженное в жидкость, действует сила равная весу вытесненной жидкости. Эта сила приложена в центре масс вытесненного объема и называется центром давления. Направлена она вертикально вверх.

Далее рассмотрим примеры плавания некоторых тел. 
1.Устойчивость плавания неоднородной свечи

    

  Заданна свеча длины l плотности ρ, с прикрепленным однородным грузом длины h и плотности ρ₁ .

  Выберем координатную ось вертикально вверх, а за начало отсчета примем нижнее основание тела. Тогда d – глубина погружения.

  Точки A и C – центр давления(плавучести) и центр масс тела соответственно. 
 
 
 
 
 
 

  Чтобы свеча  плавала, должно выполняться условие:

      ,                                                             (1)

где – сила Архимеда, – сила тяжести.

  Перепишем (1) как

    ,                                                 (2)

  откуда следует

     .                                                            (3)

  Свеча будет  плавать, если . С учетом  (3) это условие примет вид

                                        .                                                       (4) 

  Далее определим, при каких условиях свеча будет плавать устойчиво в вертикальном положении. Условие устойчивости:

        .                                                            (5)

  В выбранной  системе координат найдем координаты центра давления(плавучести) и центра масс тела

      ;                                              (6)

     .                                                (7) 

  Таким образом, условие устойчивости (5) запишется  в виде

       ,                                        (8)

  откуда  при заданных плотностях легко находятся  параметры тела. 
 

  Построим  графические зависимости при заданных параметрах неоднородной свечи: Т.е.  к свече присоединена алюминиевая шайба высотой 1 см.

  

С изменение  длины однородной l свечи изменяются выражения , где s– полная длина неоднородной свечи, d– глубина ее погружения, которая вычисляется по формуле (3), – положение центра масс, выражаемое формулой (7), – координата центра плавания, соответствующая формуле (6).

Подставив численные данные найдем точки пересечения графиков

, откуда

и

, откуда .

Окончательно  получим что неоднородная свеча  с такими параметрами будет устойчиво  плавать при . 
 

  Приведем  выкладки для решения системы  неравенств (7).

  Для упрощения  работы введем безразмерные переменные .

  Перепишем полученные ранее выражения в  новых переменных

  

.

  Условие (4) перепишется как

      =>  .                                            (9)

  Координаты  центра давления

  

,

  а координаты центра масс

  

.

  Выражение (7) тогда имеет вид

  

.

  Выполняя  математические преобразования, учитывая что все величины положительны, получим

  

;

  

;

  

.

  Получили  квадратное неравенство, где  (т.к. тело плавает, а значит его плотность меньше плотности жидкости). Значит решением этого неравенства будет ,где – корни квадратного уравнения

  

.

  Дискриминант  равен

  

.

  Следовательно

  

. 

  Таким образом, условие устойчивости имеет вид

  

.

  А с учетом условия плавания (8) условие устойчивости плавания запишется в виде

  

. 

 

  

  2.Плавание судов

  Если вес  погруженного в жидкость тела G менее давления P=γW, испытываемого им со стороны жидкости G<P, то тело всплывает, если G>P, то тело тонет, G=P, тело плавает.

  В этих случаях  цент давления обычно называют центром водоизмещения, а вес жидкости в погруженном объеме тела – водоизмещением.

  Зная водоизмещение  плавающего судна, можно вычислить  так называемую осадку данного судна, т.е. величину погружения наинизшей  точки поверхности судна.

  Плоскость сечения судна свободной поверхностью называется плоскостью плавания. Вертикальная  ось, нормальная к плоскости плавания и проходящая через центр тяжести тела, называется осью плавания.

  Точка пересечения  оси плавания с направлением равнодействующей сил давления жидкости на плавающее  тело при крене называется метацентром.

  Таким образом, можно отметить три характерных точки, расположенных на оси плавания:

1. цент тяжести С;
2. центр водоизмещения D;
3. метацентр М.

  Первый  из этих центров при крене и  качке судна е меняет своего положения по отношению к телу судна, второй –центр водоизмещения, меняет, т.к. при крене меняется очертание объема вытесненной жидкости.

  Положение метацентра можно считать неизменным при углах крена <15°. В этом случае центр водоизмещения D перемещается по дуге круга, описанной из метацентра радиусом ρ, называемым метацентрическим радиусом.

  Чтобы определить его величину воспользуемся теоремой моментов. Для этого рассмотрим, прежде всего, силы, действующие на тело при крене. Последний происходит при наличии трех сил:

1. силы давления жидкости на судно P=γW=G, приложенной к центру водоизмещения D и направленной вертикально вверх;
2. веса жидкости в объеме обсохшей части судна AOA’; этот вес T₁, очевидно равен γW₁, где W₁– объем обсохшей части судна; сила T₁ приложена в центре тяжести этого судна и направлена вертикально вниз;
3. веса жидкости в объеме погружающейся при крене части судна BOB’; величина этого веса T₂ равна γW₂, где W₂–объем части BOB’, приложена в центре тяжести погружающегося объема и направлена вертикально вверх.

  В результате действия этих сил  центр давления D переместиться из точки D в точку D’, через которую и пройдет равнодействующая R, что

  

.

  Т.к. легко  видеть что .

  Составим  уравнения моментов относительно точки  O, через которую проходит продольная ось плоскости плавания

  

,

  где a,b,t₁,t₂ – плечи, указанные на рисунке выше.

  Подставляя вместо R=P, и T₁ их T₂ значения, найдем

  

,

  и так  как 

  

; ;

  то имеем  после сокращения на γ

  

.

  Обозначая , где , получим

  

.

  Но величина есть не что иное, как статический момент объема относительно оси, проходящей через точку O,α– угол крена.

   Этот момент равем(см. рис.)

   ,

   где – момент инерции плоскости плавания относительно продольной оси, проходящей через точку O,α– угол крена. 

  Подставляя  найденное выражение для статического момента в полученное уравнение, находим

  

,

  откуда

  

.

  При малых  углах крена  и окончательно

  

.

  Если  пара сил: вес судна G и результирующая R сил, действующих со стороны воды, во время крена стремиться уничтожить крен, то положение судна называется остойчивым и, наоборот, если пара сил стремиться увеличить крен, то положение судна неостойчиво. На рис. ниже изображены оба случая. Легко заметить, что для остойчивости плавающего тела необходимо, чтобы расстояние δ между центром тяжести и центром давления было меньше длины метацентрического радиуса ρ или

  

.