Механические колебания и волны

В жидкостях  и газах упругая деформация сдвига не возникает. Если один слой жидкости или газа сместить на некоторое расстояние относительно соседнего слоя, то никаких касательных сил на границе между слоями не появится. Силы, действующие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. То же относится к газообразной среде. Следовательно, поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.

Значительный  интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц,частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Смещение y (x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне зависит от координаты x на оси OX, вдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону: 

где   – так называемое волновое число, ω = 2πf – круговая частота.

На рис. 2.6.4 изображены «моментальные фотографии» поперечной волны в два момента времени: t и t + Δt. За время Δt волна переместилась вдоль оси OX на расстояние υΔt. Такие волны принято называть бегущими (в отличие от стоячих волн, см. далее).

Рисунок 2.6.4. «Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t + Δt

Длиной волны λ называют расстояние между двумя соседними точками на оси OX, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за период Т, следовательно, λ = υT, где υ – скорость распространения волны.

Для любой выбранной  точки на графике волнового процесса (например, для точки A на рис. 2.6.4) с течением времени t изменяется координата x этой точки, а значение выражения ωt – kx не изменяется. Через промежуток времени Δt точка A переместится по оси OX на некоторое расстояние Δx = υΔt. Следовательно: 

ωt – kx = ω(t + Δt) – k(x + Δx) = const  или  ωΔt = kΔx.

Отсюда следует: 

Таким образом, бегущая синусоидальная волна обладает двойной периодичностью – во времени  и пространстве. Временной период равен периоду колебаний Tчастиц среды, пространственный период равен длине волны λ. Волновое число   является пространственным аналогом круговой частоты 

Обратим внимание на то, что уравнение 

y (x, t) = A cos (ωt + kx)

описывает синусоидальную волну, распространяющуюся в направлении, противоположном направлению оси OX, со скоростью 

В бегущей синусоидальной волне каждая частица среды совершает гармонические колебания с некоторой частотой ω. Поэтому, как и в случае простого колебательного процесса, средняя потенциальная энергия, запасенная в некотором объеме среды, равна средней кинетической энергии в том же объеме и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Отсюда  следует, что при распространении  бегущей волны возникает поток  энергии, пропорциональный скорости волны  и квадрату ее амплитуды.

Бегущие волны  распространяются в средах с определенными скоростями, зависящими от типа волны, а также от инертных и упругих свойств среды.

Скорость поперечных волн в натянутой струне или резиновом  жгуте зависит от погонной массы μ (т. е. массы единицы длины) и силы натяжения T: 

Скорость распространения продольных волн в безграничной среде определяется плотностью среды ρ (т. е. массой единицы объема) и модулем всестороннего сжатия B, который равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δp и относительным изменением объема ΔV / V, взятому с обратным знаком: 

Выражение для  скорости распространения продольных волн в безграничных средах имеет  вид 

Например, при  температуре 20 °С скорость распространения продольных волн в воде υ ≈ 1480 м/с, в различных сортах стали υ ≈ 5–6 км/с.

При распространении продольных волн в упругих стержнях в формулу для скорости волн вместо модуля всестороннего сжатия B входит модуль Юнга E(см. §1.12): 

Для стали отличие E от B невелико, для других материалов оно может составлять 20–30 % и даже больше.

Модель. Продольные и поперечные волны

Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко  изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду. Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении. В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных условиях они могут образовать стоячую волну.

Пусть струна длины l закреплена так, что один из ее концов находится в точке x = 0, а другой – в точке x₁ = L (рис. 2.6.5). В струне создано натяжение T.

Рисунок 2.6.5. Образование стоячей волны в струне, закрепленной на обоих концах

По струне одновременно распространяются в противоположных  направлениях две волны одной  и той же частоты:

• y₁ (x, t) = A cos (ωt + kx) – волна, бегущая справа налево;
• y₂ (x, t) = –A cos (ωt – kx) – волна, бегущая слева направо.

В точке x = 0 (один из закрепленных концов струны) падающая волна y₁ в результате отражения порождает волну y₂. При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции, который является экспериментальным фактом, колебания, вызванные встречными волнами в каждой точке струны, складываются. Таким образом, результирующее колебание в каждой точке равно сумме колебаний, вызванных волнами y₁ и y₂ в отдельности. Следовательно, 

y = y1 (x, t) + y2 (x, t) = (–2A sin ωt) sin kx.

Это и есть стоячая волна. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.

Оба неподвижных  конца струны должны быть узлами. Приведенная  выше формула удовлетворяет этому  условию на левом конце (x = 0). Для выполнения этого условия и на правом конце (x = L), необходимо чтобы kL = nπ, где n – любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина L струны равняется целому числу длин полуволн: 

Набору значений λ_n длин волн соответствует набор возможных частот f_n: 

где   – скорость распространения поперечных волн по струне. Каждая из частот   и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f₁ называется основной частотой, все остальные (f₂, f₃, …) называются гармониками. На рис. 2.6.5 изображена нормальная мода дляn = 2.

В стоячей волне  нет потока энергии. Колебательная  энергия, заключенная в отрезке  струны между двумя соседними  узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке  происходит периодическое (дважды за период T) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота   струна обладает бесконечным числом собственных (резонансных) частот f_n. На рис. 2.6.6 изображены несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.

Рисунок 2.6.6. Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах

В соответствии с принципом суперпозиции стоячие  волны различных типов (т. е. с разными значениями n) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.

 

Модель. Нормальные моды струны

 

Эффект  Доплера

 

Эффект Доплера - изменение частоты волны, воспринимаемой наблюдателем (приемником) благодаря относительному движению источника волн и наблюдателя. Если источник волн приближается к наблюдателю, число волн, прибывающих к наблюдателю волн, каждую секунду превышает испускаемое источником волн. Если источник волн удаляется от наблюдателя, то число испускаемых волн больше, чем прибывающих к наблюдателю.

Аналогичный эффект следует  в случае, если наблюдатель перемещается относительно неподвижного источника.

Примером эффекта Доплера является изменение частоты гудка поезда при его приближении и удалении от наблюдателя.  

Общее уравнение для эффекта  Доплера имеет вид

|

 

Здесь  νисточн -  частота волн, испускаемых источником, и νприемн - частота волн, воспринятая наблюдателем. ν0 - скорость волн в неподвижной среде, νприемн  и νисточн - скорости наблюдателя и источника волн соответственно. Верхние знаки в формуле относятся к случаю, когда источник и наблюдатель перемещаются друг к другу. Нижние знаки относятся к случаю удаления друг от друга источника и наблюдателя волн. 

Изменение частоты волн вследствие эффекта Доплера называют доплеровским сдвигом частоты. Этот феномен используется для измерения скорости перемещения  различных тел, включая эритроциты в кровеносных сосудах.

 

Список литературы

 

1. Ильичева Е.Н., Кудеяров  Ю.А., Матвеев А.Н. Методика решения  задач оптики. Издательство Московского  Университета. 1981.

2. Гольдман И.И., Кривченков  В.Д. Сборник задач по квантовой  механике

3. Долгов А.Н., Протасов  В.П., Соболев Б.Н. Сборник задач по физике с решениями и ответами; Механика: Для абитуриентов и учащихся 9-11 классов_т-01

4. Долгов А.Н., Протасов  В.П., Соболев Б.Н. Сборник задач  по физике с решениями и  ответами; Механика: Для абитуриентов  и учащихся 9-11 классов_т-02

5. Долгов А.Н., Протасов В.П., Соболев Б.Н. Сборник задач по физике с решениями и ответами. Часть III. Электричество и оптика.Для абитуриентов и учащихся 9-11 классов_т-03

6. Бабаджан, Гервидс, Дубовик,  Нересов. Сборник качественных  вопросов и задач по общей  физике 1990

7. Зильберман А.Р., Сурков Е.Л. Задачи для физиков – М., "Знание", 1971

8. Лайтман, Пресс, Прайс,  Тюкольски. Сборник задач по  теории относительности и гравитации 1979

9. Методические указания  и контрольные задания для  студентов заочников технологических  высших учебных заведений под ред. Прокофьева – 2001 г. (ТНГУ/ Тюменский государственный нефтегазовый университет)

10. Трубецкова С.В. Физика. Вопросы — ответы. Задачи —  решения. Ч. 4. Основы молекулярной  физики и термодинамики. - М.: Физматлит, 2004.