Механические колебания и волны

 

Содержание

Введение           2

Механические  колебания и волны        2-3

Простое гармоническое  колебание       3-4

Затухающее  колебание         5-6

Вынужденное колебание  и резонанс       6

Механические  волны         6-13

Эффект Доплера          13-14

Список литературы          14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Колебания –  это движение тела, в ходе которого оно многократно движется по одной  и той же траектории и проходит при этом одни и те же точки пространства. Примерами колеблющихся объектов могут  служить – маятник часов, струна скрипки или фортепиано, вибрации автомобиля.

Колебания играют важную роль во многих физических явлениях за пределами области механики. Например, напряжение и сила тока в электрических  цепях могут колебаться. Биологическими примерами колебаний могут служить сердечные сокращения, артериальный пульс и производство звука голосовыми связками.

Хотя физическая природа колеблющихся систем может  существенно отличаться, разнообразные  типы колебаний могут быть охарактеризованы количественно сходным образом. Физическая величина, которая изменяется со временем при колебательном движении, называется смещением. Амплитуда представляет собой максимальное смещение колеблющегося объекта от положения равновесия. Полное колебание, или цикл – это движение, при котором тело, выведенное из положения равновесия на некоторую амплитуду, возвращается в это положение, отклоняется до максимального смещения в противоположную сторону и возвращается в свое первоначальное положение. Период колебания T – время, необходимое для осуществления одного полного цикла. Число колебаний за единицу времени – это частота колебаний.

 

Механические  Колебания и Волны

 

Колебательное движение широко распространено в природе. Говоря о колебаниях тела, мы подразумеваем  повторяющееся движение по одной и той же траектории. Это движение является периодическим. Простейшим примером периодического движения служат колебания груза на конце пружины.

Если сдвинуть груз вправо, растягивая пружину, или  влево, сжимая ее, то пружина действует  на груз с силой, которая стремится вернуть его в положение равновесия; такую силу называют возвращающей. Для нашей системы возвращающая сила F прямо пропорциональна расстоянию х, на которое сжимается или растягивается пружина (Fx = -kx).

Эта сила сообщает грузу ускорение, и груз приходит в положение равновесия со значительной скоростью. В положении равновесия сила, действующая на груз, уменьшается до нуля, а скорость его в этой точке максимальна. Поэтому груз пройдет положение равновесия и будет двигаться далее, что приведет к сжатию пружины. Сила со стороны пружины в результате ее сжатия замедляет движение груза, и в некоторой точке его скорость будет равна нулю. Затем груз начинает двигаться в противоположном направлении и придет в точку, откуда он начал движение.

Затем весь этот процесс повторяется. Пружина, груз - пример колебательной системы. Рассмотрим главные свойства колебательной системы. У каждой колебательной системы есть состояние устойчивого равновесия.

После того как  колебательная система выведена из положения устойчивого равновесия, появляется сила, возвращающая систему в устойчивое положение. Природа этой силы может быть различной.

Возвратившись в устойчивое состояние, колебательная  система не может сразу остановиться. В механических колебательных системах этому мешает инертность колеблющегося тела.

Расстояние  х груза от положения равновесия до точки, в которой в данный момент времени находится груз, называют смещением.

Модуль максимального  смещения (наибольшее расстояние от положения  равновесия) называется амплитудой и обозначается буквой А или х0.

Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку, например от х = Ак х - -А и обратно в х = А, называется полным колебанием.

Период Т - это  время, за которое совершается одно полное колебание. Частота v определяется как число полных колебаний в 1 с. За единицу частоты принимают 1 герц (1 Гц) - это частота такого колебания, при которой за 1 с совершается одно полное колебание. Связь частоты с периодом выражается следующей формулой:

 

Простое гармоническое колебание

В некоторых  телах при их растяжении или сжатии возникают силы, противодействующие этим процессам. Эти силы прямо пропорциональны  длине растяжения или сжатия. Таким  свойством обладают пружины. Когда  тело, подвешенное к пружине, отклоняют  от положения равновесия, а потом отпускают, его движение представляет собой простое гармоническое колебание.

Рассмотрим  тело массой m, подвешенное на пружине в положении равновесия. Смещая тело вниз, можно вызвать колебание тела. Если - смещение тела от положения равновесия, то в пружине возникает сила F (сила упругости), направленная в противоположную смещению сторону. В соответствии с законом Гука, сила упругости пропорциональна смещению Fупр = -k·S , где k - константа, которая зависит от упругих свойств пружины. Сила является отрицательной, поскольку она стремится вернуть тело в положение равновесия.

Действуя на тело массой m, сила упругости придает ему ускорение вдоль направления смещения. Согласно закону Ньютона F = ma, где a = d2S/d2t. Для упрощения последующих рассуждений пренебрежем трением и вязкостью в колеблющейся системе. В таком случае амплитуда колебаний не будет изменяться со временем. 

 

Если не действуют  никакие внешние силы (даже сопротивление  среды) на колеблющиеся тело, то колебания  осуществляются с определенной частотой. Эти колебания называются свободными. Амплитуда таких колебаний остается постоянной.

Таким образом, m·d2S/d2t = -k·S (1) . Перемещая все члены равенства и деля их на m, получим уравнения     d2S/d2t +(k/m)·S = 0,

а затем      d2S/d2t +ω02·S = 0  (2), где  k/m = ω02           

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением простого гармонического колебания.

Решение уравнения (2) дает две функции:

S = A sin(ω0t + φ0) (3)     и     S = A cos(ω0t + φ0) (4) 

Таким образом, если тело массой m осуществляет простые гармонические колебания, изменение смещения этого тела от точки равновесия во времени осуществляется по закону синуса или косинуса.   

(ω0t + φ0) - фаза колебания с начальной фазой φ0. Фаза является свойством колебательного движения, которое характеризует величину смещения тела в любой момент времени. Измеряется фаза в радианах. 

Величина  называется угловой, или круговой, частотой. Измеряется в радианах, деленных за секунду ω0 = 2πν или ω0 = 2π/T (5) 

График уравнения  простого гармонического колебания представлен на Рис. 1. Тело, первоначально смещенное на расстояние А – амплитуды колебания, а затем отпущенное, продолжает колеблется от -A и до A за время T - период колебания.

Рис 1.

Таким образом, в ходе простого гармонического колебания величина смещения тела изменяется во времени вдоль синусоиды или косинусоиды. Поэтому простое гармоническое колебание часто называют синусоидальным колебанием. 

Простое гармоническое  колебание имеет следующие основные характеристики:

a) движущееся тело попеременно находится по обе стороны от положения равновесия;

б) тело повторяет  свое движение за определенный интервал времени;

c) ускорение  тела всегда пропорционально  смещению и направлено противоположно  ему;

д) графически этот тип колебания описывает синусоида.

Затухающее  колебание

 

Простое гармоническое  колебание не может продолжаться сколь угодно долго при постоянной амплитуде. В реальных условиях через  некоторое время гармонические  колебания прекращаются. Такие гармонические  колебания в реальных системах называются затухающим колебаниями (рис.2). К снижению амплитуды колебаний с последующим их прекращением приводит действие внешних сил, например, трения и вязкости. Эти силы уменьшают энергию колебаний. Они называютсядиссипативными силами, поскольку способствуют рассеиванию потенциальной и кинетической энергии макроскопических тел в энергию теплового движения атомов и молекул тела.

Рис 2.

Величина диссипативных  сил зависит от скорости тела. Если скорость ν сравнительно мала, то диссипативная сила F прямо пропорциональна этой скорости Fтр = -rν = -r·dS/dt (6)

Здесь r - постоянный коэффициент, независимый от скорости или частоты колебаний. Знак минус указывает на то, что тормозящая сила направлена против вектора скорости движения. 

Принимаясь во внимание действие диссипативных сил, дифференциальное уравнение гармонического затухающего колебания имеет вид: m·d2S/d2t = -kS - r·dS/dt. 

Перенеся все  члены равенства в одну сторону, разделив каждый член на  m и заменяя k/m = ω2,r/m = 2β , получимдифференциальное уравнение свободных гармонических затухающих колебаний

|

где  β - коэффициент затухания, характеризующий затухание колебаний за единицу времени.

Решением уравнения  является функция S = A0·e-βt ·sin(ωt + φ0) (8)

Уравнение (8) показывает, что амплитуда гармонического колебания уменьшается экспоненциально во времени. Частота затухающих колебаний определяется уравнением  ω = √(ω02 - β2)    (9) 

 

Если колебание  не может происходить вследствие большого , то система возвращается в свое положение равновесия по экспоненциальному пути без колебания.

 

Вынужденное колебание и резонанс

Если не сообщать колеблющейся системе внешнюю энергию, то амплитуда гармонического колебания  уменьшается во времени из-за диссипативных  эффектов. Периодическое действие силы может увеличить амплитуду колебаний. Теперь колебание не будет затухать со временем, поскольку потерянная энергия восполняется в течение каждого цикла действием внешней силы. Если будет достигнут баланс этих двух энергий, то амплитуда колебаний будет оставаться постоянной. Эффект зависит от соотношения частот вынуждающей силы ω  и собственной частоты колебания системы ω0. 

Если тело колеблется под действием внешней периодической  силы с частотой этой внешней силы, то колебание тела называется вынужденным.

Энергия внешней силы оказывает наибольшее действие на колебания системы, если внешняя сила обладает определенной частотой. Эта частота должна быть такой же, как и частота собственных колебаний системы, которые бы эта система совершала в отсутствие внешних сил. В таком случае происходит резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы.

 

Механические  волны

 

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если в волне частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, то волна называется поперечной. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту (рис. 2.6.1) или по струне.

Если смещение частиц среды происходит в направлении  распространения волны, то волна  называется продольной. Волны в упругом стержне (рис. 2.6.2) или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.

Волны на поверхности  жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения  волны не происходит. В процессе распространения частицы среды  лишь совершают колебания около  положений равновесия. Однако волны  переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Рисунок 2.6.1. Распространение поперечного волнового импульса по натянутому резиновому жгуту

Рисунок 2.6.2. Распространение продольного волнового импульса по упругому стержню

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые волны). Для механических волн обязательно нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию. Следовательно, среда должна обладать инертными и упругими свойствами. В реальных средах эти свойства распределены по всему объему. Так, например, любой малый элемент твердого тела обладает массой и упругостью. В простейшей одномерной модели твердое тело можно представить как совокупность шариков и пружинок (рис. 2.6.3).

Рисунок 2.6.3. Простейшая одномерная модель твердого тела

В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики обладают массой m, а пружинки – жесткостью k. С помощью такой простой модели можно описать распространение продольных и поперечных волн в твердом теле. В продольных волнах шарики испытывают смещения вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются. Такая деформация называется деформацией растяжения или сжатия (см. §1.12). В жидкостях или газах деформация такого рода сопровождается уплотнением или разрежением.

Продольные  механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.

Если в одномерной модели твердого тела один или несколько  шариков сместить в направлении, перпендикулярном цепочке, то возникнет деформация сдвига. Деформированные при таком смещении пружины будут стремиться возвратить смещенные частицы в положение равновесия. При этом на ближайшие несмещенные частицы будут действовать упругие силы, стремящиеся отклонить их от положения равновесия. В результате вдоль цепочки побежит поперечная волна.