Контрольная работа по "Физике"

5. Эквивалентная  система сил.

17. Частные  случаи нагружения бруса.

29. Поступательное  движение твёрдого тела.

41. Уравнение  момента количества движения  точки.

53. Вращательное  движение тела.

 

 

Сила. Система  сил. Равновесие абсолютно твердого тела.

В механике под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг другу ускорения или деформироваться (изменять свою форму). Сила— векторной величиной. Она характеризуется численным значением, или модулем, точкой приложения и направлением. Точка приложения силы и ее направление определяют линию действия силы. На рисунке показано, как сила приложена к точке A. Отрезок AB= модулю силы F. Прямая LM называется линией действия силы. В сист. СИ сила изм. в ньютонах (Н). Так же есть 1МН=10⁶Н, 1 кН=10³Н. Существует 2 способа задания силы: непосредственным описанием и векторный (ч-з проекции на оси координат). F= F_xi + F_yj + F_zk , где F_x, F_y, F_z– проекции силы на оси координат, а i, j, k - единичные орты. Абсолютно твёрдое тело— тело в котором расстояние м-ду 2 его точками ост. неизменным независимо от действия на него сил.

Совокупность  нескольких сил (F₁, F₂, ... ,F_n) называется системой сил. Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил (F₁, F₂, ..., F_n) можно заменить другой системой (Р₁, P ₂ , ... , P_n) и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными. Символически это обозначается следующим образом: ( F ₁ , F ₂ , ... , F_n )~ (Р₁, P ₂ , ... , P_n). Однако, это не означает, что если две системы сил оказывают одинаковое действие на тело они будут эквивалентны. Эквивалентные системы вызывают одинаковое состояние системы. Когда система сил ( F ₁ , F ₂ , ... , F_n ) эквивалентна одной силе R, то R назыв. равнодействующей. Равнодействующая сила может заменить действие всех данных сил. Но не всякая система сил имеет равнодействующую. В инерциальной системе координат выполняется закон инерции. Это означает, в частности, что тело, находящееся в начальный момент в покое, останется пребывать в этом состоянии, если на него не действуют никакие силы. Если абсолютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него  системы  сил   ( F ₁ , F ₂ , ... , F_n ),   то эта система называется   уравновешенной, или системой сил, эквивалентной нулю: ( F₁ , F ₂ , ... , F_n )~0. В этом случае говорят, что тело находится в равновесии. В математике два вектора считаются равными, если они параллельны, направлены в одну сторону и равны по модулю. Для эквивалентности двух сил этого недостаточно и из равенства F=Р еще не следует соотношение F~Р. Две силы эквивалентны, если они векторно равны и приложены к одной точке тела. 

Внутренние  усилия определяются методом сечений (РОЗУ), состоящим из четырёх этапов:

Р – рассекаем, то есть проводим сечение в том месте, где определяются внутренние усилия;

О – отбрасываем одну из частей и рассматриваем оставшуюся часть;

З – заменяем действие отброшенной части на рассматриваемую внутренними усилиями, которые приводим к центру тяжести сечения. Проецируя приведённые усилия на оси, получаем следующие неизвестные:

N – продольная сила;

Qy, Qz – поперечные силы;

Мкр – крутящий момент;

My, Mz – изгибающие моменты.

Эти усилия направляются в соответствии с правилами статики для выбранной  системы координат:

1.) левая рассматриваемая часть

2.) правая рассматриваемая часть

Рис.29.

У –  уравновешиваем, то есть составляем шесть  уравнений равновесия, из которых  и определяются внутренние усилия.

Затем строятся графики внутренних усилий вдоль оси бруса, которые называются эпюрами внутренних усилий. 

 

Частные случаи.

1) Изгиб ( Qz, My ).

2) Изгиб ( Qz, My ).

3) Растяжение, сжатие ( N ).

 

 

4) Кручение ( Мкр ).

                            

 

Рис.30.

Поступательное  движение твердого тела

Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению. Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах  двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин  колеса обозрения относительно Земли (рисунок 1.1) и т.д.    Рис. 1.1   Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения точек тела одинаковы. Доказательство.  Если выбрать две точки твердого тела А  и В  (рисунок 1.2), то радиусы-векторы этих точек связаны соотношением Траектория точки А  – это кривая, которая задается функцией rA(t), а  траектория точки B – это кривая, которая задается функцией rB(t). Траектория точки B получается переносом траектории точки A в пространстве вдоль вектора AB, который не меняет своей величины и направления во времени (AB = const). Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы. Продифференцируем по времени выражение Получаем     Рис. 1.2   Продифференцируем по времени скорость и получим выражение aB = aA. Следовательно, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек:

§ 9. Поступательное движение твердого тела 

 

Поступательным  движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым и параллельным траекториям и имеют в каждый данный момент времени равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим движение отрезка прямой  , проведенного в теле, совершающем поступательное движение (рис. 2.10). Из определения поступательного движения следует, что в каждый данный момент времени отрезок  , занимающий последовательно положения  ,  ,    и т.д., остается параллельным своему первоначальному положению. Учитывая это и то что  , делаем вывод, что ломаные линии    и    параллельны и при наложении совпадут всеми своими точками. При бесконечном уменьшении промежутков времени между рассматриваемыми положениями отрезка мы видим, что точка    и точка    описывают одинаковые кривые, т. е. кривые, совпадающие при наложении.

Для доказательства второй части  теоремы заметим, что 

 

.  (2.27) 

 

Возьмем производные по времени  от левой и правой частей 

 

. 

 

Так как  , то  .

Тогда 

 

;

;  (2.28)

;

. (2.29) 

 

Разобранная теорема позволяет  сделать вывод, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-либо одной его  точки. 

14.

Глава 14. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

В предыдущей главе, мы рассматривали  дифференциальные уравнения движения точки и некоторые результаты их интегрирования, то есть получения  уравнений движения типа  .

Более чем трехсотлетний опыт интегрирования дифференциальных уравнений движения скопился в так называемых общих  теоремах динамики.

В динамике, часто вместо основного  закона, удобно пользоваться его следствиями. Следствия сформулированы в виде общих теорем. Они позволяют установить наглядную зависимость между  основными динамическими характеристиками, изучать части процесса не затрагивая целого, избавляют от интегрирования, так как сами теоремы результат  интегрирования в конкретных случаях.

1 . Количество движения, импульс силы и кинетическая энергия.

Векторная величина   равная произведению массы точки на вектор ее скорости называется количеством движения точки. Направлен вектор   так же, как и скорость   точки.

равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости называется кинетической энергией точки.

Элементарным импульсом силы называется векторная величина  , равная произведению вектора силы   на элементарный промежуток времени.

Тогда импульс силы за конечный промежуток времени  :

а если сила постоянна по модулю и  направлению, то

Через проекции на оси координат  импульс выражается как

14.1.

Теорема об изменении количества движения точки

Выберем основной закон движения в  форме (13.2.4)

Так как масса т = const, то ее можно внести под знак дифференциала и уравнение (14.2.1) переписать как

Производная от количества движения по времени равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Если точка массы m движется под  действием силы  , и в момент времени t = 0 имеет скорость  , а в момент времени   - скорость  , то:

 и интегрируя получаем:

Подставляем в правую часть соотношение (14.1.4):

Изменение количества движения точки  за некоторый промежуток времени  равно геометрической сумме импульсов  всех действующих на точку сил  за тот же промежуток времени.

Уравнение (14.2.4) представляет собой  теорему об изменении количества движения точки (рис. 73  )

В проекциях на оси координат  уравнение (14.2.4) запишется:

14.2.

Работа  сил

Работа является одной из основных характеристик действия оказываемого силой на материальную точку.

Элементарной работой силы   называется скалярная величина

где   - проекция силы на касательную к траектории, a ds - бесконечно малое перемещение вдоль касательной (рис. 74  )

При таком определении работа характеризует  то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки (тела).

Так как  , то

Элементарная работа силы равна  произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Работа положительна если угол   острый и отрицательна если тупой. При   работа равна нулю.

Если рассматривать элементарную работу в прямоугольной системе  координат, то

так как проекции и перемещения  лежат каждые на своих осях.

Работа силы на любом перемещении   равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы:

Мощностью называется величина, определяющая работу совершаемую силой за единицу  времени. Если работе совершается равномерно, то  . В общем случае:   .

14.3.

Теорема об изменении кинетической энергии  точки

Пусть точка с массой m в начальный  момент t = 0 находится в положении   и имеет скорость  , а в момент  , в положении   и имеет скорость  .

Выберем систему координат   и спроектируем основное уравнение (13.2.2) на касательную (рис. 74)

то уравнение (14.4.1) можно переписать в форме (13.2.5):

Это теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме.

Проинтегрировав уравнение (14.4.5), получим  туже теорему в конечном виде:

Изменение кинетической энергии точки  при перемещении равно алгебраической сумме работ сил на том же перемещении.

14.4.

Теорема моментов для точки

Теорема моментов имеет более полное наименование как теорема об изменении  момента количества движения материальной точки. Данная теорема возникла из очень  простых и логичных соображений.

Количество движения   (уравнение 14.1.1) является векторной величиной. Следовательно, как и всякий вектор, может иметь момент относительно какого-либо центра или оси. Обозначается как   и называется моментом количества движения точки или кинетическим моментом.

По модулю он равен

где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на линию действия вектора  .

Рассмотрим теорему моментов относительно оси Oz. Пусть материальная точка массы m движется по траектории под действием силы  , со скоростью  . К точке приложены два вектора   и  , каждый из которых создает свой момент.

Для вектора   из уравнения (5.1.7) запишем:

Аналогично для вектора   запишем:

Дифференцируя это соотношение  по времени, получим:

Первая скобка справа равна нулю в силу второго уравнения (13.2.4). Вторая, в силу первого уравнения (13.2.4) в  точности совпадает с уравнением (14.5.2).

Окончательно

Производная по времени от момента  количества движения точки относительно какой-либо оси равна моменту  действующей силы относительно той  же оси.

Данная теорема относительно произвольного  центра запишется как

Вращательное  движение

[править]

Материал из Википедии  — свободной энциклопедии

У этого термина  существуют и другие значения, см. Вращение (значения).

Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

При выборе некоторых осей вращения, можно получить сложное вращательное движение — сферическое движение, когда точки тела движутся по сферам.

Характеристики  вращения тела