Классическая теория электропроводности металлов - теория Друде-Лоренца

Классическая теория электропроводности металлов (теория Друде-Лоренца).

Для выяснения природы носителей  тока был поставлен ряд опытов. Рикке в 1901 году взял три цилиндра - два медных и один алюминиевый-с хорошо отшлифованными торцами, взвесил их и сложил последовательно медь-алюминий –медь. Через такой составной проводник в течение года непрерывно пропускался постоянный ток. За год через этот проводник прошел заряд порядка 10³ Кл. Исследования цилиндров показало, что пропускание тока не повлияло на вес цилиндров, и не было обнаружено проникновение одного металла в другой на торцах цилиндров. Таким образом, опыты показывали, что перенос заряда в металле осуществляется не атомами. Можно было предположить, что заряд переносится электронами. Но чтобы это доказать, надо было определить значение удельного заряда носителей тока (удельный заряд- это отношение заряда к массе частицы).

Если в металлах имеются свободные  заряженные частицы, то при движении проводника частицы движутся вместе с ним. Если проводник резко затормозить, то свободные частицы некоторое время должны двигаться по инерции, в результате чего в проводнике возникнет импульс тока и будет перенесен некоторый заряд.

Пусть проводник движется со скоростью v₀. Начнем тормозить проводник с ускорением . Свободные заряды продолжают двигаться по инерции и приобретают относительно проводника ускорение . Такое же ускорение можно сообщить носителям заряда, если их поместить в электрическое поле напряженностью Е.

.

Получить такое поле можно, приложив к концам проводника разность потенциалов , где l – длина проводника. По проводнику потечет ток: , а, следовательно, за время dt через сечение проводника пройдет заряд . Таким образом, заряд, прошедший за все время торможения, равен

.                         (1)

Измерив , можно определить удельный заряд носителей тока , а направление импульса тока даст знак носителей.

Первый качественный опыт был сделан в 1913 году С.Л. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси. Они привели катушку, к концам которой был подключен телефон, в быстрые крутильные колебания, и резко останавливали. В этот момент в трубке телефона был слышен звук, обусловленный импульсом тока.

Количественный опыт был поставлен в 1916 году Р. Толменом и Б. Стьюартом. Катушка приводилась  в быстрое вращение, а затем  резко тормозилась. Гальванометром измерялся заряд, прошедший в цепи за время торможения. И по формуле (1) вычислялся удельный заряд носителей тока. Он оказался близким по значению к удельному заряду электрона.

Таким образом, ток в металле  обусловлен свободными электронами. При  образовании кристаллической решетки слабо связанные валентные электроны отщепляются от атомов, и поступают в собственность всего куска металла. Концентрация свободных носителей заряда порядка .

Исходя из представления о свободных  электронах, П. Друде и Х. Лоренц создали теорию электропроводности металлов. Согласно этой теории свободные электроны ведут себя как молекулы идеального газа. В промежутках между столкновениями они движутся свободно, пробегая некоторый путь . Столкновения электронов осуществляется преимущественно с ионами решетки, и это приводит к тепловому равновесию между электронным газом и кристаллической решеткой. Среднюю скорость теплового движения электронов можно произвести по формуле: . При эта скорость порядка 10⁵ м/с. При включении поля на хаотическое движение частиц накладывается упорядоченное движение с некоторой средней скоростью . Ее можно оценить из выражения

                    .                                             (2)

Предельно допустимая плотность тока для медных проводников 

10⁷ А/м²,  а концентрация электронов . Заряд электрона равен 1.6·10^-19 Кл. Подставляя все эти значения в формулу (2) получаем, что средняя скорость направленного движения частиц равна  . Т.е. даже при очень больших плотностях тока средняя скорость теплового движения много больше средней скорости направленного движения, вызванного электрическим полем.

Получим основные законы электропроводности на основе теории  Друде- Лоренца. Согласно этой теории при  соударении электрона с ионом  кристаллической решетки приобретенная электроном дополнительная энергия полностью передается иону, и, следовательно, скорость электрона становится равной нулю. Под действием поля электроны ускоряются и приобретают ускорение, равное . За время свободного пробега скорость электрона увеличивается до . Считая, что скорость всех электронов одинакова, можно записать, что время свободного пробега электрона равно , где u практически равна скорости хаотического движения электронов. . Скорость изменяется линейно за время свободного пробега, поэтому средняя скорость упорядоченного движения электронов равна . Плотность тока:

                  .                                       (3)

Таким образом, плотность тока оказалась  пропорциональной напряженности. Выражение  (3) можно записать в виде:

                                                                        (4)

Полученная формула  выражает  закон Ома в дифференциальной форме. Здесь - коэффициент пропорциональности, проводимость металла.

Если бы не было столкновений между электронами и ионами решетки, то проводимость была бы бесконечной. Определим температурную зависимость  проводимости. Концентрация электронов и длина свободного пробега не должны зависеть от температуры. От температуры зависит только средняя скорость теплового движения. . Следовательно, проводимость обратно пропорциональна корню из Т, а сопротивление возрастает как корень из Т. Эксперимент показывает, что сопротивление в широком интервале температур пропорционально температуре, и только при низких температура турах . Таким образом, теория проводимости металлов Друде-Лоренца, приводя к закону Ома, не может объяснить температурной зависимости сопротивления. Объяснение может дать только квантовая теория.

У ряда металлов при низких температурах наблюдается явление сверхпроводимости: при понижении температуры, начиная с  некоторой температуры, называемой критической, сопротивление становится равным нулю. Сверхпроводимость может нарушаться магнитным полем. Явление сверхпроводимости – это чисто квантовое явление, и его мы будем рассматривать в следующем семестре.

Получим закон Джоуля-Ленца  на основании теории Друде-Лоренца.  К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию:

  ,   (5)

Здесь учтено, что  для  электрона иметь скорость v и u статистически независимые события,  а средняя скорость теплового движения . Последнее слагаемое в формуле (5) - средняя кинетическая энергия теплового движения. Т.о. в присутствии поля, электрон приобретает дополнительную энергию . Столкнувшись с ионом, электрон полностью передает эту энергию кристаллической решетке. Эта энергия идет на увеличение внутренней энергии решетки, т.е. на нагревание. Каждый электрон за секунду претерпевает столкновений. Следовательно, в единице объема за единицу времени должно выделится тепло: . Коэффициент при совпадает с . Т.о. - это и есть закон Джоуля-Ленца.

Закон Видемана–Франца. Видеман и Франц установили связь между коэффициентом теплопроводности и электропроводности для всех металлов. Теплопроводность металлов, как показывает опыт, значительно выше теплопроводности диэлектриков. Из этого следует, что теплопроводность в металлах осуществляется в основном не кристаллической решеткой, а свободными электронами. Поэтому, рассматривая электроны, как одноатомный газ, используем формулу для коэффициента теплопроводности газов: . Удельная теплоемкость одноатомного газа: . Отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности: . Т.о. отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности пропорционально температуре. Это соотношение хорошо согласуется с экспериментальными данными. Но уточненные Лоренцем расчеты получили другое соотношение между l и g, которое хуже согласуется с экспериментальными данными. Т.е. классическая теория дает только качественное соответствие закона Видемана –Франца.

Теплоемкость металла можно представить как теплоемкость решетки и теплоемкость электронного газа. Каждый атом колеблется около своего положения равновесия и имеет три степени свободы. Энергия, приходящаяся на каждую колебательную степень свободы . Поэтому молярная теплоемкость решетки: . Теплоемкость электронного газа: . Следовательно, полная теплоемкость металла . У диэлектриков теплоемкость обусловлена только решеткой. Т.е. теплоемкость металла должна быть в 1.5 раза больше теплоемкости диэлектрика, а эксперимент показывает, что их теплоемкости почти одинаковы. Объяснение всех несоответствий классической теории электропроводности металлов с экспериментом объясняется только квантовой теорией металлов.

Газовый разряд.

Газ при обычных условиях не содержит свободных зарядов: электронов и ионов. Газ становится проводником  электричества, когда некоторая  часть его молекул ионизуется. Ионизация – это вырывание электронов из электронной оболочки атома, в результате чего образуются свободные электроны и положительные ионы. Для того чтобы вырвать электрон из атома, надо ему сообщить энергию, называемую энергией ионизации, величина которой различна для разных атомов. Электроны могут присоединяться к нейтральным молекулам и атомам, превращая их в отрицательные ионы. Т.о. в ионизированном газе имеются свободные электроны, положительные и отрицательные ионы. Прохождение тока через газ называется газовым разрядом.

Для ионизации газ надо подвергнуть действию какого-нибудь ионизатора. Например, при нагревании газа, молекулы движутся очень быстро и при столкновении друг с другом разлетаются на ионы. Ионизация может происходить и под действием электромагнитного излучения.

Одновременно с процессом ионизации  всегда присутствует процесс рекомбинации: положительные ионы с одной стороны и отрицательные ионы или электроны с другой стороны, встречаясь, воссоединяются, образуя нейтральную молекулу, или происходит взаимная нейтрализация  разноименных ионов. Вероятность встречи двух разноименно заряженных частиц (положительных  и отрицательные ионов или электронов) пропорциональна как числу положительных, так и числу отрицательных частиц. Поэтому количество рекомбинирующих за секунду в единице объема пар частиц пропорционально квадрату числа этих пар n, имеющихся в единице объема:

,                                (6)

 где r – коэффициент пропорциональности. В состоянии равновесия число возникающих в единице объема в единицу времени пар заряженных частиц равно числу рекомбинирующих, т.е.

          .                       (7)

Следовательно, для равновесной  концентрации пар частиц получится  выражение

  .                              (8)

Рассмотрим несамостоятельный газовый разряд, т.е. разряд, который поддерживается при постоянном действии внешнего ионизатора. Пусть в газе, находящемся между электродами и подвергающемся воздействию   рентгеновских лучей, в единицу времени в единице объема образуется пар заряженных частиц. Если на электроды подать напряжение, то положительно и отрицательно заряженные частицы будут двигаться к электродам. Убыль ионов будет происходить как за счет рекомбинации, так и за счет ухода ионов на электроды. Пусть из единицы объема ежесекундно достигает электродов пар ионов. Тогда каждую секунду электродов достигает пар ионов, где S - площадь электродов, l - расстояние между электродами.  Если - заряд каждого иона, то нейтрализация на электродах одной пары ионов сопровождается переносом по цепи заряда  . Следовательно, ток в цепи:

   .                             (9)

Отсюда

   ,                     (10)

где j - плотность тока.

При наличии тока условие  равновесия можно записать в следующем  виде:

,                        (11)

Подставляя (6) и (10) в формулу (11), получим:

              .                          (12)

Проанализируем это  выражение в случае слабых и сильных  полей.

Если поле слабое, то скорость упорядоченного движения ионов будет мала, поэтому каждый ион испытает большое количество ударов, прежде чем достигнет электрода. В этом случае вероятность рекомбинации много больше вероятности ухода ионов на электроды. В слабых полях плотность тока  мала, и слагаемым в формуле (12) можно пренебречь по сравнению со слагаемым . В этом случае для равновесной концентрации ионов получаем формулу (8). 

Плотность тока  определяется выражением:

,                          (13)

где - скорости положительных и отрицательных ионов. Плотность тока можно выразить через другую важную характеристику вещества – подвижность. Подвижность – это средняя скорость, приобретаемая носителями при напряженности поля, равной единице. Если в поле напряженности Е носители приобретают скорость v, то их подвижность . Подставив это выражение в (13), получим:

      ,                      (14)

где - подвижности положительных и отрицательных ионов.