Федеральное агентство связи 

Сибирский Государственный  Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Экзаменационная работа

По  дисциплине: Электромагнитные поля и волны

 
 
 
 
 

                                      Выполнил: студент Казанцев М.П.

                                      Группа: ТБЗ-02

                                      Проверил:

                                      Лиманский В.Н. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Навосибирск, 2011 г

 

Билет №14 

Теоретический вопрос

Волновые  уравнения для полей без источника  плоской электромагнитной волны  в идеальной среде. Структура  поля плоской электромагнитной волны, ее параметры.

Ответ:

Под плоской  ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого фазовый фронт плоский, т.е. составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе в плоскости перпендикулярной направлению распространения.

Используем  для анализа 1 и 2 уравнения Максвелла:

(1)

(2)

Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы рассматриваем  волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве за пределами  зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.

Из уравнения (1) выразим Е и подставим в (2): 
 
 
 

Т.к. из четвертого уравнения Максвелла ,

Из однородного  волнового уравнения Гельмгольца: 

Получим: 

(1) 

Из второго уравнения Максвелла получим уравнения для вектора Е

Рис. 1.

запишем уравнения в развернутом виде: 

Предположим, что источник ЭМ колебаний находится  очень далеко от той области, где  рассматриваем волны.

Рис.2. Схема  расположении источника ЭМ колебаний относительно области, в которой рассматривается волновой процесс

т.к. источник очень далеко, то расстояния до точек  можно считать одинаковым. Из физического  смысла задачи, можно утверждать, что  изменения полей по координате y, х нет, т.е. волна однородная и плоская: 
 
 

Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения: 

При зависимости  от времени: 

Векторное поле: 

Выделим составляющую поля c амплитудой А в комплексной форме: 

Выделим из комплексного выражения действительную часть: 

Рис. 3. Фотография процесса в момент времени t = t₁, t = t₂

Выясним, с какой скоростью перемещается фронт с одинаковой фазой?

;      

При Ф₁ = Ф₂: 
 
 

Полученный параметр называется фазовой скоростью волны. 
 

Т.о. фазовая  скорость зависит от свойств среды, где распространяется ЭМВ. Т.е. для идеальной среды: 

Где - абсолютная диэлектрическая проницаемость в вакууме.

μ₀=4π·10^-7=1,257·10^-6 Гн/м - абсолютная магнитная проницаемость в вакууме.

V= (≈)3·10⁸ (м/с)

λ- пространственная периодичность волнового процесса, т.е. это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой (тавтология) за период, или - это расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период. Точнее, это минимальное расстояние в какой-то момент времени между точками с одинаковой фазой. А Ваше определение не подходит для стоячей волны.

Рис.4.

В точке Z₁:

В точке Z₂:  

волновое число 
 

Для вакуума  фазовая скорость равна скорости света:

Выясним связь  напряженностей Е и Н в ЭМВ: 
 

Спроектируем (?) уравнение на оси координат:  

,                    ,               

,           

В ЭМВ  отличны от нуля только две составляющие в плоскости, перпендикулярной плоскости распространения: 
 
 

Это показывает, что сферические волны излучателя в дальней зоне превращаются в плоские ЭМВ.

Ориентация векторов и .

Для плоской  ЭМВ  всегда перпендикулярен .

Покажем, что  величина = 0: 
 
 
 

В плоской ЭМВ  всегда

  – общая запись плоской ЭМВ

Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается  только один источник, то учитываем  только волну с амплитудой А. В  пространстве имеются 2 взаимно перпендикулярных поля ( и ). Как определить направление переноса энергии?

Рис. 5 Структура  поля 

Выводы:

1. Составляющие и лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения и изменяются в фазе (там где max Е, там max Н, и наоборот)
2. Отношение определенная величина в случае вакуума Z_c = 120π. Плоская ЭМВ однородная. Это – не обязательно. Например, в волноводе распространяется плоская волна, но она, конечно, существенно неоднородна.
3. Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат. См. выше.
4. У плоской ЭМВ в свободном пространстве E_z = 0 , H_z = 0.

 

Задача 1 

Резонатор выполнен из отрезка прямоугольного волновода  сечением 72x54 мм и заполнен немагнитной средой с относительной диэлектрической проницаемостью = 2. Амплитуда напряженности электрического поля E =10 В/м. Резонансная частота 3 ГГц. Определить:

1.Длину резонатора  для колебания H .

2.Длину резонатора  для колебания H .

3.Длину резонатора  для колебания E . 

Дано:

a=72·10^-3м

b=54·10^-3м

= 2

f_р=3·10⁹Гц

E =10 В/м 

Найти: 
 

Решение:

Рассчитаем параметры  среды в соответствии с заданием:

Абсолютная диэлектрическая  проницаемость: 

Абсолютная магнитная  проницаемость для немагнитной  среды:

μ_a=μ₀=4π·10^-7=1,257·10^-6 Гн/м

Резонансная частота колебаний типа Нnmp или Emnp: 

Отсюда длина резонатора для колебаний типа : 

Учитывая, что: 
 

Подставляя численные  значения, получим длину резонатора для указанных типов колебаний: 
 
 
 
 
 

Задача 2 

В волноводе  прямоугольного сечения типа Р180 распространяется основной тип волны. Амплитуда напряженности  электрического поля на оси волновода  E = 35 В/м. Стенки волновода выполнены из меди. Размеры волновода а = 13 мм, b = 6,5 мм. Удельная проводимость меди Сим/м. Требуется:

1.Определить  частотные границы одноволнового режима.

2.Определить затухание, обусловленное потерями в стенках волновода.3.Определить отношение максимальных амплитуд продольной составляющей напряженности магнитного поля к поперечной.

4.Определить  амплитуду плотности тока смещения. 

Дано:

E = 35 В/м

а = 13 мм,

b = 6,5 мм

Сим/м 

Найти:

f₁, f₂ (одноволновой режим)-?

a_m-? 
 
 
 

Решение:

1.Определим  частотные границы  одноволнового режима.   

Абсолютная диэлектрическая  проницаемость: 

Абсолютная магнитная  проницаемость:

μ_a=μ₀=4π·10^-7=1,257·10^-6 Гн/м

m = 1, n = 0 Н₁₀ λ_кр = 2а

m = 2 , n = 0 H₂₀ , λ_кр = а

m = 0 , n = 1 H₀₁ , λ_кр = 2b

Максимальной λ_кр, обладает волна Н₁₀

λ_кр=2а=2·0,013=0,026м

Стандартный волновод 2b ≤ a для волны Н₁₀:

a λ_ген 2a - одноволновый режим.

Диапазон использования  одноволновой области 80 - 85 %. Не рекомендуется подходить к критическому режиму (справа и слева).

Найдем критическую  частоту для разных типов волн: 
 
 

Границы одноволнового режима (11,54/23,08) ГГц. Так как не рекомендуется подходить к критическому режиму, примем границы одноволнового режима от 12.5 ГГц до 21.5 ГГц

2. Определим коэффициент затухания для центральной частоты диапазона: 
 

Поверхностное сопротивление: 

Коэффициент ослабления, обусловленный потерями энергии в металлических стенках  волновода: 

Учитывая  формулу для расчета поверхностного сопротивления: 

3.Определим  отношение максимальных  амплитуд продольной  составляющей напряженности  магнитного поля  к поперечной.

Для волны H10:

Hy=0,

Ex=0,

Ez=0, 

Поперечные составляющие полей: 
 

Поперечное волновое число: 

Длина волны  в волноводе: 
 

Максимальные  амплитуды продольной и поперечной составляющих: 
 

Отношение максимальных амплитуд продольной составляющей напряженности магнитного поля к поперечной:

  неточность вычислений. На самом деле  – ровно 1.