Измерений больше, чем видит глаз

Измерений больше, чем видит  глаз

Эйнштейн  в своей специальной и общей  теории относительности разрешил два  основных противоречия физики последнего столетия. Хотя проблемы, послужившие  побудительным мотивом его работ, вовсе не предвещали такого результата, каждое из этих решений полностью  трансформировало наше понимание пространства и времени. Сотрясение основ современной  физики было столь сильным, что не устояли даже наши представления  о числе измерений во Вселенной, казавшиеся совершенно незыблемыми  и, тем не менее, подвергшиеся радикальному и убедительному изменению.

Иллюзия привычного

Наша интуиция питается жизненным опытом. Но этим роль опыта не ограничивается: он формирует  опорный каркас, в рамках которого мы анализируем и интерпретируем полученную из окружающего мира информацию. Различия между людьми, воспитанными в существенно разных культурных традициях, подчеркивают ту роль, которую играет жизненный опыт в восприятии мира. Однако есть явления, воздействие которых испытывают все. И часто именно убеждения и ожидания, основанные на таком универсальном опыте, труднее всего поддаются определению и пересмотру. Простой, но глубокий пример состоит в следующем. Выйдя из этой аудитории, вы можете двигаться в трех независимых направлениях — т. е. в трех независимых пространственных измерениях. Каким бы путем вы не последовали, — независимо от того, насколько сложным он будет, — результат может быть описан как комбинация перемещений в трех направлениях: «влево-вправо», «вперед-назад» и «вверх-вниз». Каждый раз, когда вы делаете очередной шаг, вы неявно делаете три независимых выбора, определяющих ваше движение в этих трех измерениях.

Любая точка  Вселенной может быть однозначно определена тремя параметрами, указывающими ее положение в этих трех пространственных измерениях:  «влево-вправо», «вперед-назад» и «вверх-вниз». Работы Эйнштейна показали нам, что время может рассматриваться как еще одно измерение (измерение «будущее-прошлое»), что увеличивает общее число измерений до четырех (три пространственных и одно временное). Вы определяете события во Вселенной, указывая, где и когда они произошли.

Эта особенность  Вселенной кажется столь фундаментальной  и естественной, что обычно даже не упоминается. Тем не менее, в 1919 г. малоизвестный польский математик Теодор Калуца из Кенигсбергского университета дерзнул бросить вызов очевидному — он предположил, что в действительности Вселенная может иметь не три измерения, число измерений может быть больше.  
 

Идея  Калуцы и уточнение Клейна

Предположение о том, что наша Вселенная может  иметь более трех пространственных измерений, может показаться бессмысленным, эксцентричным или мистическим. Однако в действительности оно является вполне реальным и тщательно обоснованным. Убедиться в этом будет проще, если на время оставить в покое Вселенную и рассмотреть более привычный объект, например длинный и тонкий Садовый шланг.

Представим, что несколько сотен метров Садового шланга протянуто поперек каньона, и мы наблюдаем его с расстояния, скажем, в километр, как показано на рис. 1 а.

С такого расстояния хорошо видна горизонтальная протяженность  длинного развернутого шланга, однако нам будет трудно оценить его  обхват. Наблюдая шланг с такого большого расстояния, мы можем подумать, что если бы на шланге жил муравей, у него было бы только одно измерение для прогулок: влево-вправо вдоль шланга. Если бы нас попросили указать, где этот муравей находится в какой-то момент времени, нам достаточно было бы указать только одно число: расстояние от муравья до левого (или правого) конца шланга. Основная идея этих рассуждений состоит в том, что с расстояния в километр длинный кусок Садового шланга выглядит одномерным объектом.

На самом  деле известно, что у шланга есть обхват. Нам, быть может, трудно разглядеть это с расстояния в километр, но если мы вооружимся биноклем, он увеличит изображение шланга, и мы сможем увидеть этот обхват непосредственно, как показано на рис. 1 б. Рассматривая увеличенное изображение, мы увидим, что у маленького муравья, живущего на шланге, на самом деле есть два независимых направления для прогулок. Одно из них, как мы уже заметили, проходит влево-вправо по длине шланга, а второе — это измерение «по часовой стрелке — против часовой стрелки», расположенное по окружности шланга. Теперь очевидно, что для того, чтобы сказать, где муравей находится в заданный момент, мы должны указать два числа: положение муравья вдоль длины шланга и его положение на окружности. Это отражает тот факт, что поверхность Садового шланга является двумерной .

Эти два измерения  явно различаются. Направление вдоль  шланга является длинным, протяженным, и хорошо видимым. Направление, опоясывающее шланг, является коротким, «свернутым»  и трудноразличимым. Для того чтобы  узнать о существовании циклического измерения, приходится исследовать  шланг с существенно большим  разрешением.

Этот пример подчеркивает неочевидную и важную особенность пространственных измерений: они могут быть двух видов. Они  могут быть просторными, протяженными и, вследствие этого, доступными непосредственному  наблюдению, но они также могут  быть маленькими, скрученными и гораздо  менее поддающимися обнаружению. Конечно, в нашем примере не пришлось тратить  слишком много усилий на то, чтобы  обнаружить «свернутое» измерение, опоясывающее ось шланга. Однако если придется иметь дело с очень тонким Садовым шлангом, имеющим обхват волоса или капилляра, обнаружить свернутое  измерение будет не так-то просто.

В статье, которую  Калуца отправил Эйнштейну в 1919 г., он высказал  предположение, что пространственная структура Вселенной может содержать больше измерений, чем три известных нам из жизненного опыта. Мотивом для столь радикальной гипотезы было то, что она позволяла построить элегантный и мощный аппарат, объединяющий общую теорию относительности Эйнштейна и теорию электромагнитного поля Максвелла в единую и однородную концептуальную систему. Но это предложение должно было согласовываться с тем очевидным фактом, что мы видим в точности три пространственных измерения!

Ответ, который  в неявной форме содержится в  работе Калуцы, и который позднее был выражен в явном виде и уточнен шведским математиком Оскаром Клейном в 1926 г., состоит в том, что структура пространства нашей Вселенной может содержать как протяженные, так и свернутые измерения. Это значит, что в нашей Вселенной есть измерения, которые являются просторными, протяженными и легко доступными для наблюдения, подобно длине Садового шланга. Однако, подобно циклическому измерению того же шланга, Вселенная может содержать и дополнительные пространственные измерения, которые туго скручены в ничтожно малой области — столь малой, что она не может быть обнаружена даже с помощью самого современного экспериментального оборудования.

Чтобы получить более ясное представление о  сути этого предложения, вернемся на минуту к примеру с Садовым  шлангом. Представим себе, что на шланге черной краской нарисовано с малым  шагом большое количество охватывающих его окружностей. Издалека шланг  по-прежнему выглядит тонкой одномерной линией. Но, взглянув на него в бинокль, мы обнаружим свернутое измерение; после окраски найти его будет  еще легче, чем раньше. Оно будет  выглядеть так, как показано на рис. 2 Калуца и Клейн предположили, что аналогичную структуру имеет и наша Вселенная, только в ней имеется три обычных, протяженных измерения и одно маленькое, циклическое; таким образом, общее число пространственных измерений равно четырем. Нарисовать предмет в пространстве с таким числом измерений непросто, поэтому для большей наглядности мы ограничились случаем двух протяженных и одного маленького циклического измерения. Мы изобразили это на рис. 3, где структура пространства последовательно увеличивается примерно так же, как в случае поверхности Садового шланга. 

Самое нижнее изображение на рисунке показывает видимую структуру пространства — обычный окружающий нас. Эти расстояния представлены самой редкой сеткой. На последующих изображениях структура пространства показана со все большим увеличением: мы фокусируем взгляд на все меньших областях, которые последовательно увеличиваем, чтобы сделать их видимыми. Сначала при переходе к меньшим расстояниям не происходит ничего особенного; на первых трех уровнях увеличения пространство сохраняет основные особенности своей структуры. Однако на четвертом уровне увеличения на рис. 3 появляется новое, свернутое циклическое измерение. Калуца и Клейн предположили, что дополнительное циклическое измерение существует в каждой точке пространства, определяемого протяженными измерениями, точно так же, как круговой ободок существует в каждой точке вдоль оси развернутого горизонтального шланга. На рис. 4 крупным планом показана микроструктура пространства, какой ее видели Калуца и Клейн.

Несмотря  на очевидное сходство с Садовым  шлангом, есть и несколько важных различий. Вселенная имеет три  протяженных пространственных измерения. Однако еще важнее то, что на этом рисунке мы показали пространственную структуру самой Вселенной, а не просто объекта, который существует внутри Вселенной. Но основная идея остается неизменной: если дополнительные, свернутые циклические измерения нашей Вселенной, подобные круговым ободкам на Садовом шланге, являются чрезвычайно малыми, их гораздо труднее обнаружить, чем явно наблюдаемые протяженные измерения. На самом деле, если размер этих измерений достаточно мал, их невозможно обнаружить даже с помощью самых мощных инструментов. Что очень важно, циклическое измерение представляет собой не просто какое-то вздутие внутри привычных протяженных измерений, как может показаться при взгляде на рисунок. Напротив, циклическое измерение представляет собой новое измерение, которое существует в каждой точке пространства обычных измерений, наряду с измерениями вверх-вниз, влево-вправо и вперед-назад, которые также существуют в каждой точке. Это новое и независимое направление.

 Итак, мы  пришли к выводам, что, хотя  мы наблюдаем только три протяженных  пространственных измерения, рассуждения  Калуцы и Клейна показывают, что это не исключает существования дополнительных, свернутых измерений, по крайней мере, если они достаточно малы..

Современная техника может обнаружить объекты, размер которых составляет одну миллиардную  от одной миллиардной доли метра. Если дополнительное измерение свернуто до размера, который меньше этого  значения, обнаружить его невозможно. В 1926 г. Клейн объединил первоначальное предположение Калуцы с некоторыми идеями квантовой механики и его расчеты показали, что дополнительное циклическое измерение по размерам сопоставимо с планковской длиной, что выходит далеко за рамки современных возможностей экспериментального изучения. С этого времени физики стали называть гипотезу о существовании дополнительных крошечных пространственных измерений теорией Калуцы—Клейна . 

Взад  и вперед по Садовому шлангу

Наглядный пример Садового шланга и иллюстрации, приведенные  на рис. 8.3, призваны прояснить то, почему наша Вселенная может иметь дополнительные пространственные измерения. Но даже специалистам, ведущим исследования в этой области, трудно наглядно представить Вселенную, имеющую более трех пространственных измерений. По этой причине физики часто  стремятся развить свои интуитивные  представления о дополнительных измерениях, пытаясь представить, на что была бы похожа жизнь в воображаемой вселенной, имеющей меньшее число  измерений, живя в которой мы постепенно осознаем, что она имеет больше измерений, чем прямо доступно нашему наблюдению. Попробуем вообразить двумерную  вселенную, по форме напоминающую Садовый  шланг. При этом мы должны отказаться рассматривать шланг с точки  зрения «внешнего» наблюдателя как  объект нашей Вселенной. Мы должны переместиться  из нашего мира во вселенную Садового шланга, в которой поверхность  очень длинного Садового шланга (вы можете считать его бесконечно длинным) являет собой все пространство этой вселенной. Представьте себе, что вы крошечный муравей, живущий своей жизнью на этой поверхности.

Перейдем  к еще более экстремальной  точке зрения. Представим, что длина  циклического измерения во вселенной  Садового шланга очень мала, настолько  мала, что ни вы, ни ваши собратья-обитатели  шланга даже не подозреваете о существовании  этого измерения. Напротив, вы и все  живущие во вселенной Садового шланга считаете бесспорно очевидным следующий фундаментальный факт вашей жизни — вселенная имеет одно пространственное измерение. (Если бы вселенная Садового шланга породила своего муравьиного Эйнштейна, обитатели шланга могли бы сказать, что их вселенная имеет одно пространственное и одно временное измерение.) В действительности этот факт кажется им настолько самоочевидным, что обитатели шланга называют место, где они проживают, Линляндией подчеркивая тем самым, что оно имеет одно пространственное измерение.

Жизнь в Линляндии сильно отличается от той, к которой мы привыкли. Например, знакомые нам тела просто не могут поместиться в Линляндии. Сколько бы усилий вы ни прилагали, пытаясь изменить форму тела, вам ничего не удастся сделать с тем очевидным фактом, что у вас есть длина, ширина и высота, т. е. пространственная протяженность в трех измерениях. В Линляндии нет места для таких экстравагантных конструкций. Хотя ваш мысленный образ Линляндии может быть по-прежнему связан с длинным, похожим на нить объектом, существующим в нашем пространстве, вспомните, что вы должны думать о Линляндии как о вселенной — это и есть вселенная. Как обитатель Линляндии вы должны помещаться в ней. Попробуйте представить себе это. Даже если у вас будет тело муравья, вы не поместитесь в вашу вселенную. Вы должны сплющить ваше муравьиное тело, чтобы оно выглядело подобно телу червяка, а затем сдавливать его еще и еще, пока у него совсем не останется толщины. Чтобы жить в Линляндии, вы должны быть существом, у которого есть только длина.

Теперь представьте, что у вас есть по глазу на каждой стороне вашего тела. В отличие  от глаз человека, которые могут  вращаться в глазницах, чтобы  иметь обзор в трех измерениях, ваши глаза, глаза линляндца, навсегда зафиксированы в одном положении, каждый из них направлен вдоль единственного измерения. Это не является анатомическим ограничением вашего нового тела. Нет, вы и все другие линляндцы понимаете, что поскольку в Линляндии только одно измерение, здесь просто нет другого направления, в котором могли бы смотреть ваши глаза. Вперед и назад — вот и все направления, которые существуют в Линляндии.

Мы можем  попытаться дальше развивать наши представления  о воображаемой жизни в Линляндии, но быстро осознаем, что она не слишком богата. Например, если по соседству с вами есть другой линляндец, представьте себе, как он будет выглядеть: вы увидите один его глаз, тот, который обращен к вам, но в отличие от глаза человека он будет выглядеть просто точкой. Глаза в Линляндии не имеют никаких индивидуальных особенностей и не выражают эмоций — для всего этого здесь просто нет места. Более того, вы навеки обречены видеть этот точечный глаз вашего соседа. Если вы захотите обойти его и исследовать ту часть Линляндии, которая лежит по другую сторону от его тела, вы будете очень разочарованы. Вы не сможете обойти его. Он полностью «загораживает дорогу», и в Линляндии нет места, чтобы обойти его. Последовательность расселения линляндцев после того, как они разместились по Линляндии, фиксирована и не может измениться. Такая вот тоска.