Задачи по "Экономике"

 

Задача 1. 

Решите графическим  методом задачу линейного программирования ( ).

 

Решение:

1. Строим область допустимых решений. Для этого строим четыре полуплоскости соответствующие каждому неравенству, границами которых являются соответствующие прямые:

а)

 

О – не верно.

б)

  - верно

в)

- верно

г)

- верно 

2. Находим градиент функции

3. Построим  линию уровня функции цели, для  ее построения дадим z какое-либо значение

4. Для нахождения минимума функции перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора пока она не коснется последней точки области допустимых решений.

Перемещаем прямую (линию уровня) в направлении противоположному вектору и находим крайнюю точку. В нашем случае точка А, найдем координаты этой точки.

 

Ответ:   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 2. 

Для изготовления двух видов продукции P₁ и P₂ используют три вида сырья (S₁,S₂,S₃).

На изготовление единицы продукции P₁ используют сырье S₁ - a₁ (ед.), S₂ - a₂ (ед.), S₃ - a₃ (ед.). На изготовление единицы продукции P₂ используют сырье S₁ - b₁ (ед.), S₂ - b₂ (ед.), S₃ - b₃ (ед.). Запасы сырья S₁ составляют не более чем k₁ , сырья S₂ - не более чем k₂ , сырья S₃ - не более чем k₃. 

Прибыль от единицы  продукции P₁ составляет a руб., от P₂ составляет b руб.

Необходимо составить  такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль. 

 

Решение:

1. Обозначим за количество выпускаемой продукции , за количество выпускаемой продукции . Тогда задача сводится к следующей задаче линейного программирования. Найти при ограничениях

                   _где                     

2. Сведем  задачу к каноническому виду, для  этого от систем неравенств перейдем к уравнению

         где           

Дополнительные  переменные входят

Получили каноническую задачу линейного программирования. Решаем систему симплекс методом. Свободным переменным даем значение равное 0.

БП:        

СП:                   

 
 

3. Составим  симплекс таблицу

Таблица 1

    

   Согласно  этапам алгоритма имеем: D₁= -3 < 0 D₂ = -2 < 0, поэтому начальный опорный план X= (0,0,143,122,33) не оптимальный.

   Так как |-3| > |-2|, то 1^-й столбец - разрешающий и находим для положительных элементов этого столбца минимальное симплексное отношение  min (143/9, 122/7, 33/1) = 16, значит 1^-я строка разрешающая и 9 - разрешающий элемент.

   Переменная x₁ записывается в столбец базисных переменных вместо x₃. Элементы 1^-й строки делятся на 9, а 1^-й столбец заполняется нулями, все другие элементы  пересчитываются по правилу прямоугольника.

   После заполнения таблицы мы видим, что  все D_j ³ 0, поэтому опорный план X= является оптимальным, а максимальное значение целевой функции равно 1796/37.

Ответ: max Z= при x₁= , x₂= . 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 3. 

Задана коническая модель задачи линейного программирования.

   Z=CX, AX=В, X³0, A=(a_ij)_3х5.

Требуется: Найти maxZ М-методом.

                           

 С=(6,1,-1,-2,0); ; .

Решение:

Введем в матрицу   

Запишем математическую модель задачи , при условии

            где         

Второе  и третье уравнение не имеет предпочтительного вида, вся система не имеет предпочтительного вида. Сведем систему к предпочтительному виду, введя искусственные переменные во второе и третье уравнение.

        где                             

, где М

Первоначальный опорный план

Составим  для М-задачи симплексную таблицу 

                                                                                                                    Таблица 2

 
 

   Так как в симплексной таблице (итерация 3) все оценки не отрицательные D_j ³ 0, то план оптимален.

   Ответ: X^* = (1,1,1,0,0) max Z = Z(x^*) = 6. 

Задача  4. 

      На  три базы А₁, А₂, А₃ поступил однородный груз в количестве а₁ т. на базу А₁, а₂ т. на базу А₂, а₃ т. на базу А₃. Полученный груз требуется перевезти в пять пунктов: в₁ т. в пункт В₁, в₂ т. в пункт В₂, в₃ т.  в пункт В₃, в₄ т. в пункт В₄, в₅ т. в пункт В₅.

      Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Матрица  тарифов и значения а₁, а₂, а₃ и в₁, в₂, в₃, в₄, в₅ - известны. Требуется записать модель и спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной. 

    а₁=300                                           æ  12   21     9   10   16  ö

    а₂=280                                    С=     13   15    11   13   12 

    а₃=220                                           è  19   26   12   17   20  ø 

    в₁=180,  в₂=140,  в₃=190,  в₄=120,  в₅=170.

Решение:

1. составим распределительную таблицу

                                                                                                    Таблица 3