Сутність імітаційного моделювання. Метод Монте-Карло

ЗМІСТ

ВСТУП

1. Сутність імітаційного моделювання. Метод Монте-Карло.
2. Приклад застосування методу імітаційного моделювання – Монте-Карло.

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВСТУП

       Одним з головних напрямів розвитку економіки  України, а також вітчизняної  науки і техніки є впровадження засобів інформатики і автоматизації  в різні галузі суспільного виробництва, зокрема в проектування та управління виробництвом і технологічними процесами  на базі використання сучасної високопродуктивної обчислювальної техніки і нової  інформаційної технології. Широкий  розвиток комп’ютеризації як самого виробництва, так і управління ним  неможливий без застосування ефективних наукових методів аналізу й оптимізації  складних економіко-організаційних систем. Адже завдяки саме цим методам  вдається в повному обсязі реалізувати  колосальні потенційні можливості прогресивних технологій і передової техніки. Серед наукових методів, які застосовуються в економіці, науці і техніці, особливе місце займають методи моделювання.

       Роль  моделювання як методу наукового  пізнання та методу рішення технічних завдань завжди оцінювалася достатньо високо. Однак в умовах прискорення науково-технічного прогресу, при потребах досягнення високої ефективності з використанням обмежених матеріальних, трудових, енергетичних та часових ресурсів моделювання набуває особливого значення.

       Напрямок  застосування математичних методів  та засобів імовірнісних досліджень є одним із важливих та ефективних факторів розвитку сучасної обчислювальної техніки і має прикладне значення при реалізації системних функцій перетворення форми та цифрової обробки інформації. Зокрема, генератори випадкових чисел із заданими статистичними параметрами застосовуються для статистичного моделювання, зокрема на основі методу Монте-Карло, в криптографії, захисті інформації тощо. Незважаючи на значну кількість відомих методів генерування випадкових чисел, їх практичне застосування в засобах перетворення форми та цифрової обробки інформації обмежується складністю реалізації таких генераторів та значними коштами їх виготовлення. Крім того, для більшості відомих методів генерування не здійснено дослідження статистичних характеристик випадкових розподілів, алгоритмічної складності та складності програмної чи апаратної реалізації, що не дозволяє обґрунтувати ефективність їх практичного використання і визначає актуальність проведення досліджень по розробці методів та засобів генерування, які б володіли конкурентноздатними техніко-економічними характеристиками та забезпечували необхідну якість рівномірності розподілу генерованих послідовностей.

       Отже, тема набуває актуальності у зв’язку з необхідністю вдосконалення існуючих та розробки нових методів моделювання.

       Мета  заняття – набути практичних навичок  з використання методу імітаційного моделювання при прогнозуванні  економічних процесів, а саме за допомогою методу Монте-Карло. Засвоїти суть використання моделювання в  економіці. Сформувати систему теоретичних та практичних знань з основ створення та застосування імітаційного моделювання в економічних дослідженнях, закріпити, розширити й поглибити здобуті знання.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Сутність  імітаційного моделювання. Метод Монте-Карло.

       Імітаційне  моделювання — це метод, що дозволяє будувати моделі процесів, що описують, як ці процеси проходили б насправді. Таку модель можна «програти» в часі як для одного випробування, так і заданої їх кількості. При цьому результати визначатимуться випадковим характером процесів. За цими даними можна отримати достатньо стійку статистику.

       Імітація як метод розв'язування нетривіальних задач отримала початковий розвиток у зв'язку із створенням ЕОМ в 1950-х — 1960-х роках.

       У широкому розумінні імітаційне моделювання — це метод дослідження, заснований на тому, що система, яка вивчається, замінюється імітатором і з ним проводяться експерименти з метою отримання інформації про цю систему. Експериментування з імітатором називають імітацією (імітація — це збагнення суті явища, не вдаючись до експериментів на реальному об'єкті). А у вузькому розумінні імітаційне моделювання — це відтворення на ЕОМ реальної виробничої чи організаційної системи. За такого тлумачення термін «імітаційне моделювання» має той самий сенс, що й «машинна імітація» або «машинне моделювання» (останні терміни відповідають експериментальному методу вивчення економіки за допомогою ЕОМ).

       Слід  підкреслити, що стандартного терміну  цього напряму моделювання не існує. В англомовній літературі здебільшого використовуються такі терміни: computer simulation (комп’ютерне моделювання), systems simulation (системне моделювання), digital simulation (цифрове моделювання). У вітчизняній літературі розповсюджені терміни «машинна імітація», «машинне моделювання», «імітаційне моделювання».

       Імітаційне моделювання застосовується до процесів, в хід яких може час від часу втручатися людська воля. Людина, що керує операцією, може в залежності від сформованої ситуації, приймати ті чи інші рішення, подібно тому, як шахіст, дивлячись на дошку, вибирає свій черговий хід. Потім приводиться в дію математична модель, яка показує, яка очікується зміна обстановки у відповідь на це рішення і до яких наслідків воно приведе через деякий час. Наступне «поточне рішення» приймається вже з урахуванням реальної нової обстановки і т.д. У результаті багаторазового повторення такої процедури керівник як би «набирає досвід», вчиться на своїх і чужих помилках і поступово вчиться приймати правильні рішення – якщо не оптимальні, то майже оптимальні.

Можна виділити два різновиди імітації:

• метод Монте-Карло (метод статистичних випробувань);
• метод імітаційного моделювання (статистичне моделювання).

       Ми  розглянемо тільки один різновид імітації – метод Монте-Карло.

       Датою народження методу Монте-Карло прийнято вважати 1949 р., коли з'явилася стаття під назвою «The Monte Carlo method». Творцями цього методу вважають американських математиків Дж. Неймана і С. Улама. У СРСР перші статті про метод Монте-Карло були опубліковані в 1955-1956рр.

       Цікаво, що теоретична основа методу була відома давно. Більш того, деякі завдання статистики розраховувалися іноді за допомогою випадкових вибірок, тобто фактично методом Монте-Карло. Проте до появи електронних обчислювальних машин (ЕОМ) цей метод не міг знайти широкого застосування, бо моделювати випадкові величини вручну – дуже трудомістка робота. Таким чином, виникнення методу Монте-Карло як вельми універсального чисельного методу стало можливим тільки завдяки появі ЕОМ.

       Цей метод (як і вся теорія ймовірностей) виріс зі спроб людей поліпшити свої шанси в азартній грі. Цим пояснюється і той факт, що назву цій групі методів дало місто Монте-Карло – столиця європейського грального бізнесу.

       Ідея  методу надзвичайно проста і полягає  вона в наступному. Замість того, щоб описувати процес за допомогою аналітичного апарату (диференціальних або алгебраїчних рівнянь), проводиться «розіграш» випадкового явища за допомогою спеціально організованої процедури, що включає в себе випадковість і дає випадковий результат. Насправді конкретне здійснення випадкового процесу складається щоразу по-іншому, і так само і в результаті статистичного моделювання ми отримуємо кожного разу нову, відмінну від інших реалізацію досліджуваного процесу. Що вона може нам дати? Сама по собі нічого, так само як, скажімо, один випадок лікування хворого за допомогою яких-небудь лік. Інша справа, якщо таких реалізацій отримано багато. Це безліч реалізацій можна використовувати як якийсь штучно отриманий статистичний матеріал, який може бути оброблений звичайними методами математичної статистики. Після такої обробки можуть бути отримані будь-які питання, що цікавлять нас, характеристики: ймовірності подій, математичні сподівання і дисперсії випадкових величин і т. д. При моделюванні випадкових явищ методом Монте-Карло ми користуємося самої випадковістю як апаратом дослідження, змушуємо її «працювати на нас».     

       По  суті, методом Монте-Карло може бути вирішене будь-яке ймовірне завдання, але виправданим він стає лише тоді, коли процедура розіграшу простіше, а не складніше аналітичного розрахунку.

       Дві особливості методу Монте-Карло: 1) проста структура обчислювального алгоритму; 2) похибка обчислень, як правило, пропорційна D/N2, де D – деяка постійна, N – число випробувань. Звідси видно, що для того, щоб зменшити похибку в 10 разів (інакше кажучи, щоб отримати у відповіді ще один вірний десятковий знак), потрібно збільшити N (тобто обсяг роботи) в 100 разів.

       Ясно, що домогтися високої точності таким  шляхом неможливо. Тому зазвичай говорять, що метод Монте-Карло особливо ефективний при вирішенні тих завдань, в  яких результат потрібен з невеликою точністю (5–10%).

       Отже, метод Монте-Карло визначають, як загальну назву групи числових методів, основаних на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується. Це метод перебору різних варіантів рішень але при якому варіанти перебираються не всі і кожний варіант вибирається випадковим числом по жеребкуванню. Як правило, передбачається, що моделювання здійснюється за допомогою електронних обчислювальних машин, хоча у деяких випадках можна досягти успіху, використовуючи пристосування типу рулетка, олівці та папір.

       Даний метод використовується для вирішення задач у фізиці, математиці, економіці, оптимізації, теорії управління та прогнозування.

       Як  вже було сказано, це метод імітації для приблизного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілювання ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи дані, а також максимізувати значення даних, які використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці випадкових чисел.

2. Приклад застосування методу імітаційного моделювання – Монте-Карло.

          Прогнозування за допомогою імітаційного  моделювання розглянемо на простому прикладі ілюстративного характеру. Міркування щодо певних дій з моделювання будемо надавати в процесі рішення у вигляді коментарів.

       Умова виконання роботи: керівництво підприємства стільникового зв’язку вирішує питання щодо інвестування на розширення мережі зв’язку капіталу на суму І₀ = 100000 у.о. Термін інвестування n = 2 роки, очікувані грошові надходження (потоки) наприкінці обох років І₁=І₂=І = 60000 у.о. Ставка дисконту  r  точно невідома, але з попередніх досліджень можна припустити, що 5% £ r £ 15% і що закон розподілу цієї величини – рівномірний.

          Треба визначити доцільність  реалізації такого проекту за  критерієм NPV (Net Present Value – чиста приведена вартість) методом Монте-Карло.

       Розв’язок та коментарі:

          1. За вказаним критерієм проект  вважається доцільним, якщо  NPV має позитивне значення. Якщо розглядаються кілька проектів, то виграє проект з більшим значенням NPV.

          2. За суттю NPV є різницею між доходною частиною проекту та необхідними витратами на його реалізацію з урахуванням знецінення грошей під впливом часу.

          3. Математично NPV має кілька виразів для обчислень, найпростіший з них виглядає як  NPV = І_r І₀ , де І₀ - початкові інвестиції, І_r = .