Ситуационный анализ в экономике

 

№ решения	Суточное производство кукол, шт.	Суточное производство мишек, шт.		№ решения	Суточное производство кукол, шт.	Суточное производство мишек, шт.
52	153	498		77	228	448
53	156	496		78	231	446
54	159	494		79	234	444
55	162	492		80	237	442
56	165	490		81	240	440
57	168	488		82	243	438
58	171	486		83	246	436
59	174	484		84	249	434
60	177	482		85	252	432
61	180	480		86	255	430
62	183	478		87	258	428
63	186	476		88	261	426
64	189	474		89	264	424
65	192	472		90	267	422
66	195	470		91	270	420
67	198	468		92	273	418
68	201	466		93	276	416
69	204	464		94	279	414
70	207	462		95	282	412
71	210	460		96	285	410
72	213	458		97	288	408
73	216	456		98	291	406
74	219	454		99	294	404
75	222	452		100	297	402
76	225	450		101	300	400

 

Таблица 3. 50 возможных дополнительных оптимальных планов производства

 

Ресурс поролон вообще можно  рассматривать как недефицитный ресурс в том случае, если, допустим, будет выбран план производства, соответствующий  точке B (в сутки производится 0 кукол и 600 мишек). В данном случае ограничение II можно сдвигать до точки B, то есть минимально допустимый суточный запас поролона может равняться кг поролона. В данном случае максимально возможный доход останется прежним (180 тыс. руб.), однако мы сможем сократить запас ресурса поролон до 600 кг на фабрике, что особенно может быть полезно в тех ситуациях, когда излишки ресурса могут быть использованы для других целей.

 

Соответственно, если суточный запас  ресурса поролон будет увеличен до 900 кг, все прежние оптимальные решения останутся оптимальными, добавится еще 50 возможных оптимальных решений, но в любом из них выручка будет составлять 180 000 рублей, то есть в данном случае прямой необходимости переходить к другому решению не будет.

Задача № 4 и ее решение

В каких пределах может колебаться цена одной куклы, чтобы оптимальный  план производства остался прежним?

 

Решение. Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон прямой, которая представляет эту функцию в системе координат. В нашем случае коэффициентами как раз являются цены, в том числе цена на одну куклу. Определение конкретной угловой точки⁷ пространство допустимых решений в качестве оптимума зависит, прежде всего, от наклона этой прямой. Это означает, что вариации коэффициентов целевой функции могут привести к изменениям совокупности связывающих ограничений и, следовательно, статуса того или иного ресурса. Мы должны ответить на вопрос: каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения. Обозначим доход от реализации одной куклы и одного мишки как и соответственно. Тогда целевая функция будет выглядеть следующим образом: .

При увеличении прямая, представляющая целевую функцию F, вращается вокруг точки начала координат по часовой стрелке. Если же уменьшается, эта прямая вращается в противоположном направлении, против часовой стрелки.

Оптимальное решение в курсе  ИСО было определено как допустимый план, при котором целевая функция  задачи линейного программирования принимает свое минимальное (максимальное)⁸ значение. В нашем случае мы говорим о группе таких планов, которая формирует решение.

Соответственно, при ответе на вопрос мы можем говорить о двух критических  ситуациях:

1. когда набор оптимальных решений станет иным,
2. когда любое оптимальное решение из набора перестанет быть оптимальным.

Обозначим данные критические ситуации как К-1 и К-2.

 

Сначала начнем работу с ситуацией К-1. Набор оптимальных решений (51 оптимальный план производства) сохранится до тех пор, пока наклон прямой останется прежним. Как только цена одной куклы изменится хотя бы на одну копейку, оптимальным решением будет являться либо только точка B (при уменьшении цены; фабрика должна производить 0 кукол и 600 мишек), либо только точка C (при увеличении цены; фабрика должна производить 150 кукол и 500 мишек). Доход в первом случае останется неизменным, во втором — увеличится.

 

Теперь перейдем к рассмотрению ситуации К-2. При уменьшении цены точка B будет оставаться оптимальной до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за предел, определяемый наклоном прямой (так как иначе подразумевается, что цена одной куклы стала отрицательной, чего быть не может)⁹. Когда наклон прямой F станет равен наклону прямой , оптимальной точкой все еще будет оставаться B.

При увеличении цены точка C будет оставаться оптимальной до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за предел, определяемый наклоном прямой ограничения (II). Если наклон прямой F станет равным наклону прямой для ограничения (II), будем иметь альтернативные оптимальные угловые точки C и D (и часть точек на отрезке CD). Как только наклон прямой F выйдет за пределы указанного интервала при дальнейшем увеличении цены одной куклы, получим некоторое новое оптимальное решение (точку D).

Вычислим границы интервалов возможных колебаний  , при которых любая точка, принадлежащая отрезку BC, остается оптимальной. Зафиксируем . Крайние значения коэффициента можно определить из равенства наклонов прямой целевой функции F и прямой и прямой ограничения (II). Тангенс угла наклона для прямой F равен , а для прямых и (II), соответственно, 0 и 2.

Минимальное значение определяем из равенства , тогда минимальное значение рублей, а максимальное значение находим из равенства , тогда максимальное значения рублей. (С учетом, что .) Таким образом, интервал изменения , в котором хотя бы одна из точек, принадлежащих отрезку BC, остается оптимальным решением, определяется неравенством .

 

Соответственно, можно сделать  следующие выводы:

1) весь набор всевозможных оптимальных  планов производства в совокупности (всего 51 план) останется в целом оптимальным только в том случае, если цена одной куклы не изменится, то есть будет составлять 200 руб. за единицу при прочих равных;

2) оптимальный план производства, при котором на фабрике производится 0 кукол и 600 мишек в сутки, который обеспечивает максимальный доход в 180 тыс. руб., а также соответствующий точке B на графике, останется оптимальным в том случае, если цена одной куклы будет колебаться в пределах руб. (от 0 до 200 руб.) при прочих равных (доход не будет варьироваться в связи с тем, что планируется производить в сутки 0 кукол, только стоимость которых как раз и меняется);

3) оптимальный план производства, при котором на фабрике производится 150 кукол и 500 мишек в сутки, который обеспечивает определенный максимальный доход (минимум в 180 тыс. руб. при цене одной куклы, равной 200 руб.; максимум в 240 тыс. руб. при цене одной куклы, равной 600 руб.), а также соответствующий точке C на графике, останется оптимальным в том случае, если цена одной куклы будет колебаться в пределах руб. (от 200 до 600 руб.) при прочих равных;

4) соответственно, как уже было  обозначено в первом пункте, любой  другой оптимальный план производства (№№ 2-50 из таблицы 2), обеспечивающий максимальный доход в 180 тыс. руб., останется оптимальным только в том случае, если цена одной куклы не изменится (составит 200 руб.) при прочих равных.

Краткие ответы на поставленные вопросы

Вопрос № 1

Определить план производства фабрики игрушек, обеспечивающий максимальный доход от реализации.

 

Максимальный возможный доход  от реализации при обозначенных в  задаче условиях составляет 180 тыс. руб., ему соответствует 51 оптимальный  план производства (см. таблицу 2). Перечислим два возможных из них:

1. на фабрике в сутки необходимо производить 0 кукол и 600 мишек.
2. на фабрике в сутки необходимо производить 150 кукол и 500 мишек.

Вышеперечисленные два плана и  оставшиеся 49 оптимальных планов производства обеспечивают максимальный доход, составляющий 180 000 руб.

Вопрос № 2

Если спрос на кукол  возрастет до 350 шт. в сутки, как  изменится решение и почему?

 

Найденное решение ситуации не изменится, то есть найденные 51 план производства останутся оптимальными. Это происходит в связи с тем, что ресурс «спрос на куклы» является недефицитным, и при его увеличении решение не изменяется (более подробно см. выше).

Вопрос № 3

Если суточный запас  поролона увеличить до 900 кг, как  изменится решение?

 

Если суточный запас ресурса поролон будет увеличен до 900 кг, все прежние оптимальные решения (51 ед.) останутся оптимальными, добавится еще 50 возможных оптимальных решений, но в любом из них выручка будет составлять 180 000 рублей, то есть в данном случае прямой необходимости переходить к другому решению не будет.

Вопрос № 4

В каких пределах может  колебаться цена одной куклы, чтобы  оптимальный план производства остался  прежним?

 

1) Весь набор всевозможных оптимальных  планов производства в совокупности (всего 51 план) останется в целом оптимальным только в том случае, если цена одной куклы не изменится, то есть будет составлять 200 руб. за единицу при прочих равных;

2) оптимальный план производства, при котором на фабрике производится 0 кукол и 600 мишек в сутки, который обеспечивает максимальный доход в 180 тыс. руб., а также соответствующий точке B на графике, останется оптимальным в том случае, если цена одной куклы будет колебаться в пределах руб. (от 0 до 200 руб.) при прочих равных (доход не будет варьироваться в связи с тем, что планируется производить в сутки 0 кукол, только стоимость которых как раз и меняется);

3) оптимальный план производства, при котором на фабрике производится 150 кукол и 500 мишек в сутки,  который обеспечивает определенный максимальный доход (минимум в 180 тыс. руб. при цене одной куклы, равной 200 руб.; максимум в 240 тыс. руб. при цене одной куклы, равной 600 руб.), а также соответствующий точке C на графике, останется оптимальным в том случае, если цена одной куклы будет колебаться в пределах руб. (от 200 до 600 руб.) при прочих равных;

4) соответственно, как уже было  обозначено в первом пункте, любой  другой оптимальный план производства (№№ 2-50 из таблицы 2), обеспечивающий  максимальный доход в 180 тыс. руб., останется оптимальным только в том случае, если цена одной куклы не изменится (составит 200 руб.) при прочих равных.

 

Содержание

¹ Слово «может» вместо слова «должна производить для достижения максимального дохода» здесь и далее употребляется по той причине, что мы имеем группу оптимальных планов производства, соответственно, фабрика может выбирать, какой из оптимальных планов производства данного решения ей выбрать

² Название приведено в соответствии с курсом лекций по дисциплине, изложенных в [1] (Зандер Е. В. Исследование операций в экономике: Учеб. Пособие / Краснояр. гос. ун-т; Е. В. Зандер, В. П. Злодеев, Л. И. Мошкович, А. Р. Семёнова. — Красноярск, 2005. — 294 с.)

³ В данном случае под словами «увеличить» и «уменьшить» ресурс имеется в виду то, что ресурс «спрос» «увеличится» или «уменьшиться» на рынке, так как предприятию невозможно напрямую «увеличить» или «уменьшить» такой ресурс, как «спрос».

⁴ Данное здесь определение точки S, как принадлежащей отрезку BC и имеющей натуральные координаты, будем использовать и далее в работе.

⁵ Очевидно, что условия задачи № 2 к ситуации были конкретно обозначены: что произойдет с ситуацией, если спрос увеличиться. Рассмотрение другой части вопроса о том, что будет, если спрос уменьшиться, была произведено для того, чтобы более полно описать ситуацию.

⁶ Опять же, однозначно определить ресурс поролон как дефицитный нельзя, так как если оптимальным решением будет выбрана точка B (производится в сутки 0 кукол и 600 мишек), то ресурс «поролон» не будет дефицитным (тоже самое произойдет и при выборе любой другой точки, кроме точки C). Однако, так как ограничение (II) по ресурсу поролон пересекает одну из точек, которая в том числе является оптимальным решением, будем называть ресурс поролон «дефицитным».

⁷ Не обязательно только одной, и не обязательно угловой, как в том числе в ситуации № 20.

⁸ В источнике [1] сказано только о минимальном значении, но подразумеваем, что имеется в виду максимальное значение в части задач; это зависит от условий задачи.