Автор: Пользователь скрыл имя, 16 Февраля 2013 в 13:21, контрольная работа
Условия ситуации № 20
Фабрика по производству игрушек выпускает кукол и мишек. Для их производства используются поролон и ткань. Нормы расхода этих материалов, а также цены готовой продукции приведены в таблице.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет»
Институт экономики, управления и природопользования
Контрольная работа № 1
Ситуационный анализ
в экономике
по дисциплине «Исследование операций в экономике»
(вариант 20)
Выполнил: студент группы Э-25 Юрий Перов
Проверила: Евгения Викторовна Зандер, д. э. н., профессор |
Красноярск, 2010
Фабрика по производству игрушек выпускает кукол и мишек. Для их производства используются поролон и ткань. Нормы расхода этих материалов, а также цены готовой продукции приведены в таблице.
Исходные материалы |
Нормы расхода на готовое изделие |
Суточный запас материалов | |
кукла |
мишка | ||
Ткань, м |
1 |
1,5 |
900 |
Поролон, кг |
2 |
1 |
800 |
Цена одного изделия, руб. |
200 |
300 |
|
Таблица 1. Исходные условия
При этом установлено, что суточный спрос на кукол не превышает 300 шт.
Определить план производства фабрики игрушек, обеспечивающий максимальный доход от реализации.
Решение. Построим
математическую модель. Поскольку требуется
определить объемы производства, то переменными
в модели являются:
— объем производства кукол в сутки,
шт.;
— объем производства мишек в сутки, шт.
При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход производственных факторов (ткани и поролона), а также ограничения по спросу на готовую продукцию (на кукол). Это приводит к следующим ограничениям:
Объемы производства продукции не могут принимать отрицательные значения, то есть . Цель нашего анализа заключается в максимизации дохода, количественным выражением которого является выражение: . Итак, имеем задачу линейного программирования:
Решение можно получить графическим
способом (рис. 1).
Рис. 1. Графическое изображение пространства решений задачи
Искомым пространством решений, в котором одновременно выполняются все ограничения модели, является многоугольник ABCDE. Для того чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую, характеризующую доход (прямая F на рис. 1), в направлении возрастания целевой функции до тех пор, пока она не сместится в область недопустимых решений. На рис. 1 показано, что оптимальным решениям соответствует отрезок BC, причем точки B и C также соответствуют оптимальному решению. Точка B служит точкой пересечения прямой первого ограничения (по ткани), а также прямой . Определим координаты точки B:
Решение указанной системы уравнений дает . Полученное решение означает, что фабрика может1 в сутки производить по 0 кукол и 600 мишек для достижения максимальной выручки.
Точка C служит точкой пересечения прямых первого ограничения (по ткани) и второго ограничения (по поролону). Определим координаты точки C:
Решение указанной системы уравнений дает . Полученное решение означает, что фабрика также может производить в сутки по 150 кукол и 500 мишек для достижения все той же максимальной выручки. Доход в обоих случаях равен:
руб.
Но, как было отмечено выше, не только точки B и C являются «оптимальными», но и точки, которые лежат на отрезке BC. Однако не все точки нам подходят (то есть мы имеем не бесконечное количество оптимальных планов производства), так как должно выполняться условие: (где N — множество всех натуральных чисел), так как мы не можем производить дробное число кукол или мишек.
Для нахождения всех решений, принадлежащих отрезку BC, которые также дадут максимально возможный доход (180 000 руб.) напишем и запустим программу на языке программирования Basic (рис. 2).
Option Explicit
Private Sub Command1_Click()
Dim i As Integer
Dim j_av As Double
Dim j_min As Integer
Dim j As Integer
Dim res As Integer
Cls
' i = x1
' j = x2
For i = 0 To 150
j_av = (900 / 1.5) - (i / 1.5)
j_min = j_av - 5
For j = j_min To (j_min + 10)
If i >= 0 And j >= 0 Then ' план не может быть отрицательным
If ((1 * i) + (1.5 * j)) <= 900 Then ' первое ограничение
If ((2 * i) + (1 * j)) <= 800 Then ' второе ограничение
If (1 * i) <= 300 Then ' третье ограничение
res = ((2 * i) + (3 * j)) ' вычисляем полученный доход
' (в 100 раз меньше для удобства подсчета)
If res = 1800 Then ' если он равен полученному максимальному,
End If
End If
End If
End If
End If
Next
Next
End Sub
Рис. 2. Листинг программы, производящей поиск других решений, также претендующих на оптимальность.
В результате работы программы получены и другие возможные решения, которые также обеспечивают нам максимальный доход при заданных ограничениях. Приведем их все в таблице 2 (с учетом уже найденных двух оптимальных планов производства, которые в таблице 2 обозначены как № 1 и № 51 соответственно порядку их рассмотрения выше).
№ решения |
Суточное производство кукол, шт. |
Суточное производство мишек, шт. |
№ решения |
Суточное производство кукол, шт. |
Суточное производство мишек, шт. | |
1 |
0 |
600 |
27 |
78 |
548 | |
2 |
3 |
598 |
28 |
81 |
546 | |
3 |
6 |
596 |
29 |
84 |
544 | |
4 |
9 |
594 |
30 |
87 |
542 | |
5 |
12 |
592 |
31 |
90 |
540 | |
6 |
15 |
590 |
32 |
93 |
538 | |
7 |
18 |
588 |
33 |
96 |
536 | |
8 |
21 |
586 |
34 |
99 |
534 | |
9 |
24 |
584 |
35 |
102 |
532 | |
10 |
27 |
582 |
36 |
105 |
530 | |
11 |
30 |
580 |
37 |
108 |
528 | |
12 |
33 |
578 |
38 |
111 |
526 | |
13 |
36 |
576 |
39 |
114 |
524 | |
14 |
39 |
574 |
40 |
117 |
522 | |
15 |
42 |
572 |
41 |
120 |
520 | |
16 |
45 |
570 |
42 |
123 |
518 | |
17 |
48 |
568 |
43 |
126 |
516 | |
18 |
51 |
566 |
44 |
129 |
514 | |
19 |
54 |
564 |
45 |
132 |
512 | |
20 |
57 |
562 |
46 |
135 |
510 | |
21 |
60 |
560 |
47 |
138 |
508 | |
22 |
63 |
558 |
48 |
141 |
506 | |
23 |
66 |
556 |
49 |
144 |
504 | |
24 |
69 |
554 |
50 |
147 |
502 | |
25 |
72 |
552 |
51 |
150 |
500 | |
26 |
75 |
550 |
Таблица 2. 51 возможный оптимальный план производства
Все вышеперечисленные планы
Окончательное решение по плану производства, выбирая из предложенных и указанных в таблице 51 плана производства, управленческий персонал делает на основе дополнительной информации. Любой из них (из 51 указанного плана производств) обеспечит максимальный доход от реализации и будет подходящим под ограничения, и соответственно, будет оптимальным.
Если спрос на кукол возрастет до 350 шт. в сутки, как изменится решение и почему?
Решение. Данная задача относится к Первой2 задаче постоптимального анализа решения линейных моделей с использованием двойственных оценок: на сколько сократить или увеличить запасы ресурсов.
Ресурс «спрос на куклы» является недефицитным (то есть имеющимся в некотором избытке). Ему соответствует несвязывающее (неактивное) ограничение. При анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений относятся предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение; а также предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального значения целевой функции.
Увеличивать3 количество недефицитного ресурса не имеет смысла, так как ограничение, соответствующее данному ресурсу, и так является неактивным, а при увеличении активным оно не станет.
Ограничение III (спрос на куклы) является избыточным, поэтому суточный спрос на куклы может быть уменьшен, и в определенных случаях это не отразится на оптимальном решении.
Допустим, что управленческим персоналом было выбрано определенное оптимальное решение из возможных, которое на графике представлено точкой , что означает, что фабрика производит кукол и мишек. При этом точка S4 в том числе может быть и точкой B, и точкой C. (Точку S может характеризовать только один из 51 возможного плана производства, представленного в таблице 2.)
Графически сокращение суточного спроса на куклы изображается как перемещение прямой ограничения (III) до точки S (чтобы это уменьшение не повлияло на оптимальность ранее полученного решения) параллельно самой себе. Оптимальный план по-прежнему определяется точкой S с координатами и . По графику мы видим, что максимально спрос на куклы может быть снижен до точки B. Подставим координаты точки B в ограничение (III). Получим . Таким образом, спрос на куклы снизится на кукол. Величина дохода в этом случае не меняется.
Соответственно, ресурс «спрос на куклы» может варьироваться в пределах (то есть, грубо говоря, быть любым, даже совсем отсутствовать), в любом случае будет получен максимальный доход от реализации произведенной продукции. Однако план производства при этом, возможно, должен будет быть измененным (то есть фабрика должна будет перейти с одного оптимального при начальных условиях плана производства на другой оптимальный план производства).
Если мы хотим сказать точно, до какого предела может сократиться «спрос на куклы», чтобы при этом любой из 51 оптимального плана производства не перестал существовать, мы должны снижать спрос на куклы только до точки C. Подставим координаты точки C в ограничение (III). Получим . Таким образом, спрос на куклы снизится на кукол. Величина дохода в этом случае также не меняется и остается максимальной. Соответственно, ресурс «спрос на куклы» может варьироваться в пределах , чтобы был получен максимальный доход, и любой из 51 оптимального плана производства остался осуществимым.
Так как 5, то можно сделать вывод, что при возрастании до 350 шт. суточного спроса на куклы решение не изменится, оптимальным останется прежний план производства, максимальный доход будет также прежним (180 тыс. руб.).
Если суточный запас поролона увеличить до 900 кг, как изменится решение?
Решение. Ресурс «поролон» является дефицитным6 ресурсом, так как с ним связано связывающее (активное) ограничение (II).
Обычно при рассмотрении дефицитных
ресурсов ставится вопрос: на сколько
можно увеличить запас
Однако, в нашем случае первое ограничение параллельно целевой функции F. Мы столкнулись с этим обычно не встречающимся явлением и при решении Задачи № 2, и в данном случае это также заставит нас изменить стандартный вопрос при рассмотрении изменения запаса дефицитного ресурса на следующий вопрос: на сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для увеличения количества оптимальный решений (при этом оптимальное (максимальное) значение целевой функции останется прежним)?
Изменение суточного запаса поролона графически будет выражаться в перемещении прямой ограничения (II) параллельно самой себе до точки M (дальнейшее увеличение запаса нецелесообразно, так как тогда ресурс станет недефицитным). В результате перемещения прямой ограничения (II) пространство допустимых решений увеличится на треугольник CMD, одному из оптимальных решений при этом соответствует точка M. Таким образом, запас поролона не следует увеличить сверх того предела, когда соответствующее ограничение (II) становится избыточным и уже не влияет ни на пространство решений, ни на хотя бы одно из оптимальных решений. Предельный уровень изменения запаса поролона определяется следующим образом: устанавливаются координаты точки M (она образована пересечением прямыми ограничений I и III). В результаты получаем . Затем путем подстановки координат точки M в левую часть ограничения определяется максимально допустимый суточный запас поролона: кг. Таким образом, возможно, целесообразно увеличить суточный запас поролона на кг. Величина прироста дохода от реализации в этом случае, однако, составит 0 руб., но зато увеличится набор возможных оптимальных решений на 50 новых оптимальных решений. Их список определен с помощью измененной программы и представлен в таблице 3.