Разработка модели, имитирующей работу поста ГИБДД

 
 

    Оглавление. 

    Введние………………………………………………………………………3.

1. Постановка задачи………………………………………………………6.
2. Математическая модель…………………………………………………8.
3. Расчёты………………………………………………………………….10.
4. Анализ результатов…………………………………………………….23.
5. Вывод……………………………………………………………………24.

Литература…………………………………………………………………25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Введение. 

    Теория  массового обслуживания (ТМО) представляет собой прикладную математическую дисциплину, занимающуюся исследованием показателей  производительности технических устройств  или систем массового обслуживания (СМО), предназначенных для обработки поступающих в них заявок на обслуживания заявок.

      Во  многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.

      В теории систем массового обслуживания (в дальнейшем просто -CMО) обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

      Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и склада.

      В теории СМО рассматриваются такие случаи, когда поступление требований происходит через случайные промежутки времени, а продолжительность обслуживания требований не является постоянной, т.е. носит случайный характер. В силу этих причин одним из основных методов математического описания СМО является аппарат теории случайных процессов .

      Основной  задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания. Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания требования в очереди. Очевидно, что это время можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств.  Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, в теории СМО возникают задачи оптимизации: каким образом достичь определенного уровня обслуживания  (максимального сокращения очереди или потерь требований) при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств.

     Задачи  массового обслуживания условно  делят на задачи анализа и задачи синтеза - оптимизации систем массового обслуживания. Первые предполагают определение основных параметров функционирования системы массового обслуживания при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках: структура системы, дисциплина обслуживания, потоки требований и законы распределения времени на их обслуживание. Вторые направлены на поиск оптимальных параметров систем массового обслуживания.

     Оптимизационные модели широко используются в экономике  и технике. Среди них задачи подбора сбалансированного рациона питания, оптимизации ассортимента продукции, транспортная задача и пр., и пр.

     Задача  оптимизации – задача выбора из множества возможных вариантов наилучшего, оптимального. Оптимизация – от латинского слова «оптимус» - наилучший – поиск наилучшего, поиск наилучшего проектного изделия.

     Каждая  задача оптимизации обязательно  должна иметь три компоненты:

     неизвестные (что ищем, то есть, план);

     ограничение на неизвестные (область поиска);

     целевая функция (цель, для которой ищем экстремум).

     Математическая  модель, та которая определена с  помощью математических формализмов. Математическая модель не является точной, а является идеализацией.

     Определение параметров состояния - задача моделирования. Определение переменных проектирования – задачи проектирования или задачи оптимизации.

     Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей.

     Функционирование  любой системы массового обслуживания можно представить через все  возможные состояния ее и интенсивность  перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности ее состояния, то есть возможности наличия n требований в системе - Р_n.

     Важным  параметром функционирования СМО является также среднее число требований, находящихся в системе N_syst, то есть в очереди на обслуживание, а также средняя длина очереди N_och. Исходными параметрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются: число каналов обслуживания - n; число требований - m; интенсивность поступления одного требования на обслуживание - λ, то есть число поступлений требований в единицу времени; интенсивность обслуживания требований - μ.

     Цель  данной работы заключается в разработке модели, имитирующей работу поста  ГИБДД. Такая задача была поставлена для того, чтобы выявить эффективность  работы системы обслуживания поста  ГИБДД для дальнейшей ее оптимизации.

     В данной работе предлагается к использованию  одна из методик, которая предполагает разделение процесса моделирования на две части. Первая часть –обеспечивает нахождение параметров работы исходной задачи. Вторая часть – производится оптимизация определенных параметров при неизменных остальных параметров в таблицах MS Excel. Строятся графики функций. Производится их анализ и делаются выводы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Постановка  задачи.

 

     На  шоссе проверяет скорость пост ГИБДД. На посту в течении дня работает 5 инспекторов. Рабочий день инспектора равен 10 часам. Режим работы – раз в трое суток. Затраты на одного инспектора равны 35000рублей в месяц (зарплата, налоги, спецобмундирование и др.). Инспектор оформляет протокол примерно за 12 минут. В течение часа скоростной режим нарушают в среднем 35 водителей. Инспекторы останавливают машину, если ожидают оформления не более четырех машин. Средний размер штрафа равен 250 рублям.

     Определить  параметры работы системы. Найти  процент оштрафованных нарушителей. Каково среднее время, которое тратит водитель в ожидании оформления протокола? Сколько, в среднем, машин ожидает оформления? Какова средняя сумма от штрафов за месяц? Каковы месячные затраты на пост ДПС? Определить «прибыль» поста за месяц. (Ознакомительная задача).

     Определить  оптимальное (с точки зрения прибыли) число инспекторов на посту при  сохранении остальных условий задачи.

     Имеется возможность арендовать оборудование, позволяющее ускорить процесс оформления протокола. Стоимость аренды оборудования для одного инспектора линейно зависит от его эффективности и изображения на графике. Максимально возможная скорость – 10 протоколов в час. Определить оптимальные затраты на оборудование при неизменных остальных условиях задачи (число инспекторов равно пяти) и при числе инспекторов, полученных в п. 2. Определить параметры работы системы при этих затратах. 

     

Рис. 1. 

     Провести  оптимизацию по двум параметрам: числу  инспекторов и затратам на ускоряющее оборудование. Определить параметры работы системы при паре оптимальных параметров. Сравнить с оптимизацией по каждому отдельному параметру. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Математическая  модель.

 

      Модель 3 (системы с ограничением на длину  очереди).

      На  СМО, состоящую из n приборов, поступает пуассоновский поток требований интенсивностью a. Каждое вновь поступившее требование, застав все приборы занятыми, становится в очередь, тогда и только тогда, когда в ней находится менее m требований, иначе теряется. Время обслуживания каждого требования случайное, распределено по экспоненциальному закону с интенсивностью обслуживания b. В любой момент времени каждый прибор может обслуживать не более одного требования. Требуется проанализировать эффективность функционирования такой СМО.

      Обозначим через  - вероятность того, что в СМО находится k требований (состояние ) .

      Запишем функционирование СМО в виде размеченного графа состояний:

      

      Для стационарного режима, на основании  метода декомпозиции, получаем однородную систему алгебраических уравнений:

       ,

       , ,

       ,

       .

      Для того, чтобы решение системы было единственным, добавим условие нормировки, являющееся следствием модели:

      

.

      Исходя  из найденных значений вероятностей , имеем следующие показатели эффективности функционирования СМО:

1. - вероятность того, что СМО свободна:

;

2. - вероятность того, что из n приборов занято обслуживанием k приборов:

, ;

3. - вероятность того, что все приборы заняты обслуживанием и s требований находятся в очереди:

, ;

4. - вероятность отказа требованию в обслуживании:

;

5. - среднее число требований, занятых обслуживанием:

;

6. - среднее число свободных приборов:

;

7. - коэффициент загрузки приборов:

;

8. - коэффициент простоя приборов: