Производственная функция Кобба-Дугласа

Рис. 2. Динамика долгосрочных средних издержек 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Эластичность функции  (спроса). 

    Эластичностью  называется относительное  приращение  к относительному приращению  

α+β=1

c-const. 
 
 
 

E= 
 
 

      Если  процесс описан функцией Кобба-Дугласа, то она постоянна и  равна  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      5. Экономический анализ функции 

     Как уже было сказано, производственная функция отражает функциональную связь  между объёмом эффективно используемых факторов производства (трудом и имущественным  капиталом) и с их помощью достигаемым  выпуском при существующем техническом  и организационном знании.

     При субституционной производственной функции производство может быть увеличено за счёт повышения количественной характеристики одного из факторов, в  то время как количественная характеристика другого фактора остаётся без  изменения, в другом варианте же производство остаётся без изменения при различных  количественных комбинациях факторов труда и имущественного капитала.

     Субстиционная производственная функция имеет  в общем следующее выражение:

     

     где:

     K – число производственного капитала

     L – число производственных трудовых часов или, другими словами, число производственных единиц гуманного капитала

     На  основе условно введённой субстиционности  факторов производства можно сделать  следующие два вывода относительно функциональной взаимосвязи данных факторов:

     При прочих равных увеличение одного из факторов производства ведёт к увеличению выпуска – первая производная  положительна.

     Однако  предельная производительность возрастающего  фактора уменьшается с увеличением  величины данного фактора – вторая производная отрицательна.

     Уровень организационных и технических  знаний отображается в соответствующих  формах взаимодействий факторов. В  рассматриваемом случае уровень  знаний постоянен, т.е. в данных рамках предполагается отсутствие технического прогресса. Таким образом, субстиционная  функция производства может быть представлена в виде следующего изображения, отражающего взаимосвязь между  количеством труда и выпуском при заданном количестве имущественного капитала (рисунок 3

     ):

Рисунок 3. Связь между производством и производственным трудом

     Каждое  увеличение количественного параметра  имущественного капитала означает смещение кривой вверх и одновременного увеличения предельной производительности труда  при заданном количестве рабочей  силы, т.е. на основе вытекающего непосредственно  из описанного вывода означает и более  высокую величину выпуска при  увеличении производственного фактора  «труд»: кривая OK₁ на рисунке показывает более крутой наклон по сравнению с кривой OK₀ при любом числе занятых трудом.

     С увеличением количественного параметра  имущественного капитала увеличивается  и средняя производительности труда, которая является частным от деления  величины выпуска на величину затраченного труда. Однако при этом уменьшается  коэффициент труда, определяющий среднее  количество затраченного труда на каждую единицу выпуска и являющийся таким образом обратной величиной  средней производительности труда.

     Величина  имущественного капитала принимается  в рамках данного кратковременного анализа как экзогенно заданная, поэтому в модели и описании не учитывается технический прогресс, а также эффект увеличения производственных мощностей за счёт инвестиций.

     В 1927 г. Пол Дуглас обнаружил, что если совместить графики зависимости от времени логарифмов показателей реального объема выпуска (y), капитальных затрат (К) и затрат труда (L), то расстояния от точек графика показателей выпуска до точек графиков показателей затрат труда и капитала будут составлять постоянную пропорцию. Затем он обратился к Чарльзу Коббу с просьбой найти математическую зависимость, обладающую такой особенностью, и Кобб предложил следующую субституционную функцию:

     Эта функция была предложена примерно 30 годами раньше Филипом Уикстидом (Wicksteed), но они были первыми, кто использовал  для ее построения эмпирические данные.

     Однако  при больших значениях K и L эта функция не имеет экономического смысла, т.к. выпуск все время возрастает при возрастании затрат.

     Кинетическая  функция  (где g - норма технического прогресса за единицу времени) получена умножением функции Кобба-Дугласа на e^g, что снимает данную проблему и делает функцию Кобба-Дугласа экономически интересной.

     Эластичность  выпуска продукции по капиталу и  труду равна соответственно a и b, так как

     

,

     и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

     Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции  на a процентов, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на b процентов. Можно предположить, что обе величины a и b находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время, вероятно, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными.

     Если a и b в сумме превышают единицу, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства (это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции). Если их сумма равна единице, то это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L). Если их сумма меньше, чем единица, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства (y увеличивается в меньшей пропорции, чем К и L).

     В соответствии с допущением о конкурентности рынков факторов производства  и b имеют дальнейшую интерпретацию как прогнозируемые доли дохода, полученного соответственно за счет капитала и труда. Если рынок труда имеет конкурентный характер, то ставка заработной платы (w) будет равна предельному продукту труда (dy/dL):

     

.

     Следовательно, общая сумма заработной платы (wL) будет равна by, а доля труда в общем выпуске продукции (wL/Y) составит постоянную величину b. Аналогичным образом норма прибыли выражается через dy/dK:

     

,

     и, следовательно, общая прибыль (rК) будет равна ay, а доля прибыли будет постоянной величиной a.

     Существует  ряд проблем по применению такой  функции, особенно в тех случаях, когда она используется для экономики  в целом. В частности, даже в тех  случаях, когда между выпуском продукции, производственным оборудованием и  трудом в производственном процессе существует технологическая зависимость, то совершенно необязательно, что подобная зависимость существует тогда, когда  указанные факторы комбинируются в масштабах экономики в целом. Во-вторых, даже если такая зависимость для экономики в целом существует, то нет никаких оснований считать, что она будет иметь простую форму.

     При построении производственной функции  Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

     1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования

     2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(y_i), (i=1…N; N – количество наблюдений) и соответствующими оценками .

     

     3) Введем векторы

      ;   ;

      ; 

     и матрицу  

     Тогда критерий можно записать в виде

     

.

     Дифференцируя SSD по вектору Х и приравнивая  производную к нулю систему уравнений  МНК

     

     или

     

.

     4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов

     

,

     где c_ii – элементы главной диагонали матрицы .

     s² – дисперсия погрешности измерений.

     Оценка s² определяется по формуле

     

     Рассчитывается  значение t – параметра

     

     Если  полученное значение t больше, чем табличное t_a при (N-3-1) степеней свободы, тогда X_i существенно отлично от нуля при уровне a.

     Доверительные границы для  определяются по формуле

     

     Тогда вероятность того, что величина X_i действительно находится в этих пределах, составит 1–a.

     5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:

     

,