ВЯТСКИЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ 

Факультет информационных технологий 

Кафедра информатики и вычислительной техники 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Производственная  функция Кобба-Дугласа

Курсовая  работа

 
 

                                                 Дисциплина: Математическая экономика

               Группа: ИО-31

         Разработал студент:  Чучалин Н.А

        Руководитель : Здоровенко М. Ю. 
 
 
 
 
 
 

Дата  сдачи курсовой работы: <___> ______________2010 г.

Дата  защиты:<___>______________2010 г.

Оценка:_____________ 
 
 
 
 
 

Киров. 2010 
 
 

      Содержание 

      Введение                                                                   

      1.   Производственная  функция. Основные понятия          4                        

      2. Закон убывающей отдачи                                                8 

      3. Эффект масштаба                                                             10

       

      4. Эластичность                                                                    12     

      5.  Экономический анализ функции                                    13                    
 
 
 

      Приложения 

      Блок-схема                                                                             20            

      Листинг программы                                                              21         

       

      Заключение                                                                            24           

          Список использованных источников                                  25       

           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 

     Функция Кобба-Дугласа находит широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

 

     Цель  работы:

     Изучить производственную функцию Кобба-Дугласа .

     Задачи  работы:

1. Дать определение производственной функции Кобба-Дугласа.
2. Рассмотреть Закон убывающей отдачи.
3. Рассмотреть Эффект масштаба.
4. Изучить эластичность функции.
5. Рассмотреть экономический анализ функции.
6. Написать и отладить программу, которая находит оптимум               фирмы в условиях совершенной конкуренции .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Производственная  функция. Основные  понятия. 

      Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов.  Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта.

      В эконометрических исследованиях часто  применяют производственную функцию, имеющую постоянные эластичности производственных факторов.

    Наиболее  простой является двухфакторная  модель производственной функции Кобба  – Дугласа, с помощью которой  раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы  и взаимодополняемы.  Еще в 1928 году американские ученые — экономист  П. Дуглас и математик Ч. Кобб —  создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных  факторов производства в увеличении объема производства или национального  дохода. Эта функция имеет следующий  вид: 

Q=AK ^α*L ^β , 

где А – производственный коэффициент, показывающий пропорциональность всех функций и изменяется при изменении базовой технологии (через 30-40 лет);

K, L- капитал и  труд;

α,β -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.Если α = 0,25, то рост затрат капитала на 1% увеличивает объем производства на 0,25%.

На основе анализа  коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно  выделить:

1)     пропорционально возрастающую производственную функцию, когда

α+ β=1 (

); 

2)  непропорционально – возрастающую  

);

3) убывающую  

. 

Для случая двух факторов, K (капитал, основные фонды) и L (труд, трудозатраты)   функция   Кобба-Дугласа в логарифмических координатах линейна, т.е. имеет вид

;

Переходя к  переменным K,L получаем: 

где  - постоянные эластичности выпуска по капиталу и труду,  -масштабирующая постоянная.  

      Если выпуск продукции при увеличении всех факторов в одинаковой степени увеличивается в такой же степени, т.е 

  то и функция   Кобба-Дугласа принимает вид:  

Определим предельную норму замещения для  функции   Кобба-Дугласа . Легко проверить, что  предельная норма замещения капитала трудом 
 
 
 
 

где K/L = F - фондовооруженность производства.  

Введя переменные F и , получим, что 

или                                              ;

откуда 

т.е. эластичность предельной нормы замещения труда капиталом по фондовооруженности для производственной   функции   Кобба-Дугласа равна единице.  

Вместе с тем  обработка эмпирической экономической  статистики показывает, что эта величина может быть и не равна единице. В качестве простейшего обобщения  функции   Кобба-Дугласа  можно предположить, что: 

+const;

где  const - некоторая константа. При этом 

Решая это дифференциальное уравнение, получаем  
 

Эта производственная функция сокращенно называется CES-функция -производственная функция с постоянной эластичностью предельной нормы замещения.  

Предельная норма  замещения для функции CES определяется следующей формулой: 

Таким образом, она зависит как от K и L, так и от  и 1- . Выписав частные производные R по K и L, получаем: 
 
 

а эластичность замещения можно записать следующим  образом:  

Таким образом  параметр  R характеризует эластичность замещения и вместе с тем  не зависит от значений Q,K,L. Этим и объясняется название функции - ''производственная функция с постоянной эластичностью замещения''. При увеличении затрат K и L в раз объем выпускаемой продукции изменится следующим образом: 

= 

Таким образом, представляет собой параметр, который характеризует поведение эффективности производства. Как и в случае  производственной   функции   Кобба-Дугласа , поведение эффективности определяется выбором значений параметров и не зависит от величин K и L.

2. Закон убывающей отдачи

 

В краткосрочном  периоде действует закон убывающей  предельной производительности.  Закон  убывающей предельной производительности действует в краткосрочном временном  интервале, когда один производственный фактор остается неизменным. Действие закона предполагает неизменное состояние  техники и технологии производства, если в производственном процессе будут  применены новейшие изобретения  и другие технические усовершенствования, то рост объема выпуска может быть достигнут при использовании  тех же самых производственных факторов. То есть технический прогресс может  изменить границы действия закона.

Если капитал  является фиксированным фактором, а  труд – переменным, то фирма может  увеличить производство за счет использования  большего количества трудовых ресурсов. Но по закону убывающей предельной производительности, последовательное увеличение переменного ресурса при неизменности других ведет к убывающей отдаче данного фактора, то есть к снижению предельного продукта или предельной производительности труда. Если же наем рабочих будет продолжаться, то в конечном итоге, они будут мешать друг другу (предельная производительность станет отрицательной) и объем выпуска сократится.

Предельная производительность труда (предельный продукт труда  – MP_L) – это прирост объема производства от каждой последующей единицы труда  

, 

т.е. прирост  производительности к совокупному  продукту (TP_L) 

. 

Аналогично определяется предельный продукт капитала MP_K.

Основываясь на законе убывающей производительности, проанализируем взаимосвязь общего (TP_L), среднего (АP_L) и предельного продуктов (MP_L) .

    В движении кривой общего продукта (ТР) можно выделить три этапа. На этапе 1 она поднимается вверх ускоряющимися темпами, так как предельность продукта (MP) возрастает (каждый новый рабочий приносит больше продукции, чем предыдущий) и достигает максимума в точке А, то есть скорость роста функции максимальна. После точки А (этап 2) в силу действия закона убывающей отдачи, кривая MP падает, то есть каждый нанятый рабочий дает меньшее приращение общего продукта по сравнению с предшествующим, поэтому темп роста ТР после ТС замедляется. Но пока МР будет положительным, ТР будет все равно увеличиваться и достигнет максимума при МР=0.

На 3 этапе, когда  количество рабочих становится избыточным по отношению к фиксированному капиталу (станки), МР приобретает отрицательное  значение, поэтому ТР начинает снижаться. Конфигурация кривой среднего продукта АР также обусловлена динамикой  кривой МР. На 1 этапе обе кривые растут, пока приращение объема выпуска от вновь нанятых рабочих будет  большим, чем средняя производительность (АР_L) ранее нанятых рабочих. Но после точки А (max MP), когда четвертый рабочий добавляет к совокупному продукту (ТР) меньше чем третий, МР уменьшается, поэтому средняя выработка четырех рабочих также сокращается.

3. Эффект масштаба

 
 
 

1. Проявляется в изменении долговременных средних издержек производства (LATC).

2. Кривая LATC является огибающей минимальных краткосрочных средних затрат фирмы на единицу продукции (рис. 1).

3. Долгосрочный период в деятельности фирмы характеризуется изменением количества всех используемых производственных факторов.

 
Рис. 1. Кривая долгосрочных и средних издержек фирмы 

Реакция LATC на изменение  параметров (масштаба) фирмы может быть различной (рис. 2).