Производственная функция и построение изокванта. предельная норма технологического замещения

Графически каждый способ производства может быть представлен точкой, координаты которой характеризуют минимально необходимые для производства данного объема выпуска количества ресурсов L и К, а производственная функция — линией равного выпуска, или изоквантой, подобно тому как в теории потребления кривая безразличия характеризует один и тот же уровень удовлетворения, или полезности различных комбинаций потребительских благ.

Таким образом, на карте выпуска каждая изокванта представляет множество минимально необходимых комбинаций производственных ресурсов или технически эффективных способов производства определенного объема продукции. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она представляет. При этом в отличие от кривых безразличия каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска. Так, на рис. 7.1 приведены три изокванты, соответствующие выпуску 100, 200 и 300 единиц продукции, так что мы можем сказать, что для выпуска 200 единиц продукции нам необходимо либо К единиц капитала и L единиц труда, либо К2 единиц капитала и L2 единиц труда, либо

какая-то другая их комбинация из множества, представленного изоквантой Qi = 200.

Наклон изоквант характеризует предельную норму технического замещения (МRTS; marginal rate of technical substitution — англ.) одного ресурса другим точно так же, как наклон кривой безразличия характеризует предельную норму замены одного блага другим (MRS).

Изокванты (как и кривые безразличия) могут иметь различную конфигурацию. Линейная изокванта (рис. 7.2,а) предполагает совершенную замещаемоеть производственных ресурсов, так что данный выпуск может быть получен с помощью либо только труда, либо только капитала, либо с использованием различных комбинаций того и другого ресурса при постоянной норме их замещения. Изокванта, представленная на рис. 7.2,6, характерна для случая жесткой дополняемости ресурсов. Известен лишь один метод производства данного продукта: труд и капитал комбинируются в единственно возможном соотношении, предельная норма замещения равна нулю. Такую изокванту

иногда называют изоквантой леонтьевского типа, по имени американского экономиста русского происхождения В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода затраты—выпуск, принесшего ему Нобелевскую премию по экономике.

На рис. 7.2,в показана ломаная изокванта, предполагающая наличие лишь нескольких методов производства (Р). При этом предельная норма технического замещения при движении вдоль такой изокванты сверху вниз направо убывает. Изокванта подобной конфигурации используется в линейном программировании — методе экономического анализа, разработанном двумя другими нобелевскими лауреатами — Т. Купмансом (1910-1985) и Л.В.Канторовичем (1912-1986).

Наконец, на рис. 7.2,г представлена изокванта, предполагающая возможность непрерывной, но не совершенной замещаемости ресурсов в определенных границах, за пределами которых замещение одного фактора другим технически невозможно (или неэффективно).

Многие специалисты, особенно инженеры, предприниматели, вообще те, кого у нас принято называть производственниками, считают ломаную изокванту наиболее реалистично представляющей производственные возможности большинства современных производств. Однако традиционная экономическая теория обычно оперирует гладкими изоквантами, подобными изображенной на рис. 7.2,г, поскольку их анализ не требует применения сложных математических методов. Кроме того, изокванты такого вида можно рассматривать как некую приближенную аппроксимацию ломаной изокванты. Увеличивая число методов производства и, следовательно, множество точек излома, мы можем (в пределе) представить ломаную изокванту в виде гладкой кривой.

Особенности анализа ломаной изокванты будут рассмотрены ниже. Пока же мы ограничимся анализом лишь гладких изоквант типа представленной на рис. 7.2,г. Конфигурация такой изокванты предполагает неограниченную делимость продукции и применяемых ресурсов и убывающую предельную норму технического замещения. Соответственно отображаемая ею производственная функция вида (7.1) предполагается непрерывной и дважды дифференцируемой.

Предельная норма технического замещения имеет, однако, тот недостаток, что она зависит от единиц, в которых измеряются объемы применяемых ресурсов. Этого недостатка нет у показателя эластичности замещения. Он показывает, на сколько процентов должно измениться отношение между количествами ресурсов, чтобы предельная норма замещения изменилась на 1 %. Эластичность замещения (<г) определяется как процентное изменение в предельной норме технического замещения:

Показатель эластичности замещения не зависит от единиц, в которых измеряются L и К, поскольку и числитель, и знаменатель правой части (7.3) представлены относительными величинами.

Еще одна характеристика производственной функции — интенсивность применения различных ресурсов в определенном производственном процессе.   Она определяется наклоном луча,

проведенного из начала координат до интересующей нас точки на изокванте. Так, на рис. 7.3 производственный способ Р более капиталоинтенсивен, чем способ Р2. Очевидно, что здесь

Верхняя часть изокванты включает капиталоинтенсивные, тогда как нижняя — трудоинтенсивные производственные методы.

Из: http://www.market-journal.com/mikroekonomika/53.html

Свойства изоквант.

1. Очевидно, что карта изоквант очень похожа на карту кривых безразличия. Однако в отличие

от кривых безразличия каждая изокванта представляет измеряемый и вполне определённый уровень выпуска. В этом смысле теория производства является в большей степени кардиналистской, чем теория потребления. Поэтому мы гораздо в большей степени будем

интересоваться формой изоквант и их взаимосвязью с производственной функцией, чем мы интересовались точной формой кривых безразличия.

2. Изокванты не пересекают друг друга. Предположим, что это не так и рассмотрим ситуацию, показанную на рисунке 5–3. Из рисунка получается, что фирма может производить разное количество выпуска 100 ед. и 150 ед., используя одну и ту же комбинацию факторов производства. В реальной жизни это в принципе возможно, если производство не всегда

осуществляется эффективно. Однако следует иметь в виду, что изокванты – это линии уровня производственной функции, а последняя, по определению, определяет максимально возможный уровень выпуска при данном количестве факторов производства. И не допускает неэффективного производственного процесса.

Следовательно, это свойство изоквант вытекает

из определения производственной функции: если мы можем из данной комбинации факторов производства «выжать» 150 ед., то мы не станем производить всего 100 ед., так как это не максимально возможный выпуск и поэтому не описывается производственной функцией. Тот факт, что производственная функция является монотонно возрастающей, обеспечивает

наличие у изоквант 3-го и 4-го свойства, а предположение о строгой квази-вогнутости производственной функции обеспечивает 5-е свойство (строгую выпуклость) изоквант.

3. Пусть производственная функция y= f(x1,x2) является монотонно возрастающей на всём интервале неотрицательных значений x, r тогда, чем дальше от начала координат (в северо-восточном направлении) расположена изокванта, тем более высокий уровень выпуска она представляет.

4. При монотонно возрастающей ПФ изокванты будут иметь отрицательный наклон.

следовательно, если мы увеличим затраты первого фактора при фиксированных затратах 2-го фактора, то выпуск возрастёт. А вдоль изокванты он постоянен. Значит, чтобы сохранить постоянный выпуск при увеличении затрат одного из факторов, затраты другого фактора нужно уменьшить.

5. Предположив строгую квази-вогнутость производственной функции, мы введём ещё одно свойство (самый частный случай) изоквант – их строгую выпуклость (см. рис 5–4).

Строгая выпуклость изокванты означает, что если вы можете произвести y единиц выпуска и при комбинации факторов (x1′,x2′) и при комбинации

(x1 ′′,x2 ′′), т.е. эти комбинации

принадлежат одной изокванте y (и это – разные комбинации            (x1′,x2′)≠(x1′′,x2′′)),

(5.23) тогда t·x′+(1−t)·x′′ >ў ∀t ∈(0,1).

Свойство строгой выпуклости называется также свойством уменьшающейся MRTS (при движении вправо по изокванте).

Пусть существует ПФ 1 2 y= f(x1,x2), тогда норма технологического замещения одного фактора производства другим показывает, на сколько единиц следует увеличить затраты второго фактора производства, если мы хотим уменьшить затраты первого фактора на 1 единицу, сохранив при этом неизменным объём выпуска.

При Δx →0 мы переходим к предельной норме технологического замещения

MRTS и предельная производительность факторов производства.

Предположим, что объём выпуска y является постоянной величиной, (т.е. все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте). Тогда первый полный дифференциал функции y= f(x1,x2) тождественно равен нулю:

(5.26)

Отсюда: 

(5,26)

(5,28)

Определение MRTS через соотношение предельных продуктов факторов производства наполняет это понятие экономическим смыслом в отличие от первого определения (5.25), которое раскрывает нам геометрический смысл MRTS как тангенса угла наклона касательной к изокванте. Обратите внимание, что изокванта имеет отрицательный наклон и

окажется отрицательной величиной. Но MRTS − положительная величина, потому что

так как MPi >0 из определения производственной функции как строго возрастающей. Поэтому, выражая MRTS через тангенс угла наклона (производную), мы домножаем это выражение на (–1):

(5,29) 

Строгая выпуклость изоквант тождественна тому, что значение MRTS уменьшается при движении вдоль изокванты слева направо. Это означает, что при более высоком соотношении MRTS является большим положительным числом. С другой стороны, когда в большом

количестве используется фактор 1, MRTS принимает мeньшие значения.

Математическое объяснение этого факта основывается на предпосылке о том, что производственная функция является строго квази-вогнутой. Гораздо бoльший интерес представляет экономическое значение убывания MRTS и реальность предпосылки о выпуклости изоквант. Выпуклость изоквант к началу координат демонстрирует тот факт, что факторы производства являются одновременно и взаимодополняющими и взаимозаменяемыми.

Это важно, так как характеризует гибкость технологий.

Экономическая причина уменьшения MRTS состоит в том, что в большинстве отраслей факторы производства не являются абсолютно взаимозаменяемыми: они и дополняют друг друга в производственном процессе. Каждый фактор может делать то, что не может сделать или может сделать хуже другой фактор производства. Кривизна изоквант отражает трудности, которые возникают при замене одного фактора другим в рамках данного объёма выпуска. Они различны для разных отраслей. Например, на фабрике

по производству стульев относительно просто заменить работу машин ручным трудом. Но это практически невозможно сделать в химической промышленности.

Виды производственных функций могут различаться в зависимости от характера технологии, которая описывается той или иной функцией. Мы рассмотрим 3 вида производственных функций. Первая – функция Кобба-Дугласа – отвечает всем предпосылкам анализа производства введённым в §1 данной главы. Для двух других – линейной производственной

функции и функции Леонтьева – некоторые из стандартных предпосылок не выполняются. Таким образом, мы частично выйдем за рамки нашей традиционной модели производства.

Производственная функция Кобба-Дугласа:

(5.34) 

Изокванты для этой функции имеют нормальную выпуклую форму.

Отдача от масштаба:

Следовательно, если α +β <1, то наблюдается убывающая отдача от масштаба; если α + β =1,

то существует постоянная отдача то масштаба; если α + β >1, то возрастающая отдача от масштаба характеризует данную технологию. Тем самым раскрывается экономический смысл степенных коэффициентов: в сумме степенные коэффициенты показывают степень однородности производственной функции Кобба-Дугласа, а значит, и характер отдачи от

масштаба.

Линейная производственная функция:

(5,36)  где a >0 и b>0

Определим наклон изокванта:

(5,37) ax1+bx2 =const

(5.38) bx2=const – ax1

(5.39)

Изокванты представлены на рис. 5-6. Легко показать, что данная ПФ имеет постоянную отдачу от маштаба:

∀m > 0

(5,40)  f(mx1,mx2) = a·mx + b ·mx2 = m(ax1+bx2)= m·f(x1,x2)

Технология имеет постоянную отдачу от масштаба, так как производственная функция является однородной первой степени. Поскольку изокванты для ПФ представляют собой прямые линии, то

(5,41)  

и изменение MRTS равно 0 для любой точки изокванты. Отсюда очевиден экономический смысл ЛПФ: эта функция описывает технологию, характеризующуюся тем, что факторы производства, использующиеся в производственном процессе, являются абсолютно взаимозаменяемыми, т.е. менеджеру всё равно, использовать только труд или только капитал.

Понятно, что в реальной жизни такая ситуация едва ли возможна, потому что машины всё равно управляются людьми.

Коэффициенты a и b показывают пропорции, в которых один фактор может быть заменён другим. Если, например, a=b=1, то это значит, что 1 час труда может быть заменён 1 часом машинного времени. Если a=2,b=1, то

(5,42)  

и мы можем использовать либо 1 ед. первого фактора, либо 2 ед. второго фактора для того, чтобы произвести один и тот же объём выпуска. Это означает, что фирме нужно 2 ед. второго

фактора производства, чтобы заменить 1 ед. первого фактора. Значит, 1-й фактор является в 2 раза более производительным, чем 2-й фактор.

Производственная функция Василия Леонтьева описывает технологию с жестко фиксированными пропорциями использования факторов производства: