Непараметрические методы

Пусть объемы выборок достаточно велики, так что можно пользоваться асимптотической нормальностью  статистики Вилкоксона. Тогда в соответствии с формулами (1) статистика T будет  асимптотически нормальна с параметрами

М(T) = (12mn) 1/2 (1/2 - a) (m+n+1) - 1/2 ,

D (T) = 12 [(n - 1) b2 + (m - 1) g2 + a (1 -a)] (m+n+1) - 1. (5)

  Из формул (5) видно большое значение гипотезы

H01: a = P(X < Y) = 1/2 . (6)

Если эта гипотеза неверна, то, поскольку m < n, справедлива оценка

|M(T)| > (12m n (2n+1) - 1) 1/2 |1/2 - a| ,

а потому |E(T)| безгранично  растет при росте объемов выборок. В то же время, поскольку

то 

D(T) < 12 [(n - 1) + (m - 1) + 1/4] (m+n+1) - 1 <12. (7)

Следовательно, вероятность  отклонения гипотезы H01 , когда она неверна, т.е. мощность критерия Вилкоксона как критерия проверки гипотезы (6), стремится к 1 при возрастании объемов выборок, т.е. критерий Вилкоксона является состоятельным для этой гипотезы при альтернативе

АH01: a = P(X < Y) 1/2 . (8) .

Если же гипотеза (6) верна, то статистика T асимптотически нормальна  с математическим ожиданием 0 и дисперсией, определяемой формулой

D(T) = 12 [(n - 1) b2 + (m - 1) g2 + 1/4] (m+n+1) ^-1 . (9)

Гипотеза (6) является сложной, дисперсия (9), как показывают приводимые ниже примеры, в зависимости от значений b2 и g2 может быть как больше 1, так и меньше 1, но согласно неравенству (7) никогда не превосходит 12.

Приведем пример двух функций  распределения F(x) и G(x) таких, что гипотеза (6) выполнена, а гипотеза (2) - нет. Поскольку

a = P(X < Y) = , 1 - a = P(Y < X) = (10)

и a = 1/2 в случае справедливости гипотезы (2), то для выполнения условия (6) необходимо и достаточно, чтобы

(11) ,

а потому естественно в  качестве F(x) рассмотреть функцию равномерного распределения на интервале (-1; 1). Тогда формула (11) переходит в условие

 (11) .

Это условие выполняется, если функция (G(x) - (x + 1)/2) является нечетной.

 

3. Выявление различий в распределении признака. Критерий c² Пирсона

Области применения этого  критерия многообразны; мы ограничимся  двумя, наиболее часто встречающимися на практике применениями. Первая –  это сопоставление эмпирического распределения признака с теоретическим (нормальным, равномерным или иным). Вторая цель – сопоставление двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака.

Критерий c² Пирсона отвечает на вопрос, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределении или в двух и более эмпирических распределениях.

Большим преимуществом этого  метода является то, что он применим для сопоставления распределений  признаков, представленных в любой  шкале, даже в шкале наименований.

Если признак измеряется количественно и данных очень  много, приходится объединять данные в  несколько разрядов, как это принято  в математической статистике. После  этого сопоставляются частоты разрядов признака.

При сопоставлении эмпирического  и теоретического распределений  признака находится степень расхождения  между эмпирическими и теоретическими частотами признака. При сопоставлении  двух эмпирических распределений определяется степень расхождения между эмпирическими  частотами и теоретическими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения этих двух распределений. Формулы  расчета теоретических частот будут  даны ниже для каждого из этих вариантов  сопоставления.

Расчет  критерия c² Пирсона.

1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).
2. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).
3. Вычислить разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.
4. Определить число степеней свободы по формуле n = к-1, где к – количество разрядов признака. Если n =1, внести поправку на непрерывность, заменив f_эмп – f_теор на ½f_эмп – f_теор ½ – 0,5.
5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.
6. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.
7. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как c²_эмп.
8. Определить по таблице критическое значение c²_кр для вычисленного n. Если c²_эмп<c²_кр, то расхождения между распределениями статистически недостоверны. Если c²_{эмп ³} c²_кр, то расхождения между распределениями статистически достоверны.

Пример. В группе 32 студента. В результате контрольной работы по математике 6 студентов получили 5 баллов, 6 студентов получили 4 балла, 16 студентов получили 3 балла и 4 студента получили 2 балла. Можно ли считать, что мы имеем дело с группой «троечников»?

Решение. Отнесем к первому разряду тех студентов, которые получили 5 баллов (6 человек), ко второму разряду – 4 балла (6 человек), к третьему – 3 балла (16 человек) и к четвертому – тех, кто получил 2 балла (4 человека). Третий разряд получился самым многочисленным. Если бы в каждом разряде было примерно одинаковое количество человек, то распределение оценок, полученных студентами, было бы равномерным. Сформулируем гипотезы:

Н₀: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение оценок, полученных студентами по контрольной работе, статистически достоверно отличается от равномерного распределения.

Вычислим теоретическую  частоту по формуле: f_теор = n/k, где n – количество наблюдений, k – количество разрядов признака.

В нашем случае: f_теор = 32/4 = 8. Теперь будем сравнивать с этой частотой все эмпирические частоты. Согласно алгоритму составим таблицу и все вычисления выполним в ней.

 

Разряды (количество баллов)	Эмпирические частоты  fj	Теоретическая частота fт	fj – fт	(fj – fт)2	(fj – fт)2/fт
1 (5 баллов) 2 (4 балла) 3 (3 балла) 4 (2 балла)	6 6 16 4	8 8 8 8	-2 -2 8 -4	4 4 64 16	0.5 0.5 8 2
Суммы	32	32	0		11

 

Следует обратить внимание на то, что сумма  разностей частот в третьем столбце таблицы должна быть равна нулю.

Вычислим число степеней свободы n = к-1 = 4-1 = 3 (к – количество разрядов признака). Найдем по таблице критические значения: c²_кр = 7.815 для a = 0.05, c²_кр = 11.345 для a = 0.01. В соответствии с правилом принятия решения гипотезу Н₀ следует отвергнуть, то есть распределение полученных оценок отличается от равномерного, но так как c²_эмп < 11.345, статистически достоверно утверждать, что перед нами – группа «троечников» мы не можем. Следует заметить, что для 4 разряда не выполнено ограничение 2. Студентам предоставим возможность решить эту задачу самостоятельно, рассмотрев два варианта: либо объединить 4 разряд с «троечниками», изменив соответствующим образом гипотезы, либо исключить этот разряд из рассмотрения

4. Выявление степени согласованности изменений. r_s — коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:

1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;

2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков (например, личностные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.);

3) две групповые иерархии признаков;

4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.

Вначале показатели ранжируются  отдельно по каждому из признаков. Как  правило, меньшему значению признака начисляется  меньший ранг.

Рассмотрим случай 1 (два признака). Здесь ранжируются индивидуальные значения по первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.

Если два признака связаны  положительно, то испытуемые, имеющие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по одному из признаков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги. Для подсчета r_s необходимо определить разности (d) между рангами, полученными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем меньше разности между рангами, тем больше будет r_s, тем ближе он будет к +1.

Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны и между ними не будет никакого соответствия. Формула составлена так, что в этом случае r_s, окажется близким к 0.

В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот.

Чем больше несовпадение между  рангами испытуемых по двумя переменным, тем ближе r_s к -1.

Рассмотрим случай 2 (два индивидуальных профиля). Здесь ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг - признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. Например, невозможно проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF), если они выражены в "сырых" баллах, поскольку по разным факторам диапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до 20 и от 0 до 26. Мы не можем сказать, какой из факторов будет занимать первое место по выраженности, пока не приведем все значения к единой шкале (чаще всего это шкала стенов).

Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны положительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот. Например, если у одного испытуемого фактор Е (доминантность) имеет самый низкий ранг, то и у другого испытуемого он должен иметь низкий ранг, если у одного испытуемого фактор С (эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другой испытуемый должен иметь по этому фактору высокий ранг и т.д.

Рассмотрим случай 3 (два групповых профиля). Здесь ранжируются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.

Рассмотрим случай 4 (индивидуальный и групповой профили). Здесь ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого и среднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые получены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого - он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.

Во всех четырех случаях  значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N. В первом случае это количество будет совпадать с объемом выборки п. Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. В третьем и четвертом случае N - это также количество сопоставляемых признаков, а не количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах.

Если абсолютная величина r_s достигает критического значения или превышает его, корреляция достоверна.

Пример 1 - корреляция между двумя признаками

В исследовании, моделирующем деятельность авиадиспетчера¹, группа испытуемых, студентов физического факультета ЛГУ проходила подготовку перед началом работы на тренажере. Испытуемые должны были решать задачи по выбору оптимального типа взлетно-посадочной полосы для заданного типа самолета. Связано ли количество ошибок, допущенных испытуемыми в тренировочной сессии, с показателями вербального и невербального интеллекта, измеренными по методике Д. Векслера?

Показатели количества ошибок в тренировочной сессии и показатели уровня вербального и невербального  интеллекта у студентов-физиков (N=10)

 

 

 

 

 

Испытуемый		Количество ошибок	Показатель вербального  интеллекта	Показатель невербального  интеллекта
1	Т.А.	29	131	106
2	П.А.	54	132	90
3	Ч.И.	13	121	95
4	Ц.А.	8	127	116
5	См.А.	14	136	. 127
6	К.Е.	26	124	107
7	К.А.	9	134	104
8	Б.Л.	20	136	102
9	И.А.	2	132	111
10	Ф.В.	17	136	99
Суммы		192	1309	1057
Средние		19,2	130,9	105,7