Модель Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза.

 

1. Описание модели ценообразования  опционов Блэка-Шоулза.

2. Допущения в модели  Блэка-Шоулза

3. Оценка риска в операциях  с опционами. 

 

1. Описание модели ценообразования  опционов Блэка-Шоулза.

 В октябре 1997 года  Нобелевская премия по экономике  была присуждена Роберту Мертону  (Robert Merton) и Майрону Шоулзу (Myron Scholes). Комитет по назначению лауреатов  выдвинул для присуждения премии  еще одного ученого, Фишера  Блэка (Fisher Black), но его преждевременная  смерть в 1995г. в возрасте 57 лет  помешала ему разделить эту  честь. Эти три человека считаются  создателями математической формулы  для вычисления стоимости опционов  и других производных иструментов,  которая оказала огромное влияние  на развитие теории и практики  финансов. Эта формула сегодня  широко известна как формула  Блэка-Шоулза (Black-Scholes option pricing formula).

 

 Открытие данной формулы  привело к повышенному интересу  к производным инструментам и  взрывному росту опционной торговли. Опубликование формулы Блэка-Шоулза  в 1973г. позволило отойти от  субъективно-интуитивных оценок  при определении цены опционов  и подвести под него теоретическую  базу, применимую и к другим  производным инструментам. Для начала 70-х сама идея использовать  математический подход для оценки  производных инструментов была  революционна.

 

 Современное управление  рисками, применяемое в страховании,  торговле на фондовом рынке  и инвестировании, основывается  на возможности использовать  математические методы для предсказания  будущего. Конечно, не со 100%-ной  вероятностью, но достаточно точно  для того, чтобы принять взвешенное  инвестиционное решение. Основополагающий  принцип работы на финансовых  рынках состоит в следующем:  чем больший риск вы готовы  на себя принять, тем на большее  вознаграждение вы вправе рассчитывать. Использование математики никогда  не сможет полностью элиминировать  риск, но может помочь правильно  оценить степень принимаемого  на себя риска и решить вопрос  о справедливом вознаграждении.

 

 Что же представляет  собой модель Блэка-Шоулза, и как  она работает?

 

Опцион рассматривается  как функция следующих элементов:

 

• Цена базового актива и  цена страйк (цена исполнения). Наиболее важный фактор, влияющий на цену опциона - соотношение между ценой лежащего в основе опциона актива и ценой  страйк. Это соотношение определяет статус опциона ("в деньгах" или "вне денег") и внутреннюю стоимость  опциона (величина, на которую цена базового актива выше или ниже цены страйк для опционов колл и пут  соответственно).

 

• Время, остающееся до даты истечения опциона. Время работает против покупателя опционов, так как  цена опционов вне денег снижается  ускоренными темпами с приближением даты их истечения. Этот эффект называется "разрушение временем" (time decay). Больший  срок, остающийся до окончания срока  действия опциона, означает большую  неопределенность.

 

 • Степень колебаний  (волатильность). Этот показатель  отражает подверженность базового  актива ценовым колебаниям. Величина  премии по опционам в деньгах  прямо пропорциональна ожидаемой  ценовой неустойчивости базового  актива.

 

• Дивиденды. Повышенные дивиденды  сокращают цену опционов колл и увеличивают  цену опционов пут, потому что выплата  дивидендов сокращает цену лежащих  в основе опциона акций на сумму  дивиденда. Дивиденды увеличивают  привлекательность покупки и  держания акций по сравнению с  покупкой опционов колл и хранением  резервов наличности. И обратно, продавцы в короткую должны учитывать выплату  дивидендов, поэтому покупка опционов пут выглядит более предпочтительной, чем короткая продажа акций.

 

 • Уровень процентных  ставок. Растущие процентные ставки  увеличивают форвардную цену  базовых акций, которая рассчитывается  как цена акции плюс ставка  по безрисковым активам на  период действия опциона. Форвардная  цена в модели понимается как  стоимость акции на дату истечения  опциона. 

 

 Основная привлекательность  опционов для покупателя объясняется  тем, что ему заранее известен  максимально возможный размер  убытков - это величина премии, уплаченной за опцион, тогда как  потенциальная прибыль теоретически  неограниченна - в случае значительного  роста цены базовых акций в  период действия опциона, покупатель  может рассчитывать на высокую  прибыль. Особенно привлекательны  опционы на акции, рынок которых  отличается резкими и сильными  ценовыми колебаниями, например, акции компаний, производящих компьютерное  оборудование и программное обеспечение.  Многие нынешние миллионеры из  Силиконовой долины заработали  свое состояние в результате  того, что реализовали полученные  как часть вознаграждения опционы  на акции своих молодых и  динамично растущих компаний.

 

 Вернемся к истории  выведения формулы. Опционная  торговля только-только получила  развитие (Чикагская биржа опционов  была открыта в апреле 1973г., за  месяц до первого опубликования  работы Блэка-Шоулза), и возможность определения справедливой цены опционов с помощью математических методов рассматривалась как иллюзорная. Сначала эффективность и работоспособность предложенной модели ценообразования опционов вызывала сомнения даже у самых именитых трейдеров. Но математика оказалась применима, причем сложная математика, использующая такой непростой метод, как стохастические дифференциальные уравнения.

 

 Формула Блэка-Шоулза  не только заработала, она привела  к трансформации всего рынка.  Когда в 1973г. открылась Чикагская  биржа опционов, в первый день  ее работы торговалось менее  1000 опционов, а уже к 1995г. объем  ежедневной торговли превысил 1 миллион  опционов. Роль, которую сыграла  модель Блэка-Шоулза в развитии  рынка опционов, была так велика, что, когда на американском  фондовом рынке в 1978г. произошел  крах, влиятельный деловой журнал Forbes напрямую возложил ответственность  за него на математическую  формулу. Шоулз на это обвинение  ответил, что не формулу нужно  винить, а участников рынка, которые  еще не достигли необходимого  уровня знаний и подготовки  для ее применения.

 

 История выведения  формулы началась с того, что  Фишер Блэк приступил к разработке  модели оценки для варрантов.  Он решил использовать расчет  производной для измерения того, как меняется дисконтная ставка  варранта с течением времени  и в зависимости от движения  цены. Выведенная формула очень  напоминала хорошо известное  уравнение теплообмена. После  этого открытия к Блэку присоединился  Майрон Шоулз, и результатом  их совместной работы стала  модель ценообразования для опционов. Фактически, их модель стала улучшенной версией предыдущей формулы, описанной Джеймсом Бонессом (A. James Boness) в своей докторской диссертации. Коррективы, внесенные Блэком и Шоулзом, относились к доказательству, что процентная ставка по безрисковым активам является точным дисконтным множителем, кроме того, они ушли от допущений о предпочтениях инвесторов в отношении принимаемого на себя риска.

 

 Формула использует  четыре переменные: (1) срок действия  опциона, (2) цена, (3) уровень процентных  ставок, (4) степень рыночных колебаний  и позволяет получить справедливую  величину премии, уплачиваемой за  опцион.

 

C - теоретическая премия  по опциону колл

 

S - текущая цена базовых  акций

 

t - время, остающееся до  срока истечения опциона, выраженное  как доля года (количество дней  до даты истечения/365 дней)

 

 К - цена исполнения  опциона (цена страйк)

 

r - процентная ставка по  безрисковым активам

 

N(x) - кумулятивное стандартное  нормальное распределение

 

 е - экспонента (2,7183)

 

s - годовое стандартное  отклонение цены базовых акций  (историческая волатильность). Рассчитывается  через умножение стандартного  отклонения цены за несколько  дней на квадратный корень  из 260 (количество торговых дней  в году).

 

ln - натуральный логарифм 

 

Для понимания сути модели ее можно разделить на две части. Первая часть, SN(d1), отражает ожидаемую  прибыль от покупки самих базовых  акций. Расчет производится через умножение  цены лежащих в основе акций [S] на изменение премии по опциону колл по отношению к изменению цены базового актива [N(d1)].

Вторая часть модели,   , дает приведенную стоимость цены

 исполнения (цены страйк) на дату истечения опциона.  Объективная рыночная стоимость  опциона колл рассчитывается  путем вычитания второй части  формулы из первой.

 

2. Допущения в модели  Блэка-Шоулза:

 

1). В течение срока действия  опциона дивиденды по базовым  акциям не выплачиваются.

 Большинство компаний  выплачивают своим акционерам  дивиденды, поэтому данное допущение  в модели может показаться  достаточно серьезным, учитывая  тот факт, что высокие дивиденды  снижают величину премии по  опционам колл. Наиболее простой  способ скорректировать модель  в этом случае - вычесть дисконтированную  величину будущих дивидендов  из цены базовых акций.

 

2). Используются временные  сроки исполнения для европейских  опционов.

 Европейские опционы  могут быть исполнены только  в день истечения своего срока,  тогда как условия исполнения  американских опционов позволяют  исполнить опцион в любой момент  срока его действия, что делает  американские опционы более привлекательными  из-за своей большей гибкости. Это ограничение не является  основным недостатком, потому  что очень мало опционов колл, которые исполняются задолго  до даты истечения своего срока.  Это верно, потому что когда  вы исполняете опцион колл  в начале срока действия, вы  лишаетесь его остающейся временной  стоимости, реализуя только внутреннюю  стоимость. С приближением даты  истечения опциона его временная  стоимость уменьшается, тогда  как внутренняя стоимость остается  на том же уровне.

 

3). Рынки являются эффективными.

 Данное допущение предполагает, что люди не могут постоянно  предсказывать направление движения  всего рынка или отдельной  акции. Считается, что движение  фондового рынка подчиняется  законам непрерывного Itф процесса. Чтобы понять, что такое непрерывный  Itф процесс, сначала нужно познакомиться  с процессом Маркова - "наблюдение  в момент времени t зависит  только от результатов предыдущих  наблюдений". Itф процесс отличается  от процесса Маркова только  своей непрерывностью во времени.  Пример непрерывности - рисование,  не отрывая карандаш от бумаги.

 

 Случайное движение  цены акции - одно из основных  допущений модели Блэка-Шоулза. Она  строится на теории эффективного  рынка, которая гласит, что ценовые  колебания полностью отражают  знания и ожидания инвесторов, поэтому трендовых или инерционных  акций не существует (trending stock or momentum stock - акции, которые обладают сильными  инерционными качествами). Опционы,  цена страйк которых близка  к текущей цене базовых акций,  и опционы, торгуемые в достаточно  больших объемах, оценены рынком  объективно.

 

 Из данного предположения  можно сделать вывод: если рыночная  цена опциона является объективной  и справедливой, то она может  быть зафиксирована в формуле  Блэка-Шоулза, тогда как волатильность  становится неизвестной переменной. Поэтому многие инвесторы, занимающиеся  опционами, часто принимают решение  на основе предполагаемой "рыночной  волатильности" (implied volatility), т.е. покупают  опционы с низкой степенью  колебаний и продают опционы,  отличающиеся высокой ценовой  неустойчивостью, а не на основе  прогнозов в отношении движения  базового актива.

 

4). Отсутствие взимаемых  комиссий.

 Обычно при покупке  и продаже опционов с рыночных  участников взимаются комиссионные. Даже трейдеры в зале биржи  уплачивают своего рода комиссию, правда, очень низкую. Вознаграждения, уплачиваемые индивидуальными инвесторами,  более значительны и даже могут  привести к искажению результата  применения модели.

 

5). Уровень процентных  ставок остается неизменным и  известен заранее. 

 Модель Блэка-Шоулза  использует в качестве этой  неизменной и известной процентной  ставки ставку по безрисковым  активам. В реальности такой  единой ставки по безрисковым  активам не существует, и обычно  в этих целях используется  дисконтная ставка по казначейским  векселям за 30 дней до срока  погашения. В периоды быстро  меняющихся процентных ставок  эти 30-дневные ставки также  меняются, нарушая одно из допущений  данной модели.

 

6). Модель основывается  на логнормальном распределении  цен акций. 

 Хотя функция нормального  распределения является составной  частью модели, использование экспоненты  делает распределение логнормальным.  Проблема при использовании нормального  распределения состоит в том,  что оно предполагает возможность  для цены акций принимать отрицательные  значения. Поэтому в случае цены  акций чаще всего используется  логнормальное распределение, предполагающее, что цены на акции могут  принимать значения в интервале  от нуля до бесконечности. 

 

3. Оценка риска в операциях  с опционами. 

 Через использование  формулы Блэка-Шоулза инвестор, осуществляющий  операции с опционами, может  оценить принимаемый на себя  риск и потенциальную прибыль.  Эти параметры, получаемые в  результате промежуточных расчетов  по формуле Блэка-Шоулза, получили  название "греков", "Greeks" (по  буквам греческого алфавита).

 

Дельта является важнейшим  промежуточным результатом формулы  Блэка-Шоулза и измеряет чувствительность рассчитываемой стоимости опциона  к незначительным колебаниям цены базового актива. Часто называется "хеджевым коэффициентом" (hedge ratio).