Методы и модели в экономике

1) х₁=0   х₂=21          2) х₁=84   х₂=0   

 

2. Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

Каждая из построенных прямых делит плоскость  на две полуплоскости. Координаты точек  одной полуплоскости удовлетворяют  исходному неравенству, а другой – нет. Чтобы определить искомую  полуплоскость, нужно взять в  качестве контрольной точки точку  О с координатами (0; 0) и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному  неравенству. Если координаты точки  О удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае – другая полуплоскость. Найдем,полуплоскость, определяемую неравенством 12х₁+4х₂<300. Для этого, построив прямую 12х₁+4х₂=300  (на рисунке эта прямая I), возьмем точку О(0; 0), принадлежащую одной из двух полученных плоскостей. Координаты этой точки удовлетворяют неравенству 12×0 + 4×0 < 300; значит, полуплоскость, которой принадлежит точка О(0; 0), определяется неравенством  12х₁+4х₂£300. Это показано штрихом на рисунке. Пересечение полученных полуплоскостей и определяет многоугольник.

 

Находим многоугольник  решений.

Как видно  из рисунка многоугольником решений  является ОAВCD.  Координаты любой точки, принадлежащей этому многоугольнику, удовлетворяют данной системе неравенств и условию неотрицательности переменных. Поэтому сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую многоугольнику ОABСD, в которой функция Z принимает максимальное значение.   

Строим  вектор с координатами (с₁; с₂)

Чтобы найти  точку max строим вектор С=(30; 40).

(Координатами  вектора С являются коэффициенты  при переменных в целевой функции).

 

5. Строим прямую с₁х₁+с₂х₂=0

  30х₁+40х₂=0 – эта прямая проходит через начало координат.

Вторую ее точку найдем, полагая, например, х₁=20, тогда х₂= –15.           

Перемещая построенную прямую в направлении  вектора  , в результате чего находим точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение.  По условию задачи необходимо найти максимум функции Z – максимум будет достигнут, как только прямая с₁х₁+с₂х₂=0 коснется последней точки построенного многоугольника – это точка B.

Определяем  координаты точки  максимума функции и вычисляем значение целевой функции в этой точке.

Найдем координаты точки B, ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых II и III  

Решив эту  систему уравнений, получим, х₁=12,  х₂=18

Следовательно, Z_max= 30×12 + 40×18 = 1080

Строим прямые, которые получаем в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

Находим полуплоскости, определяемые каждым из ограничений  задачи.

Находим многоугольник  решений.

На рисунке  изображена область решений данной системы ограничений. Это многоугольник  ОABСD, имеющий шесть угловых точек О(0; 0); A(0; 21); B(12; 18); C(22,5; 7,5); D(25; 0)

Подставляя  в функцию Z координаты любой точки из области допустимых решений (из многоугольника OABCD), получим числовые значения этой функции.

Z_O=0

Z_A = 30×0 + 40×21 = 840

Z_B = 30×12 + 40×18 = 1080

Z_c = 30×22,5 + 40×7,5 = 975

Z_D = 30×25 + 40×0 = 750

Следовательно, Z_max= 1080

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                        х

 
 

 
 
 
 

 

Задание 2. Построить экономико-математическую модель и решить задачу в Microsoft Excel.

     Вариант 42.

     Построить экономико-математическую модель оптимизации  структуры посевов трех зерновых культур: озимой ржи, озимой пшеницы  и картофеля. Под посевы отведено 2000 га пашни. Ресурсы труда составляют 72000 чел.-ч., резерв минеральных удобрений – 3730 ц действующего вещества. Производство культур характеризуется следующими показателями .

В структуре  посевов зерновые должны составлять не менее 80%. Критерий оптимальности – максимум прибыли от реализации продукции.

     Для решения задачи построим экономико-математическую модель.

     Методика  построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы  экономическую сущность задачи представить математически, используя различные математические зависимости. Такая модель должна включать две основные зависимости: целевую функцию (критерий оптимальности) и ограничения.

     Обозначим через:

     х₁ – озимая рожь

     х₂ – озимая пшеница

     х3 - картофель

     Запишем условия задачи в виде системы  ограничений:

     1) по урожайности

         28х₁+36х₂ + 220х3£2000

     2) по затратам труда

         18х₁+22х₂  + 105х3£7200

     3) по минеральным удобрениям

         1,75х₁+2,1х₂  + 1,8х3£3730

Условие неотрицательности х₁, х₂ ³ 0

Целевая функция – максимум прибыли от реализации продукции.

     Z=9,30х₁+,65х₂  + 2,40х3→ max,

     где х1=41,9, х2=119,8, х3= 11,4

     Z=9,30*41,9+,65*119,8 + 2,40*11,4=8205,03

Задание 3.Построить экономико-математическую модель транспортной задачи и решить задачу в Microsoft Excel.

     54.В  хозяйстве требуется перевезти  1000 т силосной массы с пяти  траншей  на четыре фермы  .При этом с 1-ой траншеи– 150 т , с 2-ой – 200 т, с 3-ей- 250 т, с 4-ой- 300т, с 5-ой-100т. На фермы 1-ую-200т, 2-ую-250т, 3-ую-100, 4-ую-500т. Требуется составить такой план перевозки силосной массы, чтобы общие транспортные затраты были минимальными.

     Затраты на перевозку силосной массы, ден. ед.