Методики системного анализа экономических систем

Основной задачей высшего  руководства фирмы является своевременное  выявление точки стратегического  воздействия и выбор новой  экономической стратегии фирмы в условиях неопределённости того, что последует за этой точкой.

 

5. Выбор в условиях неопределенности с дискретным набором альтернатив и исходов.

 

Если с каждой альтернативой єX связано одно и то же множество исходов єY, но для разных альтернатив одинаковые исходы имеют разные значения, то такой выбор называют выбором в условиях неопределенности с дискретным набором альтернатив и исходов. В этом случае процедуру выбора можно описать с помощью матрицы

 

Q=

 

Элементы этой матрицы  выражают оценку ситуации, когда сделан выбор альтернативы и реализовался исход . В одних случаях величины характеризуют «выигрыши», в других – «проигрыши», в третьих – «платежи», все зависит от экономической сущности исходной задачи.

Если все строки = () при любых i= одинаковы, то проблемы выбора между альтернативами не существует. Если же строки матрицы Q различны, то возникает вопрос: «Какую альтернативу предпочесть, не зная заранее, какой из исходов реализуется?»

В такой постановке задача выбора решается с помощью аппарата теории игр. В нашем случае X- это множество альтернатив, на котором осуществляет выбор игрок (в данном случае мы с вами). Выбираемые альтернативы также называют ходами. Исходы єY, , j= можно интерпретировать как возможные «состояния природы». Это означает, что в качестве второго (пассивного) игрока выступает Природа. Желательность каждой альтернативы (каждого хода) зависит от того, каково состояние Природы. Но узнать, каково оно, мы сможем лишь после того, как сделаем выбор. Для того, чтобы сделать правильный (эффективный) выбор, активный игрок (мы с вами) руководствуются определенными правилами, которые называются стратегией игры. Как найти эффективную стратегию, рассматривается в курсе «Теория игр». Проведенная здесь задача укладывается в простейший класс задач, который так и называется «Игры с Природой».

В другом классе задач предполагается, что исходы образуют множество альтернатив Y, на котором выбор осуществляет другой игрок. В отличие от бесстрастной Природы второй игрок преследует свои интересы, отличные от интересов первого игрока.

В этом случае матрицы Q= ,которая представляет собой оценки ситуаций с точки зрения первого игрока, выбирающего ходы єX, уже , уже недостаточно для описания всей игры. Необходимо задать и вторую матрицу U=, описывающую игру с позиций второго игрока.

Расхождение между матрицами Q и U определяет степень антагонизма игроков. Если =const для всех i и j, то соперничество называется строгим. В случае =0 имеем игру с нулевой суммой. Можно представить себе игру, где выигрыши и проигрыши игроков не связаны линейно, и это будет отражать усиление или ослабление конфронтации сторон. Представляют интерес игры с большим числом участников, когда допускается образование коалиций между ними, и т.д. Естественно, разные постановки задачи требуют различных методов решения и дают различные результаты. Все эти и другие задачи исследуются и решаются в рамках теории игр.

Если X и Y непрерывные множества, то для описания игры на этих множествах задаются функции q (x,y), u (x,y), xєX, yєY и ставится задача поиска эффективной альтернативы x*. Естественно, что алгоритм этого поиска в случае дискретных множеств X и Y.

 

6. Подходы к решению игровых задач выбора в условиях неопределенности.

 

Центральным моментом в решении игровых задач является определением критерия для оценки выбираемого варианта. В силу неопределенности исхода нужно дать оценку сразу целой строке платежной матрицы. Только имея такие оценки для всех строк, мы можем сравнивать их между собой и делать выборы. Наиболее распространенными критериями выбора являются максиминный и минимаксный критерии. Образно говоря, максиминный критерий является выбором «лучшего из худших». Его суть заключается в следующем:

• В каждой строке матрицы платежей находится наименьший выигрыш

min , который характеризуется гарантированный выигрыш в самом худшем случае и принимается за оценку альтернативы ;

• Находится альтернатива x*, обеспечивающая наибольшее значение этой оценки

X*=arg max min

        i        j

Эта альтернатива и является оптимальной по максиминному критерию.

Если игра задается не матрицей выигрышей, а матрицей проигрышей, то используют минимаксный критерий –  «выбор меньшего из зол»:

 

X*=arg min max

        i        j

Минимаксный критерий является крайне пессимистическим, поэтому при  решении практических задач используются другие критерии, например критерий минимального сожаления Седвиджа. Для этого  по платежной матрице Q вычисляется «матрица сожалений» S, элементы которой определяются как

 min

        i

   и минимаксный критерий применяется к матрице S

 

X*=arg max min .

        i        j

Дальнейшее ослабление пессимистичности оценки альтернатив дает критерий пессимизма – оптимизма Гурвица. Он сводится к поиску взвешенной комбинации наилучшего и наихудшего исходов. За оценку альтернативы принимается величина

 

g()=λ min +(1-λ) max , 0≤λ≤1.

j                       j

Параметр λ называется параметром пессимизма – оптимизма. Очевидно, что при λ=0 имеем вновь максиминный критерий

X*=arg max .

        j

а при α=1 – минимаксный  критерий

X*=arg min .

        J

В докладе профессора Л.Г.Лабскера, представленный на научном семинаре кафедры «Математическое моделирование экономических процессов» Финансовой академии при правительстве РФ, в котором даются рекомендации относительно выбора значения параметра λ. Что же касается методов решения игровых задач, то они очень многообразны. Классическим считается метод седловой точки, суть его заключается в следующем.

Пусть имеется игра с континуальными множествами X и Y, строгим соперничеством сторон и нулевой суммой. Для задания такой игры достаточно лишь одной функции платежей q(x,y), которую один игрок старается максимизировать по x, а другой минимизировать по y.

В случае когда выполняются условия

 

min max q(x,y)= min max q(x,y),

xєX xєY          yєY xєX 

 

одновременно удовлетворяются  амбиции обоих игроков. Эта точка  равновесия интересов сторон и называется седловой точкой. Отход от данной точки  не выгоден обеим сторонам, так  что ее нахождение решает игру.

Однако на практике часто  встречаются игры без седловой точки. В такой ситуации становится выгодным скрывать от противника свой выбор  и свой способ выбора (стратегию). Решение  этого класса игровых задач достигается  введением смешенной стратегии. В отличие от чистой стратегии, при которой альтернатива выбирается однозначно по детерминированному правилу, смешенная стратегия предполагает задания лишь вероятности выбора альтернатив, а сам выбор будет осуществляться случайным механизмом, подчиняющемся заданному распределению. В результате получаемый выигрыш становится случайной величиной и сравнение значений можно вести лишь через средние значения выигрыша (математическое ожидание выигрыша). Оказывается, что любые матричные игры со строгим соперничеством имеют решение в смешанных стратегиях (теорема фон Неймана).

Решение матричной игры можно  свести к решению задачи линейного  программирования, что приводит к  взаимообогащению обеих математических дисциплин –теории игр и математического программирования.

 

 

8. Выбор в условиях статистической неопределенности.

 

Существует класс задач выбора, в которых неопределенность сохраняется и после того, как проделана серия наблюдений и измерений. Дело в том, что данные, полученные в результате эксперимента, связаны с интересующим нас аспектом системы, процесса или явления не непосредственно и однозначно, а опосредованно и в совокупности с другими неконтролируемыми факторами. В таких задачах необходимо сделать выбор на основе косвенных или прямых, но обязательно «зашумленных» данных. Например, многократное взвешивание предмета для высокоточного определения его массы, постановка диагноза болезни на основе данных анализов, аппроксимация тренда кривой и т.п.

Основным и самым важным моментом для формализации таких  задач является предположение о  статичности экспериментальных  данных. Оно состоит в том, что связь между истиной, но не известной искомой альтернативой θ и наблюдаемыми данными , … , адекватно описывается функцией распределения вероятности F( , … , / θ) или плотностью вероятности f ( , … , /θ), если, разумеется, , i=1, I – непрерывные величины, а функция F – дифференцируемая. Другими словами, считается, что выборка наблюдений , … , принадлежит статистическому ансамблю всевозможных выборок, на котором задано распределение вероятности и это распределение различно для различных альтернатив θ, что и обеспечивает наличие информации об альтернативах θ в выборке , … , .

Вопрос состоит в том, как извлечь эту информацию, т.е. как сделать выбор на множестве Ɵ (Ɵ – множество возможных закономерностей) или как принять статическое решение.

Возникает естественное желание  свести эту задачу к задаче игры с Природой. Для этого выбор на множестве θ и действительное состояние Природы Ɵ можно в совокупности охарактеризовать функции потерь l (, θ), которую и рассматривать как платежную функцию игры.

Однако теоретико-игровой  подход в статистике не нашел практического  применения. Решения такого рода задач, как правило, реализуется с помощью  методов математической статистике, которая стала развиваться задолго  до теории игр и достигла значительных успехов.

 

Рис. 1. Общая схема принятия статистических решений.

 

Общая схема принятий статистических решений приведена на рисунке 1. На этой схеме точкой θ є Ɵ изображено то, что нам неизвестно и необходимо определить; Ɵ – множество всех предполагаемых возможностей относительно θ. Точкой х є Х изображена выборка (протокол наблюдений) х=(, … , ); Х – множество всех возможных выборок.

На реализовавшееся значение выборки оказывает влияние не только искомая величина и θ, но и совокупность случайных факторов ρ. Факт этого влияния изображен на схем как результат совместного отображения θ и ρ в пространство Х с помощью оператора µ: х = µ(θ,ρ). Зная х, мы должны сделать выбор относительно θ, т.е. принять решение, какую альтернативу из множества Ɵ мы примем за истинную.

Процедура выбора изображена как действие некоторого оператора  δ над выборкой х: каждой выборке х этот оператор, называемый также решающей функцией, ставит в соответствие решение=δ(x,i) (аргумент i введен для того, чтобы подчеркнуть что одну и ту же выборку можно обрабатывать по разному, получая решение различного качества и чтобы сделать акцент на том, что качество решения зависит не только от того, какой протокол обрабатывается, но и от того, какие априорные предположения вошли в структуру алгоритма).

И так, и проблема синтеза  статистических процедур (построение решающих функций), и проблема анализа  их качества (оценивание степени близости между и θ) тесно связаны с ролью априорной информации. В состав априорной информации включаются любые сведения, имеющиеся до того, как мы приступили к синтезу новой процедуры δ.

Конкретные априорные  сведения характеризуют:

• пространство ситуаций и Ɵ;
• природу «шумов» ρ;
• оператор µ, определяющий характер взаимодействия θ и ρ;
• пространство наблюдений Х;
• требования заказчика к качеству решений.

Априорная информация может  быть более или менее полной и  точной. В зависимости от этого  по-разному ставятся и решаются статистические задачи выбора. Разным уровням априорной  информации соответствуют различные  специфические ветви математической статистики (баесовская статистика метод  максимального правдоподобия и  непараметрическая статистика).

 

Заключение

 

Приведенные постановки задачи выбора близки к реальной жизни. Скудные  сведения о подходах к их решению  позволяют догадаться, что эти подходы не просты и далеко не однозначны. Более того, методы решения одной и той же задачи могут сильно различаться и даже описываться в различных разделах математической науки. Напрашивается один неутешительный вывод – задачи реальной жизни сложны и простыми методами не решаются. 

Список литературы

 

1. И.Н. Дрогобыцкий Системный анализ в экономике: учебное пособие. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА – М, 2007
2. Капустин А.Ф. Неопределённость: виды, интерпретации, учёт при моделировании и принятии решений // Экономика. – 1993. - №2. – стр. 108-114.
3. Фаснахт Р. Стратегическое пространство для альтернатив маркетинговых решений // Проблемы теории и практики управления. – 1995. - №5. – стр. 86-90.
4. Винокуров В. А. Организация стратегического управления на предприятии. – М.: Центр экономики и маркетинга, 1996. – 148 с.