Изучение взаимосвязей, анализ и моделирование временных рядов данных

2. ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ, АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ДАННЫХ 

2.1. Общие сведения  о временных рядах  и задачах их  анализа 

     При анализе социально-экономических  явлений часто используют ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные, ежедневные данные. Для рационального анализа нужно систематизировать моменты получения статистических данных. Упорядоченные статистические данные по времени их получения называют временными рядами (хронологическими рядами, рядами динамики). Составляющими элементами временного ряда являются показатели уровней ряда, которые обозначают через и периоды или моменты времени, к которым относятся уровни (t=1,…,n, где n – число уровней).

     Временные ряды классифицируются по следующим  признакам:

1. по способу выражения уровней: ряды абсолютных значений, ряды средних величин и ряды относительных величин;
2. по способу представления хронологии (уровни ряда выражают состояние явления на определенные моменты времени или его величину за определенные интервалы времени): моментные и интервальные временные ряды;
3. по расстоянию между периодами или датами (уровнями): равностоящие уровни во времени, неравностоящие уровни во времени;
4. по наличию основной тенденции в ряду: стационарные и нестационарные ряды;

Если  математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, не зависят от времени, то процесс считают стационарным и временные ряды считают стационарными. Экономические процессы во времени обычно не являются стационарными, т.к. содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразовать в стационарные путем исключения тенденции.

5. по числу показателей: изолированные и комплексные (многомерные) временные ряды.

      Временные ряды подвержены влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находится под влиянием факторов разного воздействия.

      Влияние эволюционного характера – это  изменения, определяющие общее направление  развития, основную тенденцию временного ряда, многолетнюю эволюцию. Такие изменения временного ряда называются тенденцией развития или трендом (описывается читое влияние долговременных факторов, например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры потребления).

      Влияния осциллятивного характера – это  циклические и сезонные колебания. Циклические (или периодические) состоят в том, что значение изучаемого признака в течение какого-то времени возрастает, достигая определенного максимума, затем понижается, достигая определенного минимума, вновь возрастает до прежнего значения и т.д., т.е. отражается повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов (циклы деловой активности, инвестиционные, демографические). В экономических временных рядах редко предоставляется возможность для выделения и дальнейшего анализа циклической компоненты, т.к. ряды динамики экономических показателей часто оказыватся слишком «короткими» для проведения такого исследования. Хорошо изучены циклические составляющие во временных рядах, относящихся к естественным наукам. Например, по многолетним наблюдениям установлена цикличность солнечной активности (с периодом колебаний примерно в 11 лет).

      Сезонные  колебания – это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, месяца, дня или его часа, т.е. отражается повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпразничный период, увеличение платежей в конце квартала, объем перевозок пассажиров в различные времена года.

      Если  из временного ряда удалить тренд  и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента. Экономисты разделяют факторы, под воздействием которых формируется нерегулярная компонента:

- факторы  резкого, внезапного действия (война, экологическая катастрофа, стихийные бедствия, эпидемии, кризис);

- текущие  факторы, которые вызывают случайные  колебания, которые являются результатом действия большого количества относительно слабых второстепенных факторов. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

      Таким образом, первоначальные значения временного ряда (t=1,…,n) подвергаются воздействию, состоящему из 4-х компонентов: ,

где - тренд;

       - сезонная компонента;

       - циклическая компонента;

      - случайная компонента.

      Не  обязательно в процессе формирования значений уровней каждого временного ряда должны участвовать одновременно все компоненты. В изменении значений одного показателя может отсутствовать трендовая компонента, другого – периодические составляющие, третьего – все, кроме случайной компоненты.

     Задача  при исследовании экономических  временных рядов – выявление  и статистическая оценка основной тенденции  развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

     Решение любой задачи по анализу и прогнозированию  временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, т.к. на этом этапе можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также попытаться выбрать модель для описания их динамики.

     Иногда  на стадии графического анализа можно  определить характер сезонных колебаний: аддитивный или мультипликативный.

     Аддитивная  модель временного ряда: , характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным.

     Мультипликативная модель временного ряда: , характеризуется постоянством циклических и сезонных компонент только по отношению к тренду.

     Модель  смешанного типа: .

     Основные  этапы анализа временных рядов:

1. графическое представление и описание поведения временного ряда.
2. выделение и удаление закономерных (неслучайных составляющих временного ряда) (тренда, сезонных, циклических составляющих).
3. сглаживание и фильтрация (удаление низко- или высокочастотных составляющих временного ряда).
4. исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания.
5. прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда.
6. исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

     Наиболее  распространенные методы анализа временных  рядов: корреляционный, спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

     Временной ряд принципиально отличается от последовательности наблюдений:

- в отличии  от элементов случайной выборки  члены временного ряда не являются статистически независимыми;

- члены  временного ряда не являются  одинаково распределенными. 

2.2. Стационарные временные  ряды и их характеристики. Автокорреляционная функция. 

      Стационарные  временные ряды – ряды, у которых вероятностные свойства не изменяются с течением времени. На интуитивном уровне можно дать следующее определение временного ряда: это ряд, который имеет постоянную среднюю, а значения ряда колеблются вокруг этой средней с некоторой постоянной дисперсией.

      На  практике временные ряды часто не являются стационарными, для их исследования используются стационарные временные  ряды.

      Временной ряд  (t=1,…,n) называется строго стационарным в узком смысле, еслисовместное распределение вероятностей n наблюдений , , …,  такое же, как и n наблюдений , , …,  при любых n, t, , т. Езакон распределения и его числовые характеристики не зависят от времени t.

      Среднее значение временного ряда находим по формуле:

.

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислять по формулам: 

.

      Пример  стационарного временного ряда –  белый шум.- ряд случайных остатков классической линейной модели регрессии, удовлетворяющий условиям Гаусса – Маркова. Для такого ряда среднее и ковариации равны нулю, а дисперсия постоянна.

      Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда , , …, и , , …,   (сдвинутых относительно друг друга на единиц или с лагом ) может быть определена с помощью коэффициента корреляции . Т.к. этот коэффициент измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость - автокорреляционной функцией. Из-за стационарности временного ряда (t=1,…,n) автокорреляционная функция зависит только от лага , причем это четная функция и при изучении её можно ограничиться рассмотрением только положительных значений .

      Статистической  оценкой  является выборочный коэффициент автокорреляции , который определяется по известной формуле коэффициента корреляции

    , в которой  , а n заменяется на n- :

    .

         Функция называется выборочной автокорреляционной функцией, а её график – коррелограммой. Обычно , т.к. с увеличением число n- пар наблюдений уменьшается, поэтому лаг должен быть таким, чтобы число n- было достаточным для определения .

     Для стационарного временного ряда с увеличением лага взаимосвязь членов временного ряда ослабевает и автокорреляционная функция должна убывать (по абсолютной величине). Для её выборочного аналога (эмпирического) , особенно при небольшом числе пар наблюдений n- , свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании может нарушаться.

     При исследовании стационарных временных рядов может рассматриваться частная автокорреляционная функция , где - частный коэффициент корреляции между членами временного ряда . Статистической оценкой является выборочная частная автокорреляционная функция , где - выборочный частный коэффициент корреляции. Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда и при устранении влияния определяется по формуле , где r(1), r(1,2), r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между , , .

     Пример 

     В нестационарных временных рядах случайные колебания происходят относительно среднего уровня, который со временем изменяется под влиянием различных факторов. Большинство экономических процессов описываются нестационарными временными рядами, в которых уровни ряда со временем понижаются или повышаются.

     Пример  нестационарного временного ряда –  случайное блуждание, модель которого , где - белый шум с нулевым средним и постоянной дисперсией. 
 

     2.3. Аналитическое выравнивание (сглаживание)  временного ряда (выделение  неслучайной компоненты) 

1. На основе графического изображения временного ряда и используя содержательный анализ выбирается соответствующая функция f(t).

Наиболее  часто используются функции:

- линейная ( ),