n_i – эмпирическая частота, рассчитанная по результатам эксперимента;

         – среднее арифметическое  значение каждого  интервала, (мг/л).

 

Определение расчетных статистических характеристик

Определение мер положения

       Меры  положения характеризуют расположение центра распределения выборки: среднее  арифметическое, мода, медиана.

       Среднее арифметическое значение (основной показатель, входящий в характеристику большинства  законов распределения) является первым начальным моментом.

       , (мг/л)

       где, – среднее арифметическое значение выборки, (мг/л);

             – элемент выборки

       Если  учитывать, что ряд натурных наблюдений вариационный и сгруппированный, то среднее арифметическое значение можно  рассчитать по следующей зависимости

       , (мг/л)

       где, n_i –частота каждого интервала;

               среднее значение каждого интервала, (мг/л).

        (мг/л).

       Среднее арифметическое значение каждого интервала  рассчитывается, как полусумма границ интервалов.

       Мода (значение, имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое  значение случайной величины в выборке) определяется по формуле:

       ;

       где Х_о – начало модального интервала;

             n_i – частота модального интервала;

             n_{(i - 1)}, n_{(i-+ 1)} – соответственно частоты предыдущего и последующего за модальным интервалов.

       . 

       Медиана (определение серединного элемента выборки):

       ;

       где Х_о – начало медианного интервала;

             Т_{(i – 1 )} – сумма частот интервалов предшествовавших медианному;

             n_i – частота медианного интервала.

       .

Меры  рассеивания

       Характеристикой рассеивания или отклонения случайной  величины от центра распределения выступает  дисперсия – второй центральный  момент. Согласно методу моментов дисперсия  определяется по формуле: 

       . 

       Для определения стандартного отклонения из дисперсии извлекается квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением  и обозначается σ, (мг/л).:

       ; (мг/л); 

       Нормированное отклонение определяется коэффициентом  вариации: 
 

 

Характеристики  формы кривой распределения

       Характеристиками  формы кривых распределения выступают  третий и четвертый центральные  моменты, третий центральный момент характеризует асимметричность  ряда, т.е. неравномерность распределения  случайной величины относительно центра и определяется по формуле: 
 
 

       Четвертый центральный момент характеризует  формулу симметричной кривой распределения: 
 

       Показателем остро- или плосковершинности выступает коэффициент эксцесса (С_е), который определяется отношением четвертого центрального момента к среднему квадратичному отклонению в четвертой степени, за вычетом коэффициента три. 

       Расчеты выполняем в табл.2.

       Таблица 2.

Графическое изображение вариационных рядов

       Для графического изображения рядов  распределения применяют гистограмму (кривая распределения плотности  вероятностей дифференциальная кривая распределения).

       С помощью гистограммы (кривая распределения  плотности вероятности, дифференциальная кривая распределения) эмпирического  распределения можно предугадать  вид генеральной совокупности (случайной  величины, подчиняющейся определенной функциональной зависимости).

       Определение ординат эмпирических кривых распределения  заносим в табл.3

Таблица 3

 

       где n_отн – характеризует появление случайной величины;

             n_пр – приведенная частота или плотность распределения случайных величин. 

       Гистограмма построена на рис.1.

 

Рис.1: гистограмма  эмпирического распределения.

 

Проверка статистических гипотез

       Статистические  критерии можно разделить на следующие  группы: критерии однородности и критерии согласия.

       С помощью критериев однородности исследователь пытается на основе отрывочных данных удлинить ряд данных натурных наблюдений. Экспериментатор проверяет  на однородность несколько рядов натурных наблюдений с целью объединения их в один. Необходимость использования критериев однородности обусловлена стремлением получить более совершенные расчетные параметры кривых распределения (с увеличением объема выборки расчетные величины приобретают количественную стабильность, увеличивается существенность каждой характеристики, проявляются закономерности распределения случайных величин). Критериев однородности достаточно много. Наиболее распространенными в практических расчетах являются критерии Фишера и Стьюдента (параметрические критерии, в основе которых лежит предположение о принадлежности случайных величин к нормальному закону распределения). Из непараметрических можно выделить критерий Вилкоксона (нет предложений о законах распределения сравниваемых выборок).

       Критерии  согласия позволяют подобрать к  эмпирическому распределению конкретное теоретическое. Наиболее распространенными  в практических расчетах является критерий Пирсона или Х².

       Цель  использования критериев заключается  в определении закономерностей  возникновения случайных величин, их свойств, которые определяют сущность прогнозов и играют важную роль в  управлении природными явлениями.

       Проверка  выборок на однородность.

       Вопросы удлинения рядов данных натурных наблюдений преследует цель корректировки  статистических параметров. Для проверки выборок в сходстве формирования случайных величин используют статистические критерии однородности. Как правило, анализируются выборки попарно. Результатом статистического анализа на однородность является объединение двух выборок в одну или отрицание однородности между сравниваемыми совокупностями. В качестве примера использования статистических критериев однородности при практических расчетах студенты обмениваются выборками и проверяют их на однородность. Для расчетов используются критерии однородности: параметрический – критерий Фишера; непараметрический – критерий Вилкоксона.

       Критерий  Фишера основан на равенстве дисперсий  выборок распределенных приближенно  нормально. Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле: 

       причем  необходимо выполнение условия D_x > D_y,

       где, D_x – дисперсия выборки Х (допустим, что выполняется вышеприведенные условие);

               D_y – дисперсия выборки Y (по условию меньше дисперсии выборки Х).

       Для определения области допустимых значений необходимо задаться уровнем  значимости и числом степеней свободы (для практических расчетов уровень  значимости принимаем равным 0,05, число степеней свободы рассчитывается по следующей зависимости:  ).

       Используя таблицы F-распределения (Приложение 2), определяется критическое значение критерия в зависимости от выбранного уровня значимости и числа степеней свободы. Если выполняется условие, при котором расчетное значение критерия Фишера не превосходит критическое, то можно предположить, что наши ряды однородны и сравниваемые выборки можно объединить в один ряд.

       Из  непараметрических критериев однородности можно выделить статистический критерий однородности Вилкоксона. Расчеты проводим в следующем виде и поледовательности: значения обеих выборок (X и Y) упорядочиваются вместе по величине, с учетом выборки из которой взято значение. Сумма инверсий определяется следующим образом: по построенному вариационному ряду из двух сравниваемых выборок проводят подсчет инверсий (инверсией считается величина, характеризующаяся следующим неравенством x_i > y_i), т.е. определяют, сколько значений Y-выборки находится перед каждым значением Х-выборки. Расчетное значение критерия Вилкоксона определяется по формуле: 

       Критическое значение статистического критерия однородности Виткоксона определяется по таблицам или с помощью формулы: 

       где коэффициент Z_а определяется по формуле:

       2*Ф₀(Z_а) = 1 – α;

       Где Ф₀ – функция нормированного и центрированного закона нормального распределения (Приложение 1).

 

       Допустим  необходимо сравнить две выборки  на принадлежность их одной генеральной  совокупности: