Содержание:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Теоретическая часть

    Объектом  статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение  тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для описания таких систем и объяснения механизма функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменение во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной.

    Система независимых уравнений – каждая зависимая переменная (у) рассматривается  как функция одного и того же набора факторов (х):

    Наибольшее  распространение в эконометрических исследованиях получила система  взаимозависимых уравнений. Она  получила название системы совместных, одновременных уравнений, в ней  одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях -  в правую часть системы. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике это система уравнений называется также структурной формой модели. В отличии от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

    Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

    Эндогенные  переменные – это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

    Экзогенные  переменные – это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

    Приведенная форма модели -  представляет собой  систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:   

    

где δ_i – коэффициенты приведенной формы модели.

    Коэффициенты  приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции структурной  формы модели.

    При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь  сталкивается с проблемой идентификации. Индетификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

    С позиции идентификацируемости структурные  модели можно подразделить на три  вида:

• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые.

    Модель  идентифицируема, если все структурные  ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам  приведенной модели, т.е. если число  параметров структурной модели равно  числу параметров приведенной формы  модели.

    Модель  неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

    Модель  сверхидентифицируема, если число приведенных  коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.

    Структурная модель всегда представляет собой систему  совместных уравнений, каждое из которых  требуется проверить на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.

    Коэффициенты  структурной модели могут быть оценены  разными способами в зависимости  от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

• косвенный метод наименьших квадратов;
• двухшаговый метод наименьших квадратов;
• трехшаглвый метод наименьших квадратов;
• метод максимального правдоподобия с полной информацией;
• метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.

    Под системой эконометрических уравнений обычно понимается система одновременных, совместных уравнений. Ее применение имеет ряд сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели. В виду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило, не уверен в точности предполагаемой модели для описания экономических процессов. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Практическая часть

Задание 1.

      Имеется модель, построенная по шести наблюдениям: 

        

     

     

     Ей  соответствует следующая приведенная  форма:

     

     

     

     Известны  также следующие данные:

     1. Определить структурные параметры первого уравнения, если это возможно:

     В данной модели три эндогенные переменные (Y₁, Y₂, Y₃) и две экзогенные переменные (X₁, X₂). Первое уравнение сверхидентифицирована, так как содержит две эндогенные переменные (Y₁, Y₂) и две отсутствующих экзогенных переменных (X₁, X₂). Иными словами, для первого уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2+1=2, 3>2.

     Таким образом, первое уравнение модели сверх идентифицировано. В его правой части содержится эндогенная переменная Y₂ , что приводит к нарушению предпосылок обычного МНК.

     2. Определить структурные параметры второго уравнения, если это возможно:

     Второе  уравнение содержит две эндогенные переменные (Y₁, Y₂) и одну отсутствующую экзогенную переменную (X₂). Для второго уравнения по счетному правилу идентификации имеем: 1+1=2, 2=2. Следовательно, уравнение точно идентифицировано, его параметры можно оценить косвенным МНК.

     Для этого структурная форма преобразуется в приведенную форму модели, после чего обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты. И эти коэффициенты модифицируются в параметры структурной модели.

     Таким образом, из первого уравнения приведенной  формы выразим Х₂, так как его нет во втором уравнении структурной формы:

     

     Данное  выражение содержит переменные Y₁, X₁, которые нужны для второго уравнения структурной формы модели. Подставим полученное выражение Х₂ во второе уравнение приведенной формы модели:

       

     

      - второе уравнение структурной  формы модели.

Задание 2.

     Рассматривается система уравнений вида: 

     

     

     Проверить, является ли данная система идентифицируемой. Изменится ли ответ, если в число регрессоров второго уравнения включить константу:

     Решение. Модель имеет две эндогенные (Y₁, Y₂) и один (X) экзогенный переменный.

     Проверим  каждое уравнение системы на выполнение необходимого (Н) и достаточного (Д) условия идентификации.

     Первое  уравнение:

     Н: эндогенных переменных – 2 (Y₁, Y₂),

          отсутствующих экзогенных – 0.

     D+1=H, 0+1<2 – уравнение неидентифицируемо;

Д: для того чтобы проверить достаточное условие идентификации составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

     В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы  коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т.е. 2-1=1. 

     В первом уравнении определитель матрицы =0. Из этого следует, что уравнение не может быть идентифицируемо.  

     Второе  уравнение:

     Н: эндогенных переменных – 2 (Y₁, Y₂),

          отсутствующих экзогенных – 1 (Х₁)

     D+1=H, 1+1=2 – уравнение идентифицируемо.

     Д: определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 1. Из этого  следует, что достаточное условие  выполнено – уравнение идентифицируемо.

     Таким образом, одно уравнение идентифицируемо, а другое – не идентифицируемо  – система не идентифицируемо. 

     Изменится ли ответ, если в число регрессоров  второго уравнения включить константу?

     Например, посмотрим следующее уравнение:

     

     

     Первое  уравнение:

     Н: эндогенных переменных – 2 (Y₁, Y₂),

          отсутствующих экзогенных – 0.