Система управления скоропортящимися запасами

Откуда оптимальное выражение  заказа определяется выражением:

                                                                                                    (2)

 Выражение (2) называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.

Пример. Ежедневный спрос на некоторый товар (β) составляет 100ед. Затраты на размещение каждого запаса (К) постоянны и равны 100долл. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса (h) составляют 0,02долл. Определить экономичный размер партии и точку заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.

Оптимальная продолжительность  цикла составляет:

t₀*=у*/β = 1000/100 = 10 дней.

Т.к. срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность  цикла составляет 10 дней, возобновление заказа происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 12-10=2 дня. Таким образом, заказ размером у*=1000 размещается, когда уровень запаса достигает 2*100=200ед.

 

3. Скоропортящиеся запасы

3.1.Управление скоропортящимися запасами

Скоропортящийся запас  – это запас, в котором все  единицы одного товара, оставшиеся на складе, одновременно потеряют свою полезность [4]. Оставшиеся единицы должны быть выброшены, если они еще не были использованы после хранения в течение фиксированного промежутка времени. Поэтому управление запасами скоропортящихся товаров происходит следующим образом:

1) определяется оптимальный размер заказа (с учетом расходов на хранение, на дефицит и списание устаревших товаров) и подается заказ на пополнения запаса;

2) весь прибывший продукт  считается новым;

3) отпуск товара производится  по принципу «первый пришел  – первый вышел»;

4) продукт, не реализованный  в течение срока хранения, m, списывается.

Состояние запаса представляется вектором из m–1 компоненты (наличие  продукта с распределением по оставшимся срокам годности в периодах).

Для точного описания наличного запаса в каждый момент времени и уровня запасов в системе используются формулы (3) и (4) соответственно:

                                                        (3)

                                                                                                            (4)

где x_it – количество запасов на момент времени t с оставшимся сроком хранения равным i;

m – срок годности продукта;

d – спрос на товар;

Q – размер заказа;

(a)⁺=max(0,a).

 

Тогда, для (Q,r)-системы управления запасами можно вывести соотношения, позволяющее определить средние издержки в единицу времени i при цене p определяются по формуле (5):

           (5)

 

где d_pi – спрос на товар ценой р за время хранения i;

Q – размер заказа;

r – точка заказа;

K – фиксированные  затраты на оформление заказа;

U – наличный запас;

C – затраты на пополнение  единицы запаса;

Ө – затраты, связанные с учетом неудовлетворенного спроса (за единицу);

β – доля неудовлетворенного спроса, которая может быть задолжена;

W – затраты, понесенные  вследствие устаревания товара (за  единицу);

h – затраты на содержание  единицы запаса в единицу времени.

 

3.2.Приближение уровня устаревших товаров

Использование формулы (5) при создании программного продукта, предназначенного для решения реальных задач управления запасами, практически невозможно, в связи со значительной вычислительной сложностью, вызванной использованием данной формулы [5]. Поэтому целесообразно использовать приближенный подход для описания наличного запаса в каждый момент времени.

При формировании приближенного  значения уровня запаса в каждый момент времени, используются следующие предположения:

1) В данной системе  рассматривается только один  скоропортящийся продукт. Каждая единица продукта имеет фиксированный срок жизни m. Уровень запаса отслеживается постоянно и уменьшается за счет удовлетворения спроса или избавления от устаревших единиц.

2) Заказ размером Q размещается,  когда уровень запаса достигает  точки перезаказа r. Существует положительное  время доставки L для каждого пополнения и фиксированные затраты на оформление заказа K.

3) Все единицы заказа  на пополнение запаса прибывают  свежими или новыми. Полезность каждой единицы товара не уменьшается и не исчезает до момента окончания срока годности, но товар должен быть выброшен, если он не был использован до истечения срока хранения. Затраты, понесенные вследствие устаревания товара равны W за единицу.

4) Спрос в единицу  времени, d₁, – положительная случайная переменная. Предположим, что она имеет особое непрерывное или дискретное распределение с функцией плотности и мат. ожиданием D.

5) Единицы запаса всегда  используются согласно FIFO политике  выпуска (первый попавший на  склад потребляется первым).

6) Запас покидает систему  либо для удовлетворения спроса, либо изымается как устаревший товар.

7) Часть неудовлетворенного  спроса в системе задалживается,  а часть – теряется безвозвратно, причем, доля задолженного спроса не меняется в зависимости от продолжительности дефицита.

В случае с полной потерей продаж весь неудовлетворенный спрос полностью теряется, и покупатели обращаются для удовлетворения потребности в товаре к другим источникам [6]. Однако часто возникает ситуация, когда при отсутствии на складе товара, некоторые покупатели ждут, пока не будет удовлетворен их спрос из следующего заказа. Таким образом, разумно предположить, что только часть дефицита, β (0≤ β ≤1), становится на учет, а остальная часть, (1– β), теряется навсегда. Динамика уровня запаса в такой системе изображена на рис 2.

Рис. 2. – Динамика уровня скоропортящегося запаса в (Q,r)-системе

 

Для определения ожидаемого уровня запасов в системе необходимо знать ожидаемый уровень устаревших товаров и ожидаемый объем  дефицита.

В качестве приближения  ожидаемого количества устаревших товаров можно использовать соотношение (6):

         (6)

где r – точка заказа;

Q – размер заказа;

L – время доставки  заказа;

f_m+L(u) – вероятностная функция случайной переменной d_m+L (т.е. спрос в течение m+L единиц времени).

 

 

Для описания ожидаемого размера дефицита используется соотношение (7):

 

          (7)

где функция f_L(x) – это вероятностная функция случайной переменной,

d_L – спрос во время поставки заказа.

Рассмотрим четыре приближения  ожидаемого уровня запасов в единицу  времени [7]:

1) грубая аппроксимация  (без учета дефицита и устаревания  товара);

2) аппроксимация Вагнера  (без учета продолжительности  дефицита и устаревания товара).

3) модифицированный подход Вагнера (с учетом продолжительности дефицита, но, исключающая устаревание товара).

4) приближение с учетом  ожидаемого уровня устаревших  товаров.

При грубой аппроксимации  предполагается, что значения ER и ES намного меньше текущего размера  заказа Q. Поэтому, ER и ES можно пренебречь и ожидаемый уровень запасов в единицу времени определяется по формуле (8):

EI =                                                                                              (8)

Аппроксимация Вагнера  учитывает оба случая исчерпания и неисчерпания запаса во время доставки заказа и описывается соотношением (9):

EI={ }                                          (9)

 

 

 

 

Ожидаемый уровень запаса в единицу времени в модифицированной модели Вагнера можно выразить как:

                                              (10)

Аппроксимация с учетом устаревания товара описывает общий  ожидаемый уровень запаса с помощью  соотношения (10):

                                                (11)

Наилучшей моделью для  описания уровня запаса в системе  является модель с учетом дефицита и устаревания товара. Политика заказов (Q, r) может таким образом быть получена корректно, и отклонения в определении Q и r могут быть сведены к минимуму.

Оптимальная политика управления запасами, т.е. значения параметров Q и r, определяются из минимума общих затрат в единицу времени. Общие ожидаемые средние затраты в единицу времени для случая с частичным учетом неудовлетворенных требований можно определить из соотношения (12):

                      (12)

где ET – ожидаемая  длина цикла, определяется из соотношения (13):

                                                                                (13)

ER определяется из  соотношения (6), ES – из соотношения (7).

В одном крайнем случае, когда β=0, случай с частичным учетом неудовлетворенных требований преобразуется в случай с полной потерей продаж, а в другом, когда β=1 – в случай с полным учетом неудовлетворенных требований.

 

3.3 Страховой запас

 Расчет величины страхового запаса до сих пор не имеет однозначной методики [10]. Причиной этому является неопределенность спроса и периода выполнения заказа, для одновременного учета которых применяются различные подходы. В основном используется два подхода к расчету страхового запаса. Первый (или вероятностный) подход представляется нам более естественным и обоснованным, в отличие от второго подхода, основанного на ожидаемом количестве дефицитных изделий при заданном «уровне обслуживания».

Страховой (гарантийный, резервный, буферный) запас создается  для защиты от возможного дефицита изделий. Величина страхового запаса постоянно поддерживается дополнительно к ожидаемой потребности и имеет вероятностную природу. Дефицит изделий может быть обусловлен как неопределенностью спроса, так и неопределенностью периода выполнения заказа. Неопределенность спроса – это случайные колебания объема продаж в течение всего периода времени между двумя моментами пополнения запаса. Неопределенность периода выполнения заказа представляет собой случайную величину времени между моментом размещением заказа на пополнение запаса и моментом его получения. Для адекватной оценки величины страхового запаса необходим одновременный учет обоих видов неопределенностей.

В настоящее время  принято два подхода к расчету  величины страхового запаса. В первом подходе (вероятностный подход) величина страхового запаса рассчитывается исходя из заданного значения вероятности отсутствия дефицита. Во втором подходе расчет величины страхового запаса основывается на понятии «уровня обслуживания» и определяется как ожидаемое количество изделий, которых может не хватать при данном уровне обслуживания.

 

 

Оба подхода строятся на следующей стохастической модели потребления и пополнения запаса:

1. Случайная величина (q) потребления изделий в каждый единичный период времени (например за день или неделю) подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием (МО) m_q и средним квадратическим отклонением (СКО) σ_q ;

2. Период выполнения  заказа (L) является случайной величиной с МО и СКО равными m_L  и  σ_L , соответственно;

3. Случайные величины q_i в единицу времени независимы между собой, имеют одинаковые распределения с равными МО и СКО и не зависят от случайной величины L ;

4. Суммарное потребление (Q) в течение периода (L) представляет собой сумму случайного числа случайных величин q_i , то есть

 

и имеет нормальное распределение с МО и СКО равными m_Q = m_q m_L и 

Вероятностный подход. Задается значение вероятности (P) бесперебойной выдачи изделий из имеющегося запаса. Так, вероятность P = 0,95 что означает, что в 95% всего времени мы рассчитываем, что запас не исчерпается и в 5% времени мы будем испытывать дефицит изделий. Обратившись к таблице значений функции Лапласа находим для заданной вероятности P соответствующее количество (k) средних квадратических отклонений σ_Q , тогда величина страхового запаса рассчитывается как k σ_Q . Если, например, P = 0,95 то σ_Q надо умножить на k = 1,64.

Подход, основанный на понятии «Уровень обслуживания». Под уровнем обслуживания понимается количество изделий, которое может быть получено потребителем немедленно из имеющего запаса. Так, если недельный спрос на изделия составляет 100 шт., то 95%-ый уровень обслуживания означает, что 95 изделий могут быть получены из имеющегося запаса, а 5 изделий составят дефицит. Данный подход основывается на расчете нормированного (МО=0 и СКО=1) ожидаемого количества изделий M(k), которых будет не хватать при данном уровне обслуживания в течение периода выполнения заказа L. Реальное же количество дефицитных изделий за период L составит величину M(k) σQ . Функция M(k) легко вычисляется и ее значения затабулированы.