Принятие решений в условиях риска

Таблица D

Решения	Состояния среды
	q1=3/8	q2=4/8	q3=1/8
	B1	B2	B3
X1	8	18	40
X2	18	15	14

Здесь решение выставить на продажу  фирмой I товар TI₁, решение X₂ выставить на продажу фирмой I товар TI₂.

Вычислим математические ожидания для данной таблицы:

M=8×3/8+18×4/8+40×1/8=17, M=18×3/8+15×4/8+14×1/8=16. Оптимальной стратегией будет решение X₁, т.е. фирма I поставлять товар TI₁. Безусловно, выигрыш в 17 денежных единиц лучше, чем в 16. Однако при выборе решения X₁ мы получим не 17 денежных единиц, а один из выигрышей: 8, 18 или 40. При выборе решения X₂ мы получим не 16 денежных единиц, а один из выигрышей 18, 15 или 14. Составим таблицу, где указаны отклонения возможных выигрышей от их ожидаемых значений и вероятности этих отклонений.

Таблица E. Значения отклонений

Решения	q1=3/8	q2=4/8	q3=1/8	Mξ
	B1	B2	B3
X1	-9	1	23	17
X2	2	-1	-2	16

Из данной таблицы видно, что  при равных ожидаемых выигрышах, по-разному ведут отклонения от ожидаемых  выигрышей: для X₁ эти отклонения значительны, а для X₂ – сравнительно невелики.

На основе проведённого анализа можно сделать вывод, что в условиях риска критерий Байеса-Лапласа (ожидаемого среднего выигрыша) не является адекватным и должен быть изменён с учётом возможных отклонений случайной величины от её среднего значения.

Показатель риска. Ожидаемое значение и дисперсия.

В теории вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от её среднего значения обычно используют дисперсию Dξ или среднеквадратичное отклонение σ =. В задачах принятия решений в условиях риска среднеквадратичное отклонение σ  рассматривается в качестве показателя риска, т.к. σ имеет такую же размерность, что и случайная величина ξ, известное нам как математическое ожидание Mξ.⁷

Таким образом, для принятия решения  в условиях риска выбор альтернативы X_i приводит к случайной величине ξ_i, которая может быть охарактеризована парой показателей (Mξ, σ_i).

 Далее необходимо приступить к построению адекватного критерия сравнения альтернатив, с помощью которого получается задача двухкритериальной оптимизации, где в качестве частных критериев выступают математическое ожидание Mξ (значение данного критерия нужно максимизировать) и среднеквадратичное отклонение σ (значение данного критерия нужно минимизировать).

Рассмотрим нахождение Парето-оптимальных  решений для данной многокритериальной задачи. Предположим, что требуется  выбрать одну оптимальное решение  из множества допустимых решений, каждое из которых определяется парой показателей (Mξ_i, σ_i). Изобразив на координатной плоскости точки с координатами (Mξ_i, σ_i), получим картинку типа изображённой на рис. 1, т.е. мы получили пространство оценок. Левая часть рисунка (красные точки) значения математического ожидания мы взяли положительными, а σ отрицательные значения, т.к. этот критерий  (σ) мы должны минимизировать. Парето-оптимальными оценками является правая верхняя граница и соответственно Парето оптимальными решениями X₁, X₂, X₉ и X₇.

В данном примере множество Парето-оптимальных  решений есть X₁, X₂, X₉, X₇ и окончательный выбор оптимального решения проводится из этого множества. Как было сказано выше, здесь есть два подхода: первый подход заключается в том, что строится множество Парето-оптимальных решений и из этого множества ЛПР выбирает единственное решение на основе неформальных дополнительных соображений. Рассмотрим второй подход на основе сужения множества Парето-оптимальных альтернатив.

1. Выбор главного критерия и назначение нижних границ по остальным критериям. Назначим нижнюю границу по критерию M и минимизировать критерий σ. В качестве нижней границы критерия M возьмём значение M₄ (рис. 1), то оптимальным будет решение X₂, так среди решений удовлетворяющих условию Mi ≥ M₄, она наименее рискованна. ⁸
2. Лексикографическая оптимизация предполагает упорядочение критериев по важности. Пусть, например, M – важнейший критерий. Так как максимальное значение по критерию M имеет единственное решение X₇, то оно и является оптимальным. ⁹Здесь наглядно проявляется недостаток метода лексикографической оптимизации: учёт одного (важнейшего) критерия. Этот недостаток связан с необходимостью введения жёсткого приоритета критериев и может быть снят за счёт ослабления "жёсткости" приоритетов. В этом случае используют метод последовательных уступок (метод смены цели), который был рассмотрен выше.

Например, в нашем случае в качестве уступки по критерию M величину Δ, указанную на рис. 1. Тогда результатом выбора на первом шаге будут альтернативы X₇, X₈, X₉. Среди них наилучшей по второму критерию будет X₉. Таким образом, несколько снизив требования по критерию M, мы значительно улучшили оценку по критерию σ (т.е. некоторое уменьшение ожидаемого выигрыша привело к существенному снижению риска).

Рис. 1. Пространство оценок

 

Рассмотрим применение обобщенного критерия для нашей задачи. Возьмём в качестве обобщённого критерия функцию вида:

f (M, σ)= M-λ × σ, (1)

где λ – некоторая постоянная величина. Фактически критерий (1) представляет аддитивный критерий оптимальности  частных критериев M, σ с весовыми коэффициентами 1 и – λ. При λ>0 оценка случайной величины с помощью аддитивного критерия (1) меньше, чем её среднее значение¹⁰, что характерно для осторожного человека, т.е. человека не склонного к риску. Напротив, при λ<0 оценка (1) выше, чем среднее значение, что характеризует человека, склонного к риску. Наконец, при λ=0 оценка случайной величины совпадает с её средним значением (т.е. возможные отклонения случайной величины от её среднего значения игнорируются) – это характеризует человека, безразличного к риску.

Содержательный смысл аддитивного  критерия (1) при λ>0 состоит в  том, что увеличение критерия f(M, σ) может происходить как за счёт увеличения M, так и за счёт уменьшения σ. ¹¹Таким образом, для человека, не склонного к риску, критерий (1) отражает стремление к увеличению ожидаемого выигрыша и уменьшению риска отклонения от него. При этом показатель λ характеризует субъективное отношение принимающего решение к риску. Следовательно, λ можно рассматривать как субъективный показатель меры несклонности к риску  , как субъективный показатель осторожности.

Выбор варианта производимого  товара. Фирма может выпускать продукцию из следующих шести видов: зонтики (З), куртки (К), плащи (П), сумки (С), туфли (Т) и (Ш). Глава фирмы должен принять решение, какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето – дождливым, жарким или умеренным, и определяется таблицей F. Выбор какого варианта производства будет оптимальным?

При отсутствии дополнительной информации о состояниях среды в условиях неопределённости, и её решение возможно при принятии какой-либо гипотезы о  поведении среды. Если принимающий  решение имеет информацию о вероятностях наступления дождливого, жаркого  и умеренного лета, то указанная  задача становится задачей принятия в условиях риска. В рассматриваемой  случае необходимая информация может  быть взята из статистических данных (наблюдений за погодой в данной местности). Предположим, что вероятность  дождливого, жаркого и умеренного лета равна соответственно 0.2, 0.5 и 0.3. Тогда получаем задачу принятия решения  в условиях риска, заданную таблицей G.

Таблица F

Решения	Состояния среды
	Д	Ж	У
З	80	60	40
К	70	40	80
П	70	50	60
С	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

Таблица G

Решения	Состояния среды
	0.2	0.5	0.3
	Д	Ж	У
З	80	60	40
К	70	40	80
П	70	50	60
С	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

Найдём ожидаемые выигрыши, соответствующие решениям З, К, П, С, Т, Ш:

М_З=0.2×80+0.5×60+0.3×40=58,

М_к=0.2×70+0.5×40+0.3×80=58,

М_П=0.2×70+0.5×50+0.3×60=57,

М_С=0.2×50+0.5×50+0.3×70=56,

М_Т=0.2×75+0.5×50+0.3×50=55,

М_Ш=0.2×35+0.5×75+0.3×60=62.5.

Далее, определим дисперсии случайных  величин ξ_З, ξ_К, ξ_П, ξ_С, ξ_Т, ξ_Ш:

Dξ_З = 196, Dξ_К = 336, Dξ_П = 61, Dξ_С = 84, Dξ_Т = 100, Dξ_Ш =  231.5.

Среднеквадратичные отклонения рассматриваемых  случайных величин таковы:

σ_З =14.0, σ_К =18.3, σ_П =7.8, σ_С =9.2, σ_Т =10.0, σ_Ш =15.2.

Составим таблицу значений критериев  M и σ для каждой альтернативы (таблица H).

Таблица H

Критерии Решения	M	σ
З	58	14.0
К	58	18.3
П	57	7.8
С	56	9.2
Т	55	10.0
Ш	62.5	15.2

 

Представим рассматриваемые решения  точками на координатной плоскости  переменных M и σ, получим рис. 2, из которого Парето-оптимальные решения З, П, Ш. Окончательный выбор оптимальной альтернативы должен производиться из этого множества.

Рис. 2

Сужение Парето-оптимального множества (в идеале – до одного элемента) может  быть произведено только при наличии  дополнительной информации о соотношении  критериев M и σ. Как было замечено выше, это можно сделать методом главного критерия, методом последовательных уступок или с использованием лексикографического критерия.

 

 

Заключение

По окончанию данной работы хотелось бы сказать, что принятие решений в условиях риска не заканчивается только на определении критерия ожидаемого значения (критерий Байеса-Лапласа), на построении адекватного критерия сравнения альтернатив, с помощью которого получается задача двухкритериальной оптимизации, которая помогает нам узнать множество Парето-оптимальных решений, но ко всему этому существуют критерий произведения,  критерий наиболее вероятного события в будущем и другие, которые дают наиболее точную информацию  для участников игры в условиях риска, что помогает им выработать точные стратегии их действий с максимальной выгодой.

В заключении стоит отметить, что теории игр является, на мой  взгляд, одним из самых эффективных способов проверить сегодня или спрогнозировать в будущем эффективность экономических стратегий в бизнесе до наступления тех или иных экономических условий, для которых эти стратегии разработаны, например кризис, появление нового конкурента на рынке, запуск новой продукции на производстве и т.д. Это означает, что с помощью составления задач в формате  теории игр, картина действий многих предпринимателей позволяет им максимально быстро выявить те рискованные действия, которые принесут максимальную прибыль или минимальные убытки, что значительно сэкономит время и поможет заранее узнать какие плоды принесёт так или иная стратегия.