Принятие решений в условиях риска

Федеральное государственное  образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

 «Финансовый  университет 

при Правительстве  Российской Федерации»

(Финансовый университет)

 

Кафедра

 «Математическое моделирование экономических процессов»

 

 

Реферат

по дисциплине «Теория игр»

на тему:

«Принятие решений в условиях риска»

 

 

Выполнила:

Студентка группы ФК2-5

Афенкина Е.М.

Научный руководитель:

Ященко Н. А.

 

 

 

 

Москва 2012

Cодержание работы:

Введение...............................................................................................................3

1. Принятие решения в условиях риска......................................................5
2. Критерий ожидаемого значения..............................................................6
3. Показатель риска. Ожидаемое значение и дисперсия.................................................................................................12

Заключение.........................................................................................................19

Список используемой литературы...................................................................20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Риск - это деятельность, связанная с преодолением неопределенности в ситуации неизбежного выбора, в процессе которой имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения предполагаемого результата, неудачи и отклонения от цели.

При разработке решений часть условий всегда неопределенна, поэтому практически все решения принимаются в условиях риска. «Неопределенными» могут быть как условия выполнения операции, так и сознательные действия противников или других лиц, от которых зависит успех операции. Кроме того, риск в той или другой степени может относиться также к целям (задачам) операции, успех которой не всегда может быть исчерпывающим образом охарактеризован одним единственным числом – показателем эффективности.

Разработаны специальные  математические методы, предназначенные  для обоснования решений в  условиях неопределенности. В некоторых наиболее простых случаях эти методы дают возможность фактически найти и выбрать оптимальное решение.

Одним из наиболее ярких примеров расчетно-аналитических методов оценки рисков служит использование теории игр. Целью игры является выбор стратегии, соответствующей точке равновесия. Стратегия равновесия - это стратегия надежности. В теории игр, однако, вполне разумным является также выбор стратегии, отличающейся от равновесной и связанной с определенным риском. Это говорит о том, что в условиях сложной ситуации всегда полезно представить варианты решения и их возможные последствия в такой форме, чтобы сделать произвол выбора менее грубым, а риск минимальным".

В теории игр предполагается, что среди "игроков" имеется хотя бы один, который действует сознательно и целенаправленно, остальные же могут руководствоваться случайным выбором, но и в этом случае считается, что свою стратегию они "выбирают" независимо от других участников игры.

В своей работе  я  бы хотела рассмотреть применение теории игр в анализе риска и доказать эффективность решения экономических задач с помощью теории игр в условиях неопределённости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принятие решений  в условиях риска

Принятие решений в условиях риска характеризуется тем, что некоторый происходящие факторы имеет случайный характер (например, природные). Это проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают (наступают) те или иные состояния природы. При этом лицо принимающее решение имеет определённую информацию о вероятностях появления состояний среды, которая по своему характеру может быть весьма разнообразна. Например, имеется три состояния среды B₁, B₂ и B₃, то дополнительная информация о появлении этих состояний может заключаться в том, что состояние B₁ наименее вероятно, а состояние B₃ более вероятно.

Следовательно, принятие решений в  условиях риска предполагает, кроме  задания функции реализации, задание  некоторой дополнительной информации о вероятностях состояния среды. Если множество состояний природы  B конечно (число состояний равно m), то вероятностная мера на нём может быть задана вероятностным вектором q=(q₁, q₂, …, q_m), где qj ≥ 0 и .¹

Таким образом, матрица выигрышей  в условиях риска может быть представлена в следующем виде (таблицу 1).

Таблица 1.

 Платёжная  матрица с вероятностным вектором  состояния среды

 

Решения	Состояния среды
	q1	…	qj	…	qm
	B1	…	Bj		Bm
X1	a11		a1j		a1m
…
Xi	ai1		aij		aim
…
Xn	an1		anj		anm

Выбирая решение Xi, игрок знает, что получит один из выигрышей a₁₁, …, a_1m с вероятностями q₁, …, q_m соответственно. Следовательно, исходом для принимающего решение при выборе им решения Xi является случайная величина

 

Итак, сравнение двух решений X₁ и X₂ сводится к сравнению соответствующих им случайных величин ..

Выбор оптимального решения  обычно основывается на одном из следующих  критериев:

1) критерий Байеса-Лапласа  – ожидаемого значения (прибыли  или расходов);

2) комбинации ожидаемого  значения и дисперсии;²

Критерий ожидаемого значения (критерий Байеса-Лапласа)

Использование критерия Байеса-Лапласа ( или критерий "ожидаемого среднего значения") обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы.

Математически это выглядит так: пусть ξ – случайная величина с математическим ожиданием Mξ и дисперсией Dξ. Если x₁, x₂,..., x_n –  значения случайной величины (с.в.) ξ, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений 

 

имеет дисперсию . Таким образом, когда n→

→0  и →Mξ. ³

Другими словами при достаточно большом  объёме выборки разница между  средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так  называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование  критерия "ожидаемое значение" справедливо только в случае, когда  одно и то же решение приходится применять достаточно большое число  раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к  неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое  число раз.

Прежде чем перейти к модификации  критерия Байеса-Лапласа рассмотрим данный критерий подробнее.

Известно, что естественной числовой характеристикой случайной величины ξ является её математическое ожидание Mξ, к которому приближается среднее значение этой случайной величины при большом количестве испытаний.

Если у человека, выступающего против природы, есть статистические данные о  закономерностях в конкретных проявлениях  природы, то задача легко может быть решена вероятностными методами.

Таким образом, если вероятности состояний  природы известны и не  изменяются со временем (стационарны), то оптимальным  следует считать решение, максимизирующее  ожидаемый выигрыш (которое даёт наибольшее математическое ожидание выигрыша против известной стратегии природы – состояния или условия).

 Рассмотрим такой пример:

 Фирма купила станок за 100 денежных единиц. Для его ремонта  можно купить специальное оборудование  за 50 ед. или обойтись старым оборудованием.  Если станок выходит из строя,  его ремонт с помощью спецоборудования  обходится в 10 ед., без спецоборудования  – в 40 ед. Известно, что в течение  срока эксплуатации станок выходит  из строя не более трёх раз: вероятность того, что станок не сломается – 0.3;  сломается 1 раз – 0.4; сломается 2 раза – 0.2; сломается 3 раза – 0.1. Определите целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.⁴

Мы видим, что первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать (X₁) и не покупать (X₂) специализированное ремонтное оборудование. У второго игрока (у природы) – четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задаётся платёжной матрицей (таблицу А):

Таблица А

Решения	Выход станка из строя
	B1, ни разу	B2,1 раз	B3,2 раза	B4,3 раза
X1, не купить	-100	-140	-180	-220
X2, купить	-150	-160	-170	-180

 

Решение: 1) Рассмотрим эту задачу как антагонистическую игру. В матрице методом минимакса находим седловую точку: (X₂, B₄), таким образом, цена игры V= - 180 денежных единиц (таблицу B):

 

 

Таблица B

Решения	Выход станка из строя
	B1, ни разу	B2, 1 раз	B3, 2 раза	B4, 3 раза		αi
X1, не купить	-100	-140	-180	-220		-220
X2, купить	-150	-160	-170	-180		-180
βj	-100	-140	-170	-180

 

По итогу проведённых  действий мы видим, что есть необходимость  в приобретение специализированного  оборудования.

Стоит обратить внимание, что в играх с природой положение коренным образом меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия природы: q= (0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа.

Если же человек – первый игрок  – будет продолжать играть оптимально, то его выигрыш составит M=-150×0.3-160×0.4-170×0.2-180×0.1= -161, а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит  M=-100×0.3 - 140×0.4 - 180×0.2 -220×0.1 = -144.

Таким образом, первому игроку выгодно  играть не оптимально!

 

 

 

 

 

 

Таблица C

Решения	Выход станка из строя
	q1=0.3	q2=0.4	q3=0.2	q4=0.1		M
	B1, ни разу	B2,1 раз	B3,2 раза	B4,3 раза
X1, не купить	-100	-140	-180	-220		-144
X2, купить	-150	-160	-170	-180		-161

Данный вывод автоматически подводит нас к ответу, что покупка специализированного оборудование нецелесообразна.

 В игре с природой ориентация на математическое ожидание выигрыша есть фактически ориентация на средний выигрыш, который получится при многократном повторении этой игры (при предположении, что условия игры не меняются). ⁵Разумеется, если игра в действительности многократно повторяется, то критерий среднего выигрыша (например, в экономических задачах – средней прибыли) можно считать оправданным.

Не обходимо проверить разумно ли ориентироваться на этот критерий при единичном испытании в следующем примере:

Фирма I может выставить на продажу  один из товаров TI₁или TI₂, а фирма II – один из товаров TII₁, TII₂, TII₃. Товары TI₁ и TII₁ являются конкурирующими (например, кока-кола и черноголовка), а товары TI₁ и TII₃ дополнительными (например, кока-кола и гамбургеры); остальные товары нейтральны. Прибыль фирмы I зависит от сочетания товаров, выставляемых на продажу обеими фирмами, и определяется таблицей D. Известно, что фирма II выставляет на продажу товар TII₃ в три раза реже, чем TII₁ и в четыре раза реже, чем TII₂. Какой товар следует поставлять на продажу фирме I?⁶