Построение и анализ производственной функции ВВП Японии

 
 

ПФ примет следующий  вид:

 

Y^ = 14,522*K ^0,788 *L ^0,170 

       

 

Риc.3 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции 
 
 
 
 

Производственная  функция Кобба-Дугласа с учетом НТП при

 

Построим производственную функцию Кобба-Дугласа с учётом НТП вида:

                                            ,                                     (6)

       где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, – специальный множитель технического прогресса, p₀ – параметр нейтрального НТП (p₀>0)  при α+β≠1. И функция невязок имеет вид   

Прологарифмируем  функцию:

    lnY = lnA + alnK + blnL + r0t 

       Анализируем исходные данные, в результате получаем следующие показатели:

Функция невязок достигает минимума при: 
 

lnA	2,101
α	0,838
β	-0,0076
ρ	0,019
A	8,1762

 
 

Год	t	Y	K	L	Y^	Y
1980	1	1070,996	346,243	0,22	1129,969	1070,996
1981	2	1183,79	369,892	0,24	1216,596	1183,79
1982	3	1100,41	329,491	0,33	1122,924	1100,41
1983	4	1200,187	335,556	0,32	1162,564	1200,187
1984	5	1275,563	355,037	0,29	1243,372	1275,563
1985	6	1364,164	386,879	0,434058	1357,848	1364,164
1986	7	2020,885	568,378	0,578117	1906,268	2020,885
1987	8	2448,675	701,747	0,722175	2314,55	2448,675
1988	9	2971,033	916,33	0,866233	2946,198	2971,033
1989	10	2972,672	951,767	1,010291	3096,632	2972,672
1990	11	3058,038	1000,6	1,15435	3288,393	3058,038
1991	12	3484,771	1130,61	1,298408	3709,947	3484,771
1992	13	3796,113	1167,45	1,371244	3883,14	3796,113
1993	14	4350,013	1280,06	1,574901	4271,28	4350,013
1994	15	4778,992	1350,03	1,582775	4552,321	4778,992
1995	16	5264,382	1491,93	1,820254	5040,371	5264,382
1996	17	4642,547	1340,5	3,554048	4673,633	4642,547
1997	18	4261,844	1207,87	3,621267	4365,36	4261,844
1998	19	3857,028	1012,7	3,399681	3840,974	3857,028
1999	20	4368,734	1085,53	3,539355	4148,624	4368,734
2000	21	4667,448	1187,4	3,167361	4562,797	4667,448
2001	22	4095,483	1013,8	2,946219	4076,58	4095,483
2002	23	3918,334	903,921	3,348445	3771,114	3918,334
2003	24	4229,098	966,286	1,772869	4084,725	4229,098
2004	25	4605,939	1061,12	1,410526	4511,321	4605,939
2005	26	4552,192	1072,79	1,281008	4644,396	4552,192
2006	27	4362,577	1038,01	3,476442	4570,73	4362,577
2007	28	4377,961	1037,31	4,03721	4651,339	4377,961
2008	29	4879,838	1153,76	4,743034	5177,077	4879,838
2009	30	5032,982	1032,41	4,068503	4813,814	5032,982

 

ПФ будет  иметь следующий вид:

Y^ =  8,1762*e ^{(0,01917968*t)} *K ^0,838 *L ^(-0,0076) 

 
 

Риc.3 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции 
 

Производственная  функция Кобба-Дугласа с учетом НТП при

 

       Построим производственную функцию Кобба-Дугласа с учётом НТП вида:

                                          ,                                      (5)

       где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, – специальный множитель технического прогресса, p₀ – параметр нейтрального НТП (p₀>0)  при α+β=1. И функция невязок имеет вид   

       Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2007.

         В результате получаем следующие показатели:

Функция невязок достигает минимума при:

 

A			p
76,16368	0,499807	0,500193	0,00006003

 

Год	t	Y	K	L	Y^	Y-Y^
1980	1	1070,948	346,2426	0,57247	1071,0311	0,006876
1981	2	1183,737	369,8916	0,65473	1183,9605	0,049889
1982	3	1100,361	329,4911	0,63500	1100,5478	0,035009
1983	4	1200,133	335,5561	0,74152	1200,2813	0,021931
1984	5	1275,506	355,0369	0,79151	1275,6492	0,020553
1985	6	1364,103	386,8792	0,83068	1364,2478	0,021
1986	7	2020,794	568,3782	1,24068	2020,9884	0,037621
1987	8	2448,565	701,7473	1,47519	2448,7952	0,052871
1988	9	2970,9	916,3302	1,66318	2971,3085	0,166886
1989	10	2972,539	951,7673	1,60266	2972,7521	0,045405
1990	11	3057,901	1000,6	1,61273	3057,7736	0,016317
1991	12	3484,615	1130,61	1,85333	3484,6164	1,48E-06
1992	13	3795,943	1167,45	2,12999	3796,3394	0,157051
1993	14	4349,818	1280,061	2,55023	4350,0666	0,061698
1994	15	4778,778	1350,031	2,91785	4778,8834	0,011158
1995	16	5264,146	1491,931	3,20347	5264,217	0,005024
1996	17	4642,341	1340,499	2,77280	4642,6344	0,086097
1997	18	4261,655	1207,868	2,59280	4261,8234	0,028267
1998	19	3856,857	1012,698	2,53216	3856,7874	0,004879
1999	20	4368,54	1085,529	3,03047	4368,6905	0,022669
2000	21	4667,24	1187,4	3,16183	4667,2934	0,002856
2001	22	4095,301	1013,8	2,85096	4095,436	0,01835
2002	23	3918,16	903,92	2,92677	3918,5481	0,15072
2003	24	4228,908	966,2884	3,18888	4229,2802	0,138717
2004	25	4605,732	1061,122	3,44407	4606,1387	0,165736
2005	26	4551,987	1072,792	3,32722	4552,3893	0,161724
2006	27	4362,383	1038,009	3,15755	4362,554	0,029251
2007	28	4377,767	1037,308	3,18155	4377,8905	0,015227
2008	29	4879,622	1153,757	3,55336	4879,7234	0,010246
2009	30	5032,757	1032,411	4,22216	5032,2414	0,266219

 
 

ПФ будет иметь  следующий вид:

 

Y^ = 76,16368*e ^0,00006003t *K ^0,4998 *L ^0,5002

 

Рис.4 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

 
 
 

Производственная  функция Кобба-Дугласа при

 

       Построим производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

                                                      ,                                                   (3)

       где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, при α+β=1. И функция невязок имеет вид   

       Анализируем исходные данные с помощью «Поиск решения» Microsoft Excel 2007. В результате получаем следующие показатели:

A
65,70146	0,525297	0,474703

 

Год	Y	K	L	Y^	(Y-Y^)^2
1980	1065,372	358,1262	0,542983	1079,706	205,4621
1981	1177,087	384,3133	0,620021	1193,322	263,5992
1982	1097,039	336,8688	0,635206	1126,383	861,0769
1983	1195,061	347,5882	0,703476	1201,927	47,14271
1984	1268,456	371,6905	0,727957	1265,393	9,383606
1985	1360,017	396,3589	0,786242	1357,576	5,960617
1986	2013,317	586,0174	1,175009	2017,435	16,95897
1987	2440,276	720,9502	1,3968	2441,858	2,501559
1988	2961,973	935,6948	1,525845	2920,226	1742,832
1989	2966,504	963,7231	1,513606	2954,537	143,2109
1990	3053,224	1008,872	1,48853	3002,551	2567,746
1991	3479,023	1140,788	1,723324	3433,367	2084,402
1992	3788,565	1182,414	1,95061	3710,54	6087,919
1993	4340,559	1300,009	2,415643	4316,673	570,5362
1994	4765,467	1380,882	2,759426	4746,227	370,1941
1995	5250,805	1522,503	3,017837	5212,87	1439,01
1996	4641,66	1338,945	2,658967	4588,464	2829,847
1997	4261,2	1206,784	2,42596	4159,603	10322,09
1998	3856,541	1011,353	2,493998	3841,049	240,0059
1999	4367,975	1083,801	2,856207	4248,056	14380,76
2000	4665,387	1188,772	2,966784	4540,578	15577,29
2001	4094,022	1014,125	2,798165	4062,549	990,5847
2002	3917,667	902,4169	2,944757	3914,726	8,648237
2003	4217,789	998,0262	2,94099	4124,879	8632,427
2004	4584,741	1120,412	3,201064	4563,197	464,1103
2005	4529,124	1135,581	2,997557	4454,465	5573,984
2006	4361,589	1036,917	2,826043	4129,647	53797,14
2007	4377,457	1035,391	3,129701	4331,293	2131,119
2008	4879,258	1152,191	3,424798	4781,653	9526,853
2009	5173,311	625,8152	7,599089	5065,711	11577,74

 

ПФ примет следующий  вид:

 

Y^ = 65,7015*K ^0,525297 *L ^0,474703

 
 
 

   Выбор лучшей модели

 

       В предыдущей главе нами были построены  и рассмотрены четыре вида производственной функции. Для построения прогноза уровня ВВП Японии для следующего года необходимо выбрать оптимальную модель производственной функции.

       Для этого анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. 

       В результате получаем следующие показатели:

Модель  производственной функции	Коэффициент детерминации	Стандартная ошибка	Сумма квадратов  отклонений
Линейная	0,933187088	367,90007	5,104E+07
Квадратичная	0,937494784	369,80236	5,128E+07
Кобба-Дугласа при α+β≠1	0,972934278	0,09055	7,957
Кобба-Дугласа с учётом НТП при α+β≠1	0,994252317	0,04252	8,132
Кобба-Дугласа с учётом НТП при α+β=1	0,999766221	30,77287	1,810249311
Кобба-Дугласа при α+β=1	0,993973382	152,70847	152470,531

 

       Критерий  выбора следующий: наибольшее значение коэффициента детерминации , наименьшая ошибка и наименьшая сумма квадратов отклонений.

           Таким образом, для данной отрасли  мы выбираем производственную  функцию Кобба-Дугласа с учётом НТП при α+β=1, которая выглядит следующим образом:

Y^ = 76,16368*e ^0,00006003t *K ^0,4998 *L ^0,5002

 

Полученная  модель может быть использована для  прогнозирования будущих значений валовой стоимости продукции  на основе известных или ожидаемых  уровнях капитала и затрат на заработную плату.

 
 
 

Расчет  экономических характеристик  выбранной производственной   функции

 

Итак, процесс  производства описывается с помощью  функции Кобба-Дугласа с учётом НТП при α+β=1, которая выглядит следующим образом:

Y^ = 76,16368*e ^0,00006003t *K ^0,4998 *L ^0,5002

 

       Оценим  основные характеристики этой функции  для способа производства на 2012 год, при котором К=1500 млрд. руб., а L=5 млрд. руб.

 

       Эластичность  выпуска продукции  по капиталу и труду

       Эластичность  выпуска продукции по капиталу и  труду равна соответственно a и b, так как

        ,

       и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно b.

       Следовательно, увеличение затрат капитала на 1% приведет к росту выпуска продукции на 0,4998%, а увеличение затрат труда на 1% приведет к росту выпуска на 0,5002%. Эти величины положительны, следовательно увеличение затрат производственных факторов должно вызывать рост выпуска. В то же время,  они  меньше единицы, и разумно предположить, что уменьшение эффекта от масштаба производства приводит к более медленному росту выпуска продукции, чем затрат производственных факторов, если другие факторы остаются постоянными. Их сумма равна единице, и это говорит о постоянном эффекте от масштаба производства (y увеличивается в той же пропорции, что и К и L).

 
 
 

        Производительность  труда

        Производительность труда показывает степень результативности использования трудовых ресурсов и вычисляется по формуле . Для нашего примера производительность труда будет равна

 1320,194