Построение и анализ производственной функции ВВП Японии

4) F(lK, lL) = lF(K, L)

- гипотеза  однородности

5) F(0, L) = F(K, 0) = 0

- при  отсутствии одного из ресурсов  производство невозможно;

6) для F(K, L, t)

  Виды  производственных функций

 

Рассмотрим 4 производственные функции:

1. Линейная модель (функция с взаимозамещением ресурсов), задается уравнением:

    Y = a₀ + b₁K + c₁L , где b₁, c₁ >0  – частные эффективности ресурсов (предельный физический продукт затрат)

2. Квадратичная модель, задается уравнением:

    Y = a₀ + b₁K + c₁L + b₂K² + c₂L²

3. Модель Кобба-Дугласа, задается уравнением:

    Y = AK^aL^b, где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а₁, a₂ -коэффициенты эластичности по труду и капиталу.

4. Модель с учетом НТП, задается уравнением:

    Y = AK^aL^be^r0t, где - специальный множитель технического процесса, r0 – параметр нейтрального НТП (r0 >0)

Параметры функции могут быть определены по методу наименьших квадратов 

1. Для линейной модели:

Функция невязок:

      G = = ® min по а₀, b₁, c₁

Производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

приравниваем  нулю

        (1) 

2. Для квадратичной модели:

Функция невязок:

      G = = ® min по а₀, b₁, c₁, b₂, c₂

Производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

приравниваем  нулю

    (2)  

3. Для модели Кобба-Дугласа:

Прологарифмируем  функцию:

lnY = lnA + alnK + blnL

Функция невязок:

      G = = ® min по A, a, b

Частные производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

приравниваем  нулю

     (3) 

4. Для модели с учетом НТП:

Прологарифмируем  функцию:

    lnY = lnA + alnK + blnL + r0t

Функция невязок:

      G = = ® min по A, a, b, r0

Частные производные по коэффициентам:

, где i = 1…n

приравниваем  нулю

   (4)

Далее из полученных уравнений находим  неизвестные коэффициенты. 
 
 
 
 
 
 

Построение производственной функции

  Исходные данные для построения ПФ 
 

Год	Y, Валовая стоимость  продукции,  (current billion US$)	K, Капитал, (current billion US$)	L, Расходы по з/п, (current billion US$)
1980	1070,996	346,243	0,2200
1981	1183,79	369,892	0,2400
1982	1100,41	329,491	0,3300
1983	1200,187	335,556	0,3200
1984	1275,563	355,037	0,2900
1985	1364,164	386,879	0,4341
1986	2020,885	568,378	0,5781
1987	2448,675	701,747	0,7222
1988	2971,033	916,330	0,8662
1989	2972,672	951,767	1,0103
1990	3058,038	1000,600	1,1544
1991	3484,771	1130,610	1,2984
1992	3796,113	1167,450	1,3712
1993	4350,013	1280,060	1,5749
1994	4778,992	1350,030	1,5828
1995	5264,382	1491,930	1,8203
1996	4642,547	1340,500	3,5540
1997	4261,844	1207,870	3,6213
1998	3857,028	1012,700	3,3997
1999	4368,734	1085,530	3,5394
2000	4667,448	1187,400	3,1674
2001	4095,483	1013,800	2,9462
2002	3918,334	903,921	3,3484
2003	4229,098	966,286	1,7729
2004	4605,939	1061,120	1,4105
2005	4552,192	1072,790	1,2810
2006	4362,577	1038,010	3,4764
2007	4377,961	1037,310	4,0372
2008	4879,838	1153,760	4,7430
2009	5032,982	1032,410	4,0685

 
 
 
 
 
 
 

Построение производственной функции

  Линейная производственная функция 

       Построим линейную производственную функцию вида:

                                           (1)

       где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате. И функция невязок имеет вид   

       Анализируем исходные данные, в результате получаем следующие показатели:

      Функция невязок достигает минимума при  
 

a0	a1	a2
89,620	3,067	279,358

 
 

Год	Y	K	L	Y^
1980	1070,996	346,243	0,22000	1213,006041
1981	1183,79	369,892	0,24000	1291,124684
1982	1100,41	329,491	0,33000	1192,357037
1983	1200,187	335,556	0,32000	1208,164812
1984	1275,563	355,037	0,29000	1259,532299
1985	1364,164	386,879	0,43406	1397,435552
1986	2020,885	568,378	0,57812	1994,336823
1987	2448,675	701,747	0,72217	2443,623385
1988	2971,033	916,33	0,86623	3141,993284
1989	2972,672	951,767	1,01029	3290,922262
1990	3058,038	1000,6	1,15435	3480,937107
1991	3484,771	1130,61	1,29841	3919,921532
1992	3796,113	1167,45	1,37124	4053,257131
1993	4350,013	1280,06	1,57490	4455,525214
1994	4778,992	1350,03	1,58278	4672,322868
1995	5264,382	1491,93	1,82025	5173,871827
1996	4642,547	1340,5	3,55405	5193,785241
1997	4261,844	1207,87	3,62127	4805,787197
1998	3857,028	1012,7	3,39968	4145,298985
1999	4368,734	1085,53	3,53936	4407,687644
2000	4667,448	1187,4	3,16736	4616,203434
2001	4095,483	1013,8	2,94622	4021,994447
2002	3918,334	903,921	3,34845	3797,360605
2003	4229,098	966,286	1,77287	3548,4843
2004	4605,939	1061,12	1,41053	3738,116762
2005	4552,192	1072,79	1,28101	3737,726763
2006	4362,577	1038,01	3,47644	4244,368554
2007	4377,961	1037,31	4,03721	4398,876681
2008	4879,838	1153,76	4,74303	4953,206412
2009	5032,982	1032,41	4,06850	4392,590331

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Следовательно, теперь мы можем построить ПФ:

Y^ =89,620 +3,067*K +279,358*L 

Рис.1 Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции

Квадратичная производственная функция

       Построим  квадратичную производственную функцию  вида:

                                                             (2)

       где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате. И функция невязок имеет вид   

       Анализируем исходные данные, в результате получаем следующие показатели:

Функция невязок достигает минимума при:   

a0	a1	a2	a3	a4
-207,656	3,681969	565,4004	-0,0005052	-59,3015

 
 

Год	Y	K	L	K^2	L^2	Y^
1980	1070,996	346,243	0,22	119884,2	0,0484	1128,157
1981	1183,79	369,892	0,24	136820,1	0,0576	1217,439
1982	1100,41	329,491	0,33	108564,3	0,1089	1130,801
1983	1200,187	335,556	0,32	112597,8	0,1024	1145,826
1984	1275,563	355,037	0,29	126051,3	0,0841	1194,882
1985	1364,164	386,879	0,434058	149675,4	0,188407	1375,454
1986	2020,885	568,378	0,578117	323053,6	0,334219	2028,947
1987	2448,675	701,747	0,722175	492448,9	0,521537	2504,777
1988	2971,033	916,33	0,866233	839660,7	0,75036	3187,347
1989	2972,672	951,767	1,010291	905860,4	1,020688	3349,802
1990	3058,038	1000,6	1,15435	1001200	1,332524	3544,4
1991	3484,771	1130,61	1,298408	1278279	1,685863	3943,62
1992	3796,113	1167,45	1,371244	1362940	1,88031	4066,146
1993	4350,013	1280,06	1,574901	1638554	2,480313	4421,109
1994	4778,992	1350,03	1,582775	1822581	2,505177	4588,749
1995	5264,382	1491,93	1,820254	2225855	3,313325	4993,847
1996	4642,547	1340,5	3,554048	1796940	12,63126	5080,68
1997	4261,844	1207,87	3,621267	1458950	13,11357	4772,485
1998	3857,028	1012,7	3,399681	1025561	11,55783	4239,781
1999	4368,734	1085,53	3,539355	1178375	12,52703	4452,239
2000	4667,448	1187,4	3,167361	1409919	10,03218	4647,977
2001	4095,483	1013,8	2,946219	1027790	8,680206	4156,965
2002	3918,334	903,921	3,348445	817073,2	11,21208	3936,116
2003	4229,098	966,286	1,772869	933708,6	3,143064	3694,495
2004	4605,939	1061,12	1,410526	1125976	1,989584	3810,078
2005	4552,192	1072,79	1,281008	1150878	1,640981	3787,91
2006	4362,577	1038,01	3,476442	1077465	12,08565	4318,852
2007	4377,961	1037,31	4,03721	1076012	16,29906	4384,205
2008	4879,838	1153,76	4,743034	1331162	22,49637	4715,641
2009	5032,982	1032,41	4,068503	1065870	16,55272	4373,938

 
 
 
 

Следовательно, ПФ имеет вид: 

Y^ = -207,656+3,681969*K +565,4004*L -0,0005052*K² – 59,3015*L² 

 

Рис.2  Графическое представление результатов аппроксимации производственной функции 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Производственная  функция Кобба-Дугласа 

Производственная  функция Кобба-Дугласа при

 

       Построим производственную функцию Кобба-Дугласа вида:

                                                      ,   

     Прологарифмируем  функцию:

lnY = lnA + alnK + blnL

       где K – затраты капитала; L – расходы по заработной плате, при α+β≠1. И функция невязок имеет вид   

 

       Анализируем исходные данные, в результате получаем следующие показатели:

lnA	2,676
α	0,788
β	0,170
A	14,52284

 

Год	Y	K	L	Y^
1980	1070,996	346,243	0,220000	1127,547
1981	1183,79	369,892	0,240000	1205,585
1982	1100,41	329,491	0,330000	1161,883
1983	1200,187	335,556	0,320000	1172,548
1984	1275,563	355,037	0,290000	1205,504
1985	1364,164	386,879	0,434058	1381,741
1986	2020,885	568,378	0,578117	1964,971
1987	2448,675	701,747	0,722175	2409,9
1988	2971,033	916,33	0,866233	3067,736
1989	2972,672	951,767	1,010291	3244,861
1990	3058,038	1000,6	1,154350	3452,982
1991	3484,771	1130,61	1,298408	3879,061
1992	3796,113	1167,45	1,371244	4015,553
1993	4350,013	1280,06	1,574901	4421,047
1994	4778,992	1350,03	1,582775	4614,424
1995	5264,382	1491,93	1,820254	5113,121
1996	4642,547	1340,5	3,554048	5266,954
1997	4261,844	1207,87	3,621267	4867,12
1998	3857,028	1012,7	3,399681	4190,369
1999	4368,734	1085,53	3,539355	4456,688
2000	4667,448	1187,4	3,167361	4693,615
2001	4095,483	1013,8	2,946219	4092,878
2002	3918,334	903,921	3,348445	3821,367
2003	4229,098	966,286	1,772869	3614,105
2004	4605,939	1061,12	1,410526	3742,28
2005	4552,192	1072,79	1,281008	3713,241
2006	4362,577	1038,01	3,476442	4289,013
2007	4377,961	1037,31	4,037210	4397,383
2008	4879,838	1153,76	4,743034	4915,304
2009	5032,982	1032,41	4,068503	4386,766