Области применения эконометрических моделей

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S_y изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной Х_j на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Указанные коэффициенты позволяют упорядочить факторы  по степени влияния факторов на зависимую  переменную.

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта - коэффициентов D (j):

 

           

где — коэффициент парной корреляции между фактором j (j = 1,...,m) и зависимой переменной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 1.

На основе данных приведенных в таблице необходимо:

• сформулировать экономическую постановку задачи;
• провести логический и графический анализ исходных данных и построить эмпирическую линию регрессии;
• рассчитать коэффициент корреляции;
• провести подбор уравнения регрессии и определить параметры;
• построить теоретическую линию регрессии;
• рассчитать ошибку уравнения регрессии, теоретическое корреляционное отношение;
• осуществить прогноз результативного признака по значению указанного фактора для найденного уравнения.

п/п	Качество  продукции %	Импортное              сырье %
1	40	20
2	30	14
3	25	10
4	15	12
5	10	8
	?	30

 

у	40	30	25	15	10	?
х	20	14	10	12	8	30

 

1.Построим зависимость  качество продукции от импортного  сырья (зависимость у от х)

 

2. Определим  степень зависимости исследуемых  факторов.

Поскольку имеем  влияние только одного фактора, то имеем  однофакторную зависимость, в виде уравнения регрессии.

Нахождение  параметров линейной регрессии сводится к оценке тесноты связи в виде коэффициента корреляции.

Для определения  тесноты связи  построим вспомогательную  таблицу.

№ п/п
1	20	40	800	7,2	51,84	16	256
2	14	30	420	1,2	1,44	6	36
3	10	25	250	-2,8	7,84	1	1
4	12	15	180	-0,8	0,064	-9	81
5	8	10	80	-4,8	23,04	-14	196
∑	64	120	1730	0	84,224	0	826
средняя	12,8	24	346	0	16,84	0	165,2

 

Нахождение  параметров линейной регрессии сводится к оценке тесноты связи показателя от фактора в виде коэффициента корреляции, r

  ,

где               ,

 

       , ,    

y - экспериментальное   значение показателя;

x - экспериментальное  значение фактора;

- среднеквадратическое отклонение  по х;

- среднеквадратическое отклонение  по y.

Определим среднеквадратичное отклонение по х:

 Определим  среднеквадратичное отклонение  по у:

Коэффициент корреляции будет равен 

Коэффициент корреляции по шкале Чеддока определяется как  высокий, что означает что данный фактор (импортное сырье) заметно  влияет  на качество продукции.

Таблица Чеддока

Диапазон изменения	0.1 - 0.3	03. - 0.5	0.5 - 0.7	0.7 - 0.9	0.9 - 0.99
Качественная  характеристика связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

 

3. Взаимосвязь  между параметрами можно описать  линейной функцией.

Линейная функция: у=a+bх

Для нахождения уравнения используется метод наименьших квадратов. Для решения системы  надо в расчетной таблице построить  графу х²

№ п/п
1	20	40	800	7,2	51,84	16	256	400
2	14	30	420	1,2	1,44	6	36	196
3	10	25	250	-2,8	7,84	1	1	100
4	12	15	180	-0,8	0,064	-9	81	144
5	8	10	80	-4,8	23,04	-14	196	64
∑	64	120	1730		84,224		826	904
средняя	12,8	24	346		16,84		165,2	180,8

 

Составим уравнение  регрессии:

Σу= а n +bΣх                       24 = а ∙ 5 + b∙ 64

Σух = а Σх + bΣх2              346 = а∙  64 + b∙904

Для наших данных система уравнений имеет вид

5a + 64 b = 120

64 a + 904 b  = 1730

Из первого  уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 2.29, a = -5.28

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 2.29 x - 5.28

у = -5,28+2,29*30 =63,4

Расчет прогноза показывает, что если доля импортного сырья будет составлять 30%, то качество продукции составит 63,4%.

В таблице подставляем  у – прогнозная

№ п/п									Yпрог.
1	20	40	800	7,2	51,84	16	256	400	40,47
2	14	30	420	1,2	1,44	6	36	196	26,74
3	10	25	250	-2,8	7,84	1	1	100	17,59
4	12	15	180	-0,8	0,064	-9	81	144	22,17
5	8	10	80	-4,8	23,04	-14	196	64	13,02
∑	64	120	1730	0	84,224	0	826	904
средняя	12,8	24	346	0	16,84	0	165,2	180,8

 

Для оценки точности прогноза необходимо оценить ошибку прогноза. Ошибка прогноза определяется на основании коэффициента, который определяется как средняя относительная ошибка аппроксимации.

Для расчета  ошибки вводим еще  графу:

№ п/п	(Y-Yпр.)/Y
1	-0,01
2	0,11
3	0,30
4	-0,48
5	-0,30
∑	-0,39
средняя	-0,08

 

6,7%

Ошибка аппроксимации  в пределах 5%-7% свидетельствует о  хорошем подборе уравнения регрессии  к исходным данным.

На основе ошибки найдем интервальный прогноз.

у прогноз ±ε, 63,4±6,7% или [ 63,4 + 4,25] = [ 67,65]

                                              [ 63,4 – 4,25] =  [ 59,15]

 

Если доля импортного сырья 63,4%, то качество продукции будет  находиться в диапазоне  [ 59,15 до 67,65].

Определим  ошибку коэффициента корреляции по величине среднеквадратичного отклонения

= 0,2

Определим значение нормированного отклонения

=3,7

Так как  > 2, то  с вероятностью 0.95 можно говорить о значимости  полученного коэффициента корреляции.

Для оценки вклада фактора в общую вариацию зависимой переменной вычислим коэффициент детерминации (квадрат коэффициента  корреляции)  =54,76%

Решение задачи в EXCEL

Взаимосвязь между  параметрами можно описать линейной функцией.

Линейная функция: у=a+bх

Для установки  параметров (коэффициентов) линейной связи  введем данные рядов X и Y  -наблюдаемую статистику независимой и зависимой переменной в ячейки

В ячейке С3 подсчитаем среднее значение ряда X. Для этого вызовем функцию СРЗНАЧ и на появившейся панели введем адрес диапазона ряда X.

В ячейку D4 введем среднее значение рада Y, проделав аналогичную операцию, введя на панели функции СРЗНАЧ адрес ряда Y.

В ячейке С6 подсчитаем стандартное отклонение ряда Х, вызвав функцию СТАНДОТКЛОН и введя диапазон ряда Х.

В ячейке D6 введем стандартное отклонение ряда Y, проделав аналогичную операцию.

В ячейке C8  подсчитаем коэффициент корреляции. Для этого используем функцию КОРРЕЛ, в окнах панели которой необходимо ввести адреса диапазонов как ряда Х, так и ряда Y

Определим значение углового коэффициента связи ( параметр b) b и свободного члена уравнения (параметра а) с помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК соответственно.

Определение параметра b