Нелинейные модели, поддающиеся линеаризации. Подход Бокса-Кокса подбора линеаризующего преобразования

то вводя новые переменные (2), получим линейную модель

(3)

 

параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов по формуле

(4)

 

где (Х'Х)¯¹ — матрица, обратная матрице коэффициентов системы, X'Y — матрица-столбец, или вектор, ее свободных членов.

Следует, однако, отметить и недостаток такой замены переменных, связанный с тем, что вектор оценок b получается не из условия минимизации суммы квадратов отклонений для исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же. В связи с этим необходимо определенное уточнение полученных оценок.

Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную (степенную) модель

(5)

 

 

экспоненциальную модель

(6)

и другие.

В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удается привести к линейной форме. Так, модели (5) и (6) могут быть приведены к линейным логарифмированием обеих частей уравнений. Тогда, например, модель (5) примет вид:

 (7)

 

К модели (7) уже можно применять обычные методы исследования линейной регрессии. Однако следует подчеркнуть, что критерии значимости и интервальные оценки параметров, применяемые для нормальной линейной регрессии, требуют, чтобы нормальный закон распределения в моделях (5), (6) имел логарифм вектора возмущений ε( т.е. ln ε≈ Nn(0, σ² En),а вовсе не ε. Другими словами вектор возмущений ε должен иметь логарифмически нормальное распределение.

(8)

Заметим попутно, что к модели рассматриваемой в качестве альтернативной по отношению к модели (5), изложенные выше методы исследования линейной регрессии уже непригодны, так как модель (8) нельзя привести к линейному виду. В этом случае используются специальные (итеративные) процедуры оценивания параметров.

В качестве примера использования линеаризирующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба—Дугласа

 

  (9)

 

где Y — объем производства, К — затраты капитала, L — затраты труда.

Показатели аир являются коэффициентами частной эластичности объема производства Y соответственно по затратам капитала К и труда L. Это означает, что при увеличении одних только затрат капитала (труда) на 1% объем производства увеличится на α% (β%).

Учитывая влияние случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению, функцию Кобба—Дугласа (9) можно представить в виде

  (10)

 

Полученную мультипликативную (степенную) модель легко свести к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения (10). Тогда для i-го наблюдения получим

  (11)

 

Если в модели (10) α+β=1(т. е. модель такова, что при расширении масштаба производства — увеличении затрат капитала К и труда L в некоторое число раз — объем производства возрастает в то же число раз) функцию Кобба—Дугласа представляют в виде

 

 или                                                             (12)

 

Таким образом, получаем зависимость производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (K/L). Для оценки параметров модели (12) путем логарифмирования приводим ее к виду (для i-го наблюдения)

  (13)

 

Функция Кобба—Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид:

  (14)

 

где t— время; параметр ε— темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу. Модель (14) приводится к линейному виду аналогично модели (10).

 

 

 

2. Метод Бокса-Кокса

 

Метод Бокса-Кокса – формализованная процедура подбора линеаризующего преобразования:

 

Гипотеза: существует значение λ* , такое что

 

 Замечание 1

Преобразования  применяются исключительно к  положительным переменным. Если по некоторой переменной имеются отрицательные  значения, осуществляется сдвиг:

 

 Замечание 2

 

 При других λ* получаем связь каких-то степеней исходных переменных.

 

 Оценка λ* (решетчатая процедура)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Методологическая  особенность эконометрики заключается  в применении достаточно общих гипотез  о статистических свойствах экономических  параметров и ошибок при их измерении. Полученные при этом результаты могут оказаться нетождественными тому содержанию, которое вкладывается в реальный объект. Поэтому важная задача эконометрики - создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых характеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы подгонки формальной модели с целью наилучшего имитирования ею поведения моделируемого объекта на основе гипотезы о том, что отклонения модельных значений параметров от их реально наблюдаемых случайны и вероятностные характеристики их известны.

Есть достаточно много аргументов, в силу которых  качественной информации о параметрах модели недостаточно и ее необходимо заменить количественной информацией, добываемой с помощью статистических данных. Эконометрика как раз и занимается методами получения лучших оценок параметров эконометрических моделей, конструируемых в прикладных целях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы:

 

1.     Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. – М.: Новое знание, 2001.

2.     Буреева Н.Н., Петрова О.В. Эконометрика: Учебное пособие. – Нижний Новгород, 2001.

3.     Винн Р., Холден К. Введение в прикладной эконометрический анализ. – М.: Финансы и статистика, 2006.

4.     Степанов В.Г. Эконометрика: Учебный курс. — М.: 2000.

5.     Мангус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 1997.

6.     Эконометрика/Под ред. Елесеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2003.