Модели нелинейной регрессии и область их применения

        .                        (1.13)

В таблице 1.2 приведены формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии. ⁵

Таблица 1.2

Формулы расчета коэффициентов  эластичности

Вид функции,	Первая производная,	Средний коэффициент эластичности,
Линейная
Парабола второго порядка
Гипербола
Показательная
Степенная
Полулогарифмическая
Логистическая
Обратная

Несмотря на широкое использование  в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах.

Оценка значимости уравнения  регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов  отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части «объясненную» и «необъясненную»:

                          (1.14)

где – общая сумма квадратов отклонений;

 – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);

 – остаточная  сумма квадратов отклонений, характеризующая  влияние неучтенных в модели  факторов.⁶

Схема дисперсионного анализа  имеет вид, представленный в таблице 1.3 ( – число наблюдений, – число параметров при переменной ).

Таблица 1.3

Схема дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень  свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии  к сравнимому виду. Сопоставляя факторную  и остаточную дисперсии в расчете  на одну степень свободы, получим  величину -критерия Фишера:

                    (1.15)

Фактическое значение -критерия Фишера (1.15) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем  тесноты связи. В данном случае это  индекс корреляции:

(1.16) 

где – общая дисперсия результативного признака ,

  – остаточная дисперсия.

                                    (1.17)

Величина данного показателя находится в пределах:. Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.⁷

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии  результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

                         (1.18)

Где – факторная дисперсия.

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом  уравнения регрессии по -критерию Фишера:

,                                      (1.19)

где – индекс детерминации, – число наблюдений, – число параметров при переменной .

Фактическое значение - критерия (1.19) сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения  регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации, которая вычисляется по формуле:

                                  (1.20)

Ошибка аппроксимации лежит в пределах 8-10%, что свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НА ПРИМЕРЕ ВЛИЯНИЯ УРОВНЯ ИНФЛЯЦИИ НА КОЛИЧЕСТВО БЕЗРАБОТНЫХ 

 

Данные об уровне инфляции и количестве безработных с 1999 года по 2012 год включительно представлены в таблице 1.4.

Таблица 1.4

Исходные данные

Год	Индекс потребительских  цен (инфляция),	Число безработных, тыс. чел.,
1999	15,0	50,8
2000	4,6	47,7
2001	2,2	58,9
2002	1,5	68,1
2003	1,3	81,5
2004	1,6	79,1
2005	1,4	88,7
2006	1,3	72,1
2007	1,2	57,6
2008	1,2	45,2
2009	1,1	43,4
2010	1,1	40,3
2011	1,1	33,2
2012	1,1	27,6

Для того чтобы определить уравнение регрессии воспользуемся  графическим методом. Построим зависимость количества безработных от уровня инфляции рис. 1.2.

Рис 2.1. Зависимость количества безработных от уровня инфляции

Из графика поля корреляции невозможно точно определить, какую  функцию лучше использовать. В  связи с этим исследуем каждую нелинейную функцию по отдельности, чтобы определить какая из них подходит.

1. Парабола второй степени

Уравнение приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате получим двухфакторное уравнению

Найдем параметры уравнения  и методом наименьших квадратов:

 

Где – фактическое значение.

Для нахождения параметров и   рассчитываем частные производные по каждому из параметров и приравниваем их к нулю.

 

Проведя дифференцирование, получим следующую систему уравнений:

                                  

А после обратной замены переменных получаем:

                                          

Произведем расчеты в  программе Microsoft Excel и занесем полученные данные в таблицу 1.5.

Таблица 1.5

Расчетные данные

Год	Индекс потребительских  цен (инфляция),	Число безработных, тыс. чел.,
1	2	3	4	5	6	7	8
1999	15,0	50,8	225	3375	50625	762	11430
2000	4,6	47,7	21,16	97,336	447,7456	219,42	1009,332
2001	2,2	58,9	4,84	10,648	23,4256	129,58	285,076
2002	1,5	68,1	2,25	3,375	5,0625	102,15	153,225
Продолжение таблицы 1.5
1	2	3	4	5	6	7	8
2003	1,3	81,5	1,69	2,197	2,8561	105,95	137,735
2004	1,6	79,1	2,56	4,096	6,5536	126,56	202,496
2005	1,4	88,7	1,96	2,744	3,8416	124,18	173,852
2006	1,3	72,1	1,69	2,197	2,8561	93,73	121,849
2007	1,2	57,6	1,44	1,728	2,0736	69,12	82,944
2008	1,2	45,2	1,44	1,728	2,0736	54,24	65,088
2009	1,1	43,4	1,21	1,331	1,4641	47,74	52,514
2010	1,1	40,3	1,21	1,331	1,4641	44,33	48,763
2011	1,1	33,2	1,21	1,331	1,4641	36,52	40,172
2012	1,1	27,6	1,21	1,331	1,4641	30,36	33,396
Итого:	35,7	794,2	268,87	3506,373	51127,34	1945,88	13836,44
Среднее:	2,55	56,728

 

Параметры и определим методом определителей: ; ; .

 

 

 

 

 

Уравнение параболы второй степени примет вид:

 

Определим коэффициент эластичности по формуле из таблицы 1.2.

 

Коэффициент эластичности показывает, что с ростом инфляции на 1% число  безработных уменьшится в среднем  на 0,12%.

Рассчитаем индекс корреляции:

 

Величина данного показателя находится в границах , чем ближе к единице, тем теснее связь. Из полученного , делаем вывод об отсутствии связи рассматриваемых признаков.

Произведем оценку значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера.

 

Так как , то используемое уравнение регрессии ненадежно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

 

Так как ошибка аппроксимации  должна быть в пределах 8-10%, то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

2. Полулогарифмическая функция 

Уравнение приводится к линейному  виду с помощью замены:.

В результате получим линейное уравнение 

Найдем параметры уравнения  и с помощью программы Microsoft Excel, а после обратной замены переменной получаем:

 

Определим коэффициент эластичности по формуле из таблицы 1.2.

 

Коэффициент эластичности показывает, что с ростом инфляции на 1% число  безработных увеличится в среднем на 0,08%.

Рассчитаем индекс корреляции:

 

Величина данного показателя находится в границах , чем ближе к единице, тем теснее связь. Так как , то это свидетельствует об слабой связи рассматриваемых признаков.

Произведем оценку значимости уравнения регрессии на основе F-критерия Фишера.

0,222

Так как , можно сделать вывод, что используемое уравнение регрессии ненадежно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

 

Так как ошибка аппроксимации  должна быть в пределах 8-10%, то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

3. Равносторонняя гипербола

Уравнение приводится к линейному  виду с помощью замены:.

В результате получим линейное уравнение 

Найдем параметры уравнения  и с помощью программы Microsoft Excel, а после обратной замены переменной получаем:

 

Определим коэффициент эластичности по формуле из таблицы 1.2.