Математическое моделирование систем и процессов

     Задания на контрольную работу.

     1. Произвести моделирование  случайной величины  в ЕХСЕL по варианту методом Монте-Карло.

1. С  помощью  функции   cлчиc  заполнить таблицу требуемым количеством случайных величин, равномерно распределенных в интервале (0, 1).
2. В соответствии с заданным законом распределения рассчитать значения исследуемого показателя.
3. Скопировать значения исследуемого показателя как числа.
4. Упорядочить полученную статистику по возрастанию.

     2. Произвести обработку  статистических данных.

2.1.   Оценивание методом моментов.

1. Рассчитать числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию,  среднее  квадратическое  отклонение (стандартное отклонение), коэффициент вариации.
2. Рассчитать  границы доверительного  интервала для математического ожидания.
3. Рассчитать параметры закона распределения и сравнить их с заданными значениями, оценить относительную погрешность.

2.2. Сглаживание статистических данных.

2.2.1. Рассчитать и построить на одном графике эмпирическую и теоретическую функции распределения.

2.2.2. Сгруппировать статистические данные.

2.2.3. Рассчитать   эмпирическую плотность распределения (гистограмму), теоретическую плотность распределения построить их на одном графике.

2.3. Проверка статистической гипотезы о законе распределения.

1. Проверить по критерию Колмогорова гипотезу о том, что закон распределения не противоречит статистическим данным.
2. Проверить по критерию Пирсона гипотезу о том, что закон распределения не противоречит статистическим данным.

     3. Проанализировать  полученные результаты  и сделать выводы.

     Таблица 1. Исходные данные по варианту.

 
 
 

 

1. Моделирование случайной величины в ЕХСЕL методом Монте-Карло.

       1.1. Заполнение  таблицы требуемым количеством случайных величин (180), равномерно распределенных в интервале (0, 1).

       Моделирование наработки между отказами контактной сети переменного тока  межподстанционной зоны будем осуществлять с использованием генератора случайных чисел. Запускаем ЕХСЕL, генерируем случайную величину в ячейке В2 с помощью мастера функций:

- левым щелчком  мыши активируем ячейку В2;

- нажатием  кнопки fx вызываем мастера функций;

- в категории  «Математические» выбираем функцию  СЛЧИС()

Рис.1 Выбор функции  СЛЧИС().

- создаем массив  значений (180 в соответствии с  заданием) копированием формулы  в другие ячейки массива, воспользовавшись автозаполнением:

Рис. 2 Копирование формулы в ячейкиВ3:В182.

1.2. В соответствии с законом распределения Вейбулла рассчитаем значения исследуемого показателя - наработки между отказами контактной сети переменного тока  межподстанционной зоны.

- активируем  левым щелчком мыши ячейку С2;

- вводим формулу  = 12800*(-LN(1-B2)^(1/3,4):

Рис. 3. Ввод формулы для  расчета значений исследуемой величины.

- распространяем  формулу в остальные ячейки, воспользовавшись  автозаменой..

1.3. Копирование значений  исследуемого показателя  как числа.

    Для дальнейшей обработки полученных значений необходимо освободиться от формул, т.е. получить массив числовых значений.

- выделяем полученный массив – ячейки С2:С182;

- с помощью кнопки «Копирование», отправляем значения массива в буфер обмена;

Рис. 4. Копирование массива в буфер обмена.

- активируем  ячейку D2;

- правым щелчком  мыши вызываем контекстное меню  и выбираем команду «Специальная  вставка»:

Рис. 5. Вызов контекстного меню и выбор команды  «Специальная вставка».

- в появившемся  диалоговом окне выбираем пункт «значения»:

Рис. 6. Выбор вставки  значения.

1.4. Упорядочение полученной  статистики по  возрастанию.

Отсортируем полученный массив по возрастанию:

- выделяем  диапазон D2:D182;

- выберем пункт  меню ДАННЫЕ – СОРТИРОВКА, в  появившемся окне включим радиокнопку «сортировать в пределах указанного выделения» и нажимаем кнопку «Сортировка…»:

Рис. 7. Выбор диапазона для сортировки.

- в появившемся  окне выберем сортировку по столбцу D и по возрастанию:

Рис. 8. Сортировка данных по возрастанию.

     Получили  статистику из 180 наблюдений – статистику длительности времени между наступлениями отказа контактной сети переменного тока  межподстанционной зоны, отсортированную по возрастанию.

 
 
2. Обработка статистических данных.

     Для выполнения следующих заданий скопируем полученные данные на ЛИСТ 2 в ячейки В4:В184.

2.1. Оценивание методом  моментов.

        2.1.1. Рассчитаем числовые  характеристики:

        - математическое ожидание,

        - дисперсию,-

        - среднее квадратическое  отклонение (стандартное отклонение),

        -коэффициент вариации.

Математическое  ожидание определим как среднее арифметическое

В ячейку С4 введем формулу:

Рис. 9. Ввод формулы для  расчета математического  ожидания .

     Полученное  значение m(x) = 11588,0159 говорит о том, что при 180 наблюдениях за наработкой на отказ контактной сети отказ её наступает в среднем после наработки примерно 11588 часов.

     Оценим рассеяние случайной длительности наработки между отказами вокруг своего математического ожидания, т.е. найдем дисперсию. Для её расчета найдем сначала дисперсию отдельных слагаемых по формуле:

     (х - m(x))^2, для чего в ячейку D4 введем = (B4-$C$4)^2, и распространим её для всего ряда, воспользовавшись автозаполнением:

Рис. 10. Ввод формулы

Теперь вычислим дисперсию по формуле: σ²=(∑(х - m(x))^2)/(n-1). Для этого в ячейку Е4 введем формулу = СУММ(D4:D183)/(180-1):

Рис. 11. Ввод формулы для  расчета дисперсии.

     Полученный  результат σ² = 13856179,2 используем для расчета среднего квадратичного отклонения (стандартного отклонения), которое равно корню квадратному дисперсии. В ячейку F4 вводим формулу = E4^(1/2):

     

     Рис. 12. Ввод формулы для  расчета среднего квадратичного отклонения.

     Коэффициент вариации случайной величины — мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс. Для её нахождения введём в ячейку G4 формулу = F4/C4 (установим формат ячейки процентный):

     

     Рис. 13. Расчет коэффициента вариации.

     Полученный коэффициент вариации показывает, что стандартное отклонение  от среднего значения наработки на отказ контактной сети составляет 32,12%.

     Результаты  расчетов внесем в таблицу 2.1.

     Таблица 2.1. Числовые характеристики

     2.1.2. Расчет границы доверительного  интервала для математического ожидания.

     Зная  среднее квадратичное отклонение, для  расчета доверительного интервала  для математического ожидания воспользуемся  встроенной функцией Excel Доверит(). Примем доверительную вероятность 0,95. Активируем произвольно выбранную ячейку I4 для вставки функции. Вызовем Мастера функций, выполнив последовательность щелчков: Вставка®Формулы®Вставить функцию. В появившемся окне Мастера функций в окне «Поиск функции» введем «доверит» и щелкнем «Найти»:

     

     Рис. 14. Поиск функции  Доверит().

     Функция найдена и Мастер функции предложит  ввести аргументы:

     

     Рис. 15. Вставка функции Доверит().

     Получили  доверительный интервал для математического  ожидания. Теперь рассчитаем нижнюю и  верхнюю границы доверительного интервала по формулам: НДГ=m(х)-R и ВДГ=m(х)+R, где НДГ, ВДГ – соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интервала, m(х) – математическое ожидание, R – доверительный интервал. Введем соответствующие формулы в ячейки J4 и K4:

 

     Рис. 16. Ввод формулы для  расчета НДГ математического  ожидания.

     Аналогично  введем формулу для расчета ВДГ  в ячейку J4. Полученные результаты расчетов представлены в таблице 2.2.

     Таблица 2.2. Границы доверительного интервала

     для математического  ожидания.

 
     2.1.3. Расчет параметров закона распределения, оценка относительной погрешности.

     Для расчета параметров закона распределения будем использовать ранее вычисленное значение коэффициента вариации. Параметры найдем по формулам:

,

где: b_э – эмпирический параметр b, υ – коэффициент вариации. Формулу введём  в ячейку N4:

Рис. 17. Ввод формулы для расчета параметра b.

     Параметр  а находим по формуле:

, 

где: а_э – эмпирический параметр а, n = 180 – объём выборки, x_i – случайное число (наработка на отказ). Для этого сначала в столбце Р рассчитаем произведения x_i∙ b_э: в ячейку Р4 введём формулу =B4^$N$4, и распространим её на весь диапазон В4:В183.