Математические модели в экономике

Факультет дистанционного обучения

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Математические модели в экономике»

выполнена по методике М.Г. Сидоренко «Математические модели в экономике»

Вариант №20

г. Абакан

2011г

Задание 1

Объем выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда х как функция, представленная ,цена продукции, зарплата . Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.

Решение:

Воспользуемся соотношением для нахождения объема производства: 5(0,6х)=300, . Следовательно .

Оптимальное количество вложенного труда составит .

Выпуск продукции при равен

Задание 2

Даны зависимости спроса D=300-p и предложения S=60+2p от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Решение:

Точка равновесия определяется: D(p)=S(p).

300-p=60+2p.

3p=240.

p*=80 – равновесная цена

Выручен. При равновесной цене W(p*)=p*· D(p*)=p* ·S(p*)

W(80)=80(300-80)=80·(60+2·80)=17600.

При цене p>p* - предложения. Найдем цену p1, определяющую максимальную выручка:

1) W(p)=300p-p2; W1(p)=300-2p; W1(p)=0  300-2p=0; P=150.

P1=150 – max функции W(p)=W(150)=150(300—150)=250000.

2) W(p)=60p+2p2; W1(p)=60+4p; W1(p)=0  60+4p=0; P=-15.

т.к. p<0, то p1=80  - max функции.

W(p)=W(80)=80·(60+2·80)=17600 -выручка.

Максимальная выручка достигается не при равновесной цене W(p)=17600.

Задание 3

Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) .

Решение:

Седловой точки нет. Обозначим оптимальную стратегию Первого игрока , искомую оптимальную стратегию Второго .

Выигрыш Первого:

Средний выигрыш за партию Первого: математическое ожидание М(х).

.

Для нахождения оптимальных стратегий необходимо, чтобы

. Это выполняется при : .

Оптимальная стратегия Первого игрока , Второго .

Цена игры .

Задание 4

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.

, .

Решение:

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью обращения невырожденных матриц.

а) находим матрицу (E-A):

.

б) вычислим определитель (E-A):

.

в) транспонируем матрицу (E-A):

.

г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (E-A):

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Присоединенная матрица имеет вид .

д) находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

.

Найдем матрицу коэффициентов полных затрат косвенным способом:

1)      Запишем матрицу коэффициентов полных затрат 1-го порядка

.

Матрицу коэффициентов 2-го порядка:

.

.

Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения большие соответствующих элементов матрицы, рассчитанных по приближенному способу.

Найдем величину валовой продукции 3-ч отраслей (вероятность Х) используя формулу:

.

Для определения I квадранта межотраслевого баланса воспользуемся формулой xij=aijXj.

Для получения элементов 1 столбца нужно элементы 1-го столбца матрицы А умножить на х1=1473,44, элементы 2-го столбца на х2=791,96, элементы 3-го столбца на х3=673,08.

Схема межотраслевого баланса

Задание 5

Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (), представить результаты сглаживания графически, определите для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперед.

.

Решение:

Найдем ; .

Значение в зависимости от  t=1,2… 10 представим в таблице

для всех t, аномальных уровней нет.

Проверим ряд на наличие тренда:

Разобьем его на 2 части:

1-ая  35, 36, 38, 38, 39

2-ая  40, 39, 40, 38, 39

Рассчитаем: .

т.к. <, то критерий Фишера равен .

Fкр(0,05;4;4)=6,39

Т.к. Fкр> Fнабл, то гипотезу о равенстве дисперсий принимаем.

Определим .

Определим tнабл критерия Стьюдента .

tкрит(0,05;8)=1,859548.

tкрит< tнабл –можно предположить наличие тренда с уровнем значимости α=0,05 трендовая модель .

Коэффициенты а0, а1 найдем из системы .

Для нахождения а0, а1 составим вспомогательную таблицу.

уравнение тренда.

Дадим точечный и интервальный прогноз на 3 шага вперед:

Точечные прогнозы получим, подставляя в уравнение тренда .

.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя:

.

; .

Результаты представим в таблице: